POJ-1088 滑雪 （包含部分自用測試數據）

這題最簡單的想法是深搜+記錄，由於數據量比較小。這么做可以AC。如果在h大的情況下這種遞歸方法總會有一些問題。

如果轉換一下，這個可以使用遞推來解決，先對高度進行由低到高的排序，然后順序對這些高度計算路徑長度，可以通過數學歸納法證明此方法的合理性：

1、首先我們來考慮：一個高度如果是最小，那么由它開始的最長路徑必然是1。因為它只能走到自己。

2、那么考慮高度第二小的值，首先它只比最小的那個高，那我們可以得出結論，如果它周圍有最小的那個值，那么由它開始的路徑長度是2，如果周圍沒有比它小的，那么路徑長度為1。

假設N=m時，所有等於m或者比m小的高度都計算完最長路徑，所有比m大的都還未被計算。那么當N=m+1時，記此高度的坐標為row,column，計算完的最長路徑存放在way[r][c]中(way[i][j]初始值為-1)。

則way[row-1][column], way[row+1][column], way[row][column-1], way[row][column+1]4個相鄰節點中，如果有way[x][y] + 1 > way[row][column]，那么說明此節點的高度<=m+1，判斷高度，如果小於則可以從[row,column]滑到[x,y]，如果way[x][y]==-1，那么說明[x,y]點大於或等於[row,column]，即使以后計算得出結果，也不能從[row,column]滑到[x,y]，所以對[row,column]節點來講，當前計算的最遠路徑滿足完備性。可以根據之前計算的前m個高度獲得最優解結果。

所以偽代碼如下：

for (int i = 0; i < r*c; i++){
  找到h[i]對應的坐標
  依次判斷周圍四個點的最長路徑和高度
  得出當前坐標的結果
}

這種方式的復雜度是：排序階段O(NlogN)，計算階段是O(4N)，所以總的復雜度是O(NlogN)，在這個計算方式下數據范圍遠不止10000。

 

 

幾個測試數據：

2 3

1 2 3

4 5 6

 

3 3

6 6 6 

6 6 6 

6 6 6

 

1 5

3 2 4 3 2

想了想還是貼個深搜吧，畢竟簡單。

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>

int a[102][102], way[102][102];
int r, c;
const int maxint = 1000001;

int findway(int i, int j){
  if (way[i][j] > 0) return way[i][j];
  if (a[i-1][j] < a[i][j])
    if (findway(i-1,j)+1 > way[i][j])
      way[i][j] = way[i-1][j]+1; 
  if (a[i+1][j] < a[i][j])
    if (findway(i+1,j)+1 > way[i][j])
      way[i][j] = way[i+1][j]+1;
  if (a[i][j-1] < a[i][j])
    if (findway(i,j-1)+1 > way[i][j])
      way[i][j] = way[i][j-1]+1;
  if (a[i][j+1] < a[i][j])
    if (findway(i,j+1)+1 > way[i][j])
      way[i][j] = way[i][j+1]+1;
  //printf("i=%d j=%d way=%d\n", i, j, way[i][j]);
  return way[i][j];
}

int main(){
  int i, j, maxl;
  maxl = 0;
  scanf("%d %d", &r, &c);
  for (i = 0; i <= r+1; i++)
    for (j = 0; j <= c+1; j++)
      a[i][j] = maxint;
  for (i = 1; i <= r; i++)
    for (j = 1; j <= c; j++){
      scanf("%d", &a[i][j]);
      way[i][j] = -1;
    }
  for (i = 1; i <=r; i++)
    for (j = 1; j <= c; j++){
      if ((a[i-1][j] >= a[i][j])&&(a[i+1][j] >= a[i][j])&&(a[i][j-1] >= a[i][j])&&(a[i][j+1] >= a[i][j]))
        way[i][j] = 1;
    }
  for (i = 1; i <= r; i++)
    for (j = 1; j <= c; j++){
      if (maxl < findway(i, j)) maxl = way[i][j];
    }
  printf("%d\n", maxl);
}