1．簡單介紹(Brief Introduction)
在學習卡爾曼濾波器之前，首先看看為什么叫“卡爾曼”。
跟其它著名的理論（比如傅立葉變換。泰勒級數等等）一樣。卡爾曼也是一個人的名字，而跟他們不同的是。他是個現代人！
卡爾曼全名Rudolf Emil Kalman，匈牙利數學家，1930年出生於匈牙利首都布達佩斯。
1953，1954年於麻省理工學院分別獲得電機project學士及碩士學位。1957年於哥倫比亞大學獲得博士學位。我們如今要學習的卡爾曼濾波器。正是源於他的博士論文和1960年發表的論文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》（線性濾波與預測問題的新方法）。假設對這編論文有興趣。能夠到這里的地址下載： http://www.cs.unc.edu/~welch/kalman/media/pdf/Kalman1960.pdf
卡爾曼濾波器究竟是干嘛的？我們來看下wiki上的解釋：
卡爾曼濾波的一個典型實例是從一組有限的。包括噪聲的。對物體位置的觀察序列（可能有偏差）預測出物體的位置的坐標及速度。在非常多project應用(如雷達、計算機視覺)中都能夠找到它的身影。同一時候。卡爾曼濾波也是控制理論以及控制系統project中的一個重要課題。
比如,對於雷達來說，人們感興趣的是其能夠跟蹤目標。但目標的位置、速度、加速度的測量值往往在不論什么時候都有噪聲。卡爾曼濾波利用目標的動態信息。設法去掉噪聲的影響。得到一個關於目標位置的好的預計。這個預計能夠是對當前目標位置的預計(濾波)，也能夠是對於將來位置的預計(預測)，也能夠是對過去位置的預計(插值或平滑)。
斯坦利.施密特(Stanley Schmidt)首次實現了卡爾曼濾波器。
卡爾曼在NASA埃姆斯研究中心訪問時。發現他的方法對於解決阿波羅計划的軌道預測非常實用。后來阿波羅飛船的導航電腦便使用了這樣的濾波器。 關於這樣的濾波器的論文由Swerling (1958)、Kalman (1960)與 Kalman and Bucy (1961)發表。
眼下,卡爾曼濾波已經有非常多不同的實現.卡爾曼最初提出的形式如今一般稱為簡單卡爾曼濾波器。除此以外。還有施密特擴展濾波器、信息濾波器以及非常多Bierman, Thornton 開發的平方根濾波器的變種。
或許最常見的卡爾曼濾波器是鎖相環。它在收音機、計算機和差點兒不論什么視頻或通訊設備中廣泛存在。
為了能夠更加easy的理解卡爾曼濾波器。首先應用形象的描寫敘述方法來解說，然后我們結合其核心的5條公式進行進一步的說明和探索。
結合現代的計算機，事實上卡爾曼的程序相當的簡單，僅僅要你理解了他的那5條公式。
在介紹他的5條公式之前。先讓我們來依據以下的樣例做個直觀的解釋。
如果我們要研究的對象是一個房間的溫度。依據你的經驗推斷，這個房間的溫度是恆定的。也就是下一分鍾的溫度等於如今這一分鍾的溫度（如果我們用一分鍾來做時間單位）。
如果你對你的經驗不是100%的相信，可能會有上下偏差幾度。
我們把這些偏差看成是高斯白噪聲（White Gaussian Noise），也就是這些偏差跟前后時間是沒有關系的並且符合高斯分配（Gaussian Distribution）。另外，我們在房間里放一個溫度計，可是這個溫度計也不准確的，測量值會比實際值偏差。
我們也把這些偏差看成是高斯白噪聲。
好了，如今對於某一分鍾我們有兩個有關於該房間的溫度值：你依據經驗的預測值（系統的預測值）和溫度計的值（測量值）。以下我們要用這兩個值結合他們各自的噪聲來估算出房間的實際溫度值。
假如我們要估算k時刻的是實際溫度值。
首先你要依據k-1時刻的溫度值。來預測k時刻的溫度。由於你相信溫度是恆定的，所以你會得到k時刻的溫度預測值是跟k-1時刻一樣的。如果是23度，同一時候該值的高斯噪聲的偏差是5度（5是這樣得到的：如果k-1時刻估算出的最優溫度值的偏差是3。你對自己預測的不確定度是4度。他們平方相加再開方，就是5）。然后。你從溫度計那里得到了k時刻的溫度值，如果是25度。同一時候該值的偏差是4度。
由於我們用於估算k時刻的實際溫度有兩個溫度值，各自是23度和25度。到底實際溫度是多少呢？相信自己還是相信溫度計呢？到底相信誰多一點，我們能夠用他們的covariance來推斷。由於Kg=5^2/(5^2+4^2)。所以Kg=0.6098，我們能夠估算出k時刻的實際溫度值是：23+0.6098*(25-23)=24.22度。能夠看出，由於溫度計的covariance比較小（比較相信溫度計）。所以估算出的最優溫度值偏向溫度計的值。
如今我們已經得到k時刻的最優溫度值了。下一步就是要進入k+1時刻，進行新的最優估算。到如今為止，好像還沒看到什么自回歸的東西出現。對了，在進入k+1時刻之前。我們還要算出k時刻那個最優值（24.22度）的偏差。算法例如以下：((1-Kg)*5^2)^0.5=3.12。這里的5就是上面的k時刻你預測的那個23度溫度值的偏差，得出的3.12就是進入k+1時刻以后k時刻估算出的最優溫度值的偏差（相應於上面的3）。
就是這樣，卡爾曼濾波器就不斷的把covariance遞歸。從而估算出最優的溫度值。
他執行的非常快。並且它僅僅保留了上一時刻的covariance。上面的Kg，就是卡爾曼增益（Kalman Gain）。
他能夠隨不同的時刻而改變他自己的值。是不是非常奇妙！
以下就要言歸正傳，討論真正project系統上的卡爾曼。
在這一部分，我們就來描寫敘述源於Dr Kalman 的卡爾曼濾波器。以下的描寫敘述。會涉及一些主要的概念知識，包含概率（Probability），隨即變量（Random Variable）。高斯或正態分配（Gaussian Distribution）還有State-space Model等等。但對於卡爾曼濾波器的具體證明，這里不能一一描寫敘述。
首先。我們先要引入一個離散控制過程的系統。該系統可用一個線性隨機微分方程（Linear Stochastic Difference equation）來描寫敘述。我們結合以下PPT截圖進行說明：
上兩式子中。x(k)是k時刻的系統狀態，u(k)是k時刻對系統的控制量。
A和B是系統參數，對於多模型系統，他們為矩陣。
y(k)是k時刻的測量值，H是測量系統的參數，對於多測量系統，H為矩陣。q(k)和r(k)分別表示過程和測量的噪聲。他們被如果成高斯白噪聲(White Gaussian Noise)，他們的covariance各自是Q，R（這里我們如果他們不隨系統狀態變化而變化）。
對於滿足上面的條件(線性隨機微分系統，過程和測量都是高斯白噪聲)，卡爾曼濾波器是最優的信息處理器。
先給出KF算法的流程和五個核心更新方程例如以下：
KF算法
五個更新方程為：
編寫公式不方便。所以寫成了PDF然后做了截圖粘在了以下。以下就上面的樣例和五個核心的公式對Kalman算法進行下說明：
就這樣，算法就能夠自回歸的運算下去。
看到這聰明的同學可能已經看出來了，問道卡爾曼增益為什么會是第三步中那樣求，如今僅僅大致說一下原理。詳細推到比較復雜，有興趣的同學能夠參考這文獻去推一推。
還記得前面我們說的誤差協方差矩陣$P_k$么，即求第k次最優溫度的誤差協方差矩陣。相應於上例中的3和3.12....這些值。
看以下PPT，我們最小化P就可以得到卡爾曼增益K，相應上例求解K僅僅最小化最優溫度值的偏差，即最小化P(K)：
我們由第四步能夠看出。k時刻系統的最優溫度值=k-1時刻狀態預計值（由上一狀態的最優溫度值加上過程誤差）+帶卡爾曼增益權值項的偏差。假設觀測誤差遠遠大於預計誤差。那么K就非常小，k時刻的預測值約等於k時刻的狀態預計值。假設對i時刻的狀態預計值誤差遠遠大於觀測誤差。此時對應的q較大，K較大，i時刻的狀態預計值更傾向於觀察的數據。
卡爾曼濾波器的原理基本描寫敘述就完畢了。希望能幫助大家理解這這5個公式，其算法能夠非常easy的用計算機的程序實現。以下，我會用程序舉一個實際執行的樣例。
4． 簡單樣例（A Simple Example）
這里我們結合第二第三節。舉一個很easy的樣例來說明卡爾曼濾波器的工作過程。所舉的樣例是進一步描寫敘述第二節的樣例，並且還會配以程序模擬結果。
根第二節的描寫敘述，把房間看成一個系統，然后對這個系統建模。
當然，我們見的模型不須要很地精確。我們所知道的這個房間的溫度是跟前一時刻的溫度同樣的，所以A=1。
沒有控制量，所以u(k)=0。因此得出：
x(k|k-1)=x(k-1|k-1) ……… (6)
式子（2）能夠改成：
P(k|k-1)=P(k-1|k-1) +Q ……… (7)
由於測量的值是溫度計的，跟溫度直接相應。所以H=1。式子3，4，5能夠改成下面：
X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-X(k|k-1)) ……… (8)
Kg(k)= P(k|k-1) / (P(k|k-1) + R) ……… (9)
P(k|k)=（1-Kg(k)）P(k|k-1) ……… (10)
更為具體的過程可參考有關的資料。
文章參考了：
1 博文http://hi.baidu.com/irvkqscjezbrtwq/item/4ad3bb018b8c7e37a3332a07
2 自己主動化所董秋雷上課課件
3 《學習Opencv》 於仕琪 P384 kalman濾波器部分
4 假設做視頻跟蹤詳細參數選擇可參考《數字視頻處理》黎洪松 P102-106
5 假設想探索其詳細推導過程可參考《現代信號處理》 張賢達 P177-188