1、用四元素表達三維的旋轉與使用矩陣相比具有兩個優點：第一，幾何意義明確；第二，計算簡單。因此，四元素在數學、物理學和計算機圖形學中具有很高的應用價值。
2、二維平面上的旋轉可以用復數來表達，三維空間中的旋轉則可以用四元素來表達。用四元素表達三維的旋轉與使用矩陣先比有以上兩個優點。此外，四元素代數還涵蓋了矢量代數、實數、復數和矢量都可以看作是四元素的特列，可以在一個統一的體系中進行運算。
3、四元素的源和流
1）四元素的起源：四元素起源於尋找復數的三維對應物。復數可以表達一個二維矢量，當處理不共面的多個矢量時，需要用新的數來表達一個三維矢量。1843年哈密頓（Hamilton）發明了四元素，這是一種形如A=a0+a1i+a2j+a3k的數，i,j,k滿足他們的平方為-1，ij=-ji=k,jk=-kj=i,ik=-ki=-j.這一新數包含4個分量，並且不滿足乘法的交換律。哈密頓給出了四元素的加法、乘法規則以及四元素的逆和模，指出四元素能通過旋轉、伸長或縮短將一個給定的矢量變成另一個矢量。同年，格拉斯曼(Grassmann)定義了形如a=a1e1+a2e2+a3e3的超復數，並研究了它的n維情形。他定義了超復數的內積和外積，並給出集合意義，但在乘積中二階單元eiej（一階單元的乘積）未被簡化成一階單元。結合后來的著述中可以看出他的研究思路還是線性代數，線性代數中的許多基本概念就是他提出的。在1855年的1篇文章中他定義了16種不同類型的乘積，給出了這些乘積的幾何意義，並應用於力學、磁學、晶體學。
2)、四元素的發展。麥克斯韋(Maxwell)將四元素的數量部分和矢量部分分開，作為實體處理，作了大量的矢量分析、三維矢量分析的建立，及同四元素的正式分裂是18世紀80年代由Gibbs和H額aviside獨立完成的。矢量代數被推廣到矢量函數和矢量微積分。由此開始了四元素和矢量分析的爭論，總重矢量分析占了上風。從純粹代數的觀點看，四元素是令人興奮的，因為它提供了一個除了乘法的交換律外，具有實數和復數性質的例子。后來許多超復數系統被大量地創造出來。例如Galey給出了八元素，x=x0+x1e1+...+x7e7,其中ei的平方為-1，eiej=-ejei(i不等於j)，e1e2=e3，e1e4=e5,e1e6=e7,e2e5=e7,e2e4=-e6,e3e4=e7,e3e5=e6,這種八元素的乘法結合律不是一般的成立。Hamilton在<四元素講義>中還引進了擬四元素，即帶有復系數的四元素，指出此時乘積定律不成立，即兩個非零的擬四元素相乘可以得零。Clifford創立了另一類超復數。。。。
3)歷史上矢量是從四元素中分離出來的，並由此發展為廣泛使用的矢量代數和矢量分析，但矢量的點乘和叉乘不是可結合的，也不是可除的。現在反過來把矢量代數和矢量分析的內容納入到四元素的體系中，這使得矢量仍可用四元素的方法來處理。同時四元素還具有處理旋轉的優勢，是一個封閉的數系。
3、四元素的定義
代數概念：域F上的一個矢量空間V叫做域F上的代數，如果除數乘、加法外還定義乘法，則運算滿足一下關系：
1）a(b+c)=ab+bc.(b+c)a=ba+ca,任意a,b,c屬於V；
2）λ(ab)=(λa)b=a(λb)，任意a，b屬於V，任意λ屬於F。
如果V是F上的有限維空間，稱V為F上的有限維代數；如果乘法滿足結合律，即(ab)c=a(bc),稱V為結合代數；如果e屬於V，使得ea=ae=a,任意a屬於V，且對任意0不等於a屬於V，存在唯一的b屬於V，使得ab=ba=e，稱V為可除代數。
實數是一維結合代數，復數是二維結合代數，四元素是四維結合代數。
以i1、i2、i3代替i，j，k表示四元素的基元，四元素的一般形式為
A = a0+a1i1+a2i2+a3i3,(a0,a1,a2,a3為實數)
基元i1，i2，,i3的運算規則為
i1i2=i3，i2i3=i1，i3i1=i2，
ikl=-ilk(l不等於k)
ik的平方等於-1，ik的共軛等於-ik。
四元素是標量a0與矢量a=a1i1+a2i2+a3i3之和。
4、四元素的運算和性質
還可以證明乘法分配律成立：
5、四元素的幾何意義和三角表達式
由此可以看出形如cosθ+ensinθ的一個四元素表示一個旋轉：以en為轉軸，使垂直於轉軸的平面內的一個矢量按右手螺旋方向轉過θ角。當α反向旋轉時，定義角度為負值，把-θ代入
6、矢量旋轉的四元素表述
轉自 三維轉動的四元數表述--劉俊峰