對數的計算公式

性質編輯

①

   

；

②

   

；

③負數與零無對數.

④

   

*

   

=1；

恆等式及證明

a^log(a)(N)=N (a>0 ，a≠1）

推導：log(a) (a^N)=N

恆等式證明

在a>0且a≠1，N>0時

設：當log(a)(N)=t，滿足(t∈R)

則有a^t=N;

a^(log(a)(N))=a^t=N;

證明完畢

運算法則編輯

①

 

②

 

③

 

(M,N∈R)

如果

   

，則m為數a的 自然對數，即

   

，e=2.718281828…為自然對數

的底。定義： 若

   

則

 

基本性質：

1、

 

2、

 

3、

 

4、

 

5、

 

推導：

1、因為

   

，代入則

   

，即

   

。

2、MN=M×N

由基本性質1(換掉M和N)

由指數的性質

又因為指數函數是單調函數，所以

3、與（2）類似處理 M/N=M÷N

由基本性質1(換掉M和N)

由指數的性質

又因為指數函數是單調函數，所以

4、與（2）類似處理

由基本性質1(換掉M)

由指數的性質

又因為指數函數是單調函數，所以

或

由基本性質2（展開

   

，如圖所示）

對數基本性質4推導過程

基本性質4推廣

推導如下： 由換底公式（見下面）[

   

是

   

，e稱作自然對數的底]

換底公式的推導： 設

   

則

其中

 

得：

 

由基本性質4可得

 

再由換底公式

 

換底公式編輯

設b=a^m，a=c^n，則b=(c^n)^m=c^(mn)………………………………①

對①取以a為底的對數，有：log(a)(b)=m……………………………..②

對①取以c為底的對數，有：log(c)(b)=mn……………………………③

③/②，得：log(c)(b)/log(a)(b)=n=log(c)(a)∴log(a)(b)=log(c)(b)/log(c)(a)

注：log(a)(b)表示以a為底x的對數。

換底公式拓展：

以e為底數和以a為底數的公式代換：

logae=1/（lna）

推導公式編輯

log(1/a)(1/b)=log(a^-1)(b^-1)=-1/-1logab=loga(b)

loga(b)*logb(a)=1

求導數編輯

(xlogax)'=logax+1/lna

其中，logax中的a為底數，x為真數；

(logax)'=1/xlna

特殊的即a=e時有

(logex)'=(lnx)'=1/x