第三章習題
部分證明題未給出答案
1.
表3.4中，零假設是指三種形式的廣告對TV的銷量沒什么影響。而電視廣告和收音機廣告的P值小說明，原假設是錯的，也就是電視廣告和收音機廣告均對TV的銷量有影響；報紙的P值高，說明原假設成立，也就是報紙廣告對TV的銷量沒啥影響。
2.
KNN回歸和KNN近分類都是典型的非參數方法。這兩者的區別在於，前者的輸入和輸出均為定量值；而后者的輸入和輸入和輸出均為定性值。
3.
首先，有題目可知下面關系：Y = 50 + 20(gpa) + 0.07(iq) + 35(gender) + 0.01(gpa * iq) - 10 (gpa * gender)
(a) 當IQ和GPA一定的時候，Y的可變量是35*gender-10(gpa*gender).所以當GPA小的時候，無法判斷前面變量的正負號，而當GPA足夠大的時候，該變量一定是負的。所以當GPA足夠大時，男性平均收入高於女性
(b) 直接套公式Y= 50 + 20 * 4 + 0.07 * 110 + 35 + 0.01 (4 * 110) - 10 * 4= 137.1
(c)錯誤。中文版61頁有比較好的解釋，實驗分層原則規定：如果模型中含有交互項，那么即使主效應的系數的p值不顯著，也應該包含在模型中。
4.
(a)一般來說，三次回歸的訓練RSS會比線性回歸的訓練RSS小，因為三次回歸會對數據進行貼近訓練集的擬合。
(b)題目中明確說明該數據的實際模型是線性擬合，所以用三次擬合會產生過擬合，而線性擬合有更好的泛化能力，所以線性回歸的測試RSS小。
(c)答案和(a)一樣
(d)由於不知道實際情況，所以無法判斷。
8.
Auto = read.table("Auto.data.txt", header = T ,na.strings="?")
Auto = na.omit(Auto)
(a)
attach(Auto) lm.fit = lm(mpg ~ horsepower) summary(lm.fit)
i.由summary的結果來看，F-statistic很大而p-value很小，說明兩者是有相關性的。
ii.由書的54頁可知，看擬合效果如何，得看RSE和R-square。書上55頁講的挺清楚，不過目前不知道RSE在這里怎么解釋擬合效果。。囧。。R-square為0.6059，這說明Y的變異中能被X解釋的部分所占比例有60.59%
iii.由擬合出的參數可知，負相關。
iv.predict(lm.fit, data.frame(horsepower=c(98)), interval="confidence")。結果是24.47，置信區間是(23.97, 24.96)
predict(lm.fit, data.frame(horsepower=c(98)), interval="prediction")。預測區間是(14.81, 34.12)
(b)
plot(horsepower, mpg) abline(lm.fit)
(c)
par(mfrow=c(2,2)) plot(lm.fit)
9.
(a)
Auto = read.table("Auto.data.txt", header = T ,na.strings="?")
Auto = na.omit(Auto)
pairs(Auto)
(b)
cor(subset(Auto, select=-name))
(c)
lm.fit1 = lm(mpg~.-name, data=Auto) summary(lm.fit1)
i.有。有f-statistic和p-value值可以判斷
ii.由p-value小於0.05可知，displacement, weight, year, and origin這幾個預測變量和響應變量有顯著關系。
iii.車齡變量的系數是0.75，這說明隨着車齡的增加，車子會越來越耗油。
(d)
par(mfrow=c(2,2)) plot(lm.fit1) plot(predict(lm.fit1), rstudent(lm.fit1))
(e)
lm.fit2 = lm(mpg~cylinders*displacement+displacement*weight) summary(lm.fit2)
(f)
lm.fit3 = lm(mpg~log(weight)+sqrt(horsepower)+acceleration+I(acceleration^2)) summary(lm.fit3) par(mfrow=c(2,2)) plot(lm.fit3) plot(predict(lm.fit3), rstudent(lm.fit3)) lm.fit2<-lm(log(mpg)~cylinders+displacement+horsepower+weight+acceleration+year+origin,data=Auto) summary(lm.fit2) par(mfrow=c(2,2)) plot(lm.fit2) plot(predict(lm.fit2),rstudent(lm.fit2))
10.
(a)
library(ISLR) summary(Carseats) attach(Carseats) lm.fit = lm(Sales~Price+Urban+US) summary(lm.fit)
(b)
由summary(lm.fit)的結果的p-value和t-statistic可知，Price和US與Sales有關，Urban和Sales無關
(c)
Sales = 13.04 + -0.05*Price - 0.02*Urban + 1.20*US，其中Urban和US為YES時，值為1，否則為0
(d)
Price and US
(e)
由上面分析可知，Urban與Sales無關，所以我們可以去掉這個變量
lm.fit2 = lm(Sales~Price+US)
summary(lm.fit2)
(f)
(a)中Multiple R-squared: 0.239, Adjusted R-squared: 0.234，(e)中Multiple R-squared: 0.239, Adjusted R-squared: 0.235 ，可知兩者擬合度差不多，而(e)稍微好點
(g)
confint(lm.fit2)
(h)
plot(predict(lm.fit2), rstudent(lm.fit2))
通過這個命令得到的圖，我們可知，stuendtize residuals的范圍在-3到3之間，所以沒有離群點
par(mfrow=c(2,2)) plot(lm.fit2)
通過這個命令得到的圖，我們可知，有一些點遠遠超過了其他點，故存在高桿點
11.
按照題目要求先生成x和y
set.seed(1) x = rnorm(100) y = 2*x + rnorm(100)
(a)
lm.fit = lm(y~x+0) summary(lm.fit)
由結果可知，p-value接近0可知，原假設不成立
(b)
lm.fit = lm(x~y+0) summary(lm.fit)
由結果可知，p-value接近0可知，原假設不成立
(c)
這個問題問得讓我都覺得奇怪。。。答案是說明x和y確實是有關系么
(d)
由(a)中結果可知，t-value為18.73.而(sqrt(length(x)-1) * sum(x*y)) / (sqrt(sum(x*x) * sum(y*y) - (sum(x*y))^2))計算結果為18.72593
(e)
我們把t(x,y)換成t(y,x)，會得到t(x,y)=t(y,x)
(f)
對比(a)和(b)結果就行
12.
(a)
由公式
可知，當
和
相等時，滿足題意
(b)
set.seed(1) x = rnorm(100) y = 2*x lm.fit = lm(y~x+0) lm.fit2 = lm(x~y+0) summary(lm.fit) summary(lm.fit2)
(c)
set.seed(1) x <- rnorm(100) y <- -sample(x, 100) lm.fit <- lm(y~x+0) lm.fit2 <- lm(x~y+0) summary(lm.fit) summary(lm.fit2)
13.
這個題目比較簡單。。就是寫代碼
(a)~(g)
set.seed(1)
x = rnorm(100)
eps = rnorm(100, 0, sqrt(0.25))
y = -1 + 0.5*x + eps
plot(x, y)
lm.fit = lm(y~x)
summary(lm.fit)
plot(x, y)
abline(lm.fit, lwd=3, col=2)
abline(-1, 0.5, lwd=3, col=3)
legend(-1, legend = c("model fit", "pop. regression"), col=2:3, lwd=3)
lm.fit_sq = lm(y~x+I(x^2))
summary(lm.fit_sq)
(h)~(i)
這個把eps里的方差值改小一點就行了或者改大一點
set.seed(1)
eps1 = rnorm(100, 0, 0.125)
x1 = rnorm(100)
y1 = -1 + 0.5*x1 + eps1
plot(x1, y1)
lm.fit1 = lm(y1~x1)
summary(lm.fit1)
abline(lm.fit1, lwd=3, col=2)
abline(-1, 0.5, lwd=3, col=3)
legend(-1, legend = c("model fit", "pop. regression"), col=2:3, lwd=3)
set.seed(1)
eps2 = rnorm(100, 0, 0.5)
x2 = rnorm(100)
y2 = -1 + 0.5*x2 + eps2
plot(x2, y2)
lm.fit2 = lm(y2~x2)
summary(lm.fit2)
abline(lm.fit2, lwd=3, col=2)
abline(-1, 0.5, lwd=3, col=3)
legend(-1, legend = c("model fit", "pop. regression"), col=2:3, lwd=3)
(j)
confint(lm.fit) confint(lm.fit1) confint(lm.fit2)
14.
(a)
比較簡單。
，其中，
(b)~(e)
cor(x1, x2) plot(x1, x2) lm.fit = lm(y~x1+x2) summary(lm.fit) lm.fit = lm(y~x1) summary(lm.fit) lm.fit = lm(y~x2) summary(lm.fit)
(f)
不矛盾，因為x1和x2有相關性
(g)
計算離群點和高桿點在10題中做過了
15.
(a)
一個一個的做線性回歸。。。累感不愛
(b)
lm.all = lm(crim~., data=Boston) summary(lm.all)
(c)
x = c(coefficients(lm.zn)[2],
coefficients(lm.indus)[2],
coefficients(lm.chas)[2],
coefficients(lm.nox)[2],
coefficients(lm.rm)[2],
coefficients(lm.age)[2],
coefficients(lm.dis)[2],
coefficients(lm.rad)[2],
coefficients(lm.tax)[2],
coefficients(lm.ptratio)[2],
coefficients(lm.black)[2],
coefficients(lm.lstat)[2],
coefficients(lm.medv)[2])
y = coefficients(lm.all)[2:14]
plot(x, y)
(d)
類似下面代碼一個一個的做回歸。。。
lm.zn = lm(crim~poly(zn,3)) summary(lm.zn)