關於計算機中的《補碼》，公式：-n=~n+1 引伸：~n=-n-1

在計算機系統中，數值一律用補碼來表示（存儲）。主要原因是使用補碼可以將符號位和其他位統一處理；同時，減法也可以按加法來處理。另外，兩個用補碼表示的數相加時，如果最高位（符號位）有進位，則進位被舍棄。補碼跟源碼的轉換過程幾乎是相同的。

補碼概述
　　求給定數值的補碼表示分以下兩種情況：
⑴正數的補碼
　　與 原碼 相同。
　　【例1】+9的補碼是00001001。（備注：這個+9的補碼說的是用8位的2進制來表示補碼的，補碼表示方式很多，還有16位2進制補碼表示形式，以及32位2進制補碼表示形式等。）
⑵負數的補碼
　　負數的補碼是對其原碼逐位取反，但符號位除外；然后整個數加1。
　　同一個數字在不同的補碼表示形式里頭，是不同的。比方說-15的補碼，在8位2進制里頭是11110001，然而在16位2進制補碼表示的情況下，就成了1111111111110001。在這篇補碼概述里頭涉及的補碼轉換默認把一個數轉換成8位2進制的補碼形式，每一種補碼表示形式都只能表示有限的數字。
　　【例2】求-7的補碼。
　　因為給定數是負數，則符號位為“1”。
　　后七位：-7的原碼（10000111）→按位取反（11111000）（負數符號位不變）→加1(11111001)
　　所以-7的補碼是11111001。
　　已知一個數的補碼，求原碼的操作分兩種情況：
　　⑴如果補碼的符號位為“0”，表示是一個正數，其原碼就是補碼。
　　⑵如果補碼的符號位為“1”，表示是一個負數，那么求給定的這個補碼的補碼就是要求的原碼。
　　再舉一個例子：求-64的補碼
　　+64：01000000
　　11000000
　　【例3】已知一個補碼為11111001，則原碼是10000111（-7）。
　　因為符號位為“1”，表示是一個負數，所以該位不變，仍為“1”。
　　其余七位1111001取反后為0000110；
　　再加1，所以是10000111。
　　在“閑扯原碼、 反碼 、補碼”文件中，沒有提到一個很重要的概念“模”。我在這里稍微介紹一下“模”
　　的概念：
　　“模”是指一個計量系統的計數范圍。如時鍾等。 計算機 也可以看成一個計量機器，它也有一個計量范
　　圍，即都存在一個“模”。例如：
　　時鍾的計量范圍是0～11，模=12。
　　表示n位的計算機計量范圍是0～2^(n)-1，模=2^(n）。
　　“模”實質上是計量器產生“溢出”的量，它的值在計量器上表示不出來，計量器上只能表示出模的
　　余數。任何有模的計量器，均可化減法為加法運算。
　　例如：假設當前時針指向10點，而准確時間是6點，調整時間可有以下兩種撥法：
　　一種是倒撥4小時，即：10-4=6
　　另一種是順撥8小時：10+8=12+6=6
　　在以12模的系統中，加8和減4效果是一樣的，因此凡是減4運算，都可以用加8來代替。
　　對“模”而言，8和4互為補數。實際上以12模的系統中，11和1，10和2，9和3，7和5，6和6都有這個特
　　性。共同的特點是兩者相加等於模。
　　對於計算機，其概念和方法完全一樣。n位計算機，設n=8， 所能表示的最大數是11111111，若再
　　加1稱為100000000(9位），但因只有8位，最高位1自然丟失。又回了00000000，所以8位 二進制系統 的
　　模為2^8。在這樣的系統中減法問題也可以化成加法問題，只需把減數用相應的補數表示就可以
　　了。把補數用到計算機對數的處理上，就是補碼。
　　另外兩個概念
　　一的補碼（one's complement) 指的是正數=原碼，負數=反碼
　　而二的補碼（two's complement) 指的就是通常所指的補碼。
　　小數補碼求法：一種簡單的方式，符號位保持1不變，數值位從右邊數第一個1及其右邊的0保持不變，左邊按位取反。
⑶.補碼的絕對值（稱為真值）
　　【例4】-65的補碼是10111111
　　若直接將10111111轉換成十進制，發現結果並不是-65，而是191。
　　事實上，在計算機內，如果是一個 二進制 數，其最左邊的位是1，則我們可以判定它為負數，並且是用補碼表示。
　　若要得到一個負二進制數的絕對值（稱為真值），只要各位（不包括符號位）取反，再加1，就得到真值。
　　如：二進制值：10111111（-65的補碼）
　　各位取反：01000000
　　加1：01000001（+65的補碼）
編輯本段代數加減運算
1、補碼加法
　　[X+Y]補 = [X]補 + [Y]補
　　【例5】X=+0110011,Y=-0101001，求[X+Y]補
　　[X]補=00110011 [Y]補=11010111
　　[X+Y]補 = [X]補 + [Y]補 = 00110011+11010111=00001010
　　注：因為 計算機 中運算器的位長是固定的，上述運算中產生的最高位進位將丟掉，所以結果不是
　　100001010，而是00001010。
2、補碼減法
　　[X-Y]補 = [X]補 - [Y]補 = [X]補 + [-Y]補
　　其中[-Y]補稱為負補，求負補的方法是：負數的絕對值的 原碼 所有位按位取反；然后整個數加1。（恢復本來解釋。請路人真正理解並實際驗證后再修改。以免誤導大眾。另外，例6不具典型性，新增例7。）
　　【例6】1+（-1) [十進制]
　　1的原碼00000001 轉換成補碼：00000001
　　-1的原碼10000001 轉換成補碼：11111111
　　1+（-1)=0
　　00000001+11111111=00000000
　　00000000轉換成十進制為0
　　0=0所以運算正確。
　　【例7增】-7-（-10) [十進制]
　　-7的補碼：11111001
　　-10的補碼：11110110
　　-（-10）：按位取反再加1實際上就是其負值的補碼，為00001010
　　-7 - （-10)= -7 + 10 = 3
　　11111001+00001010 = 00000011
　　轉換成十進制為3
3、補碼乘法
　　設被乘數【X】補=X0.X1X2……Xn-1，乘數【Y】補=Y0.Y1Y2……Yn-1,
　　【X*Y】補=【X】補×【Y】補，即乘數（被乘數）相乘的補碼等於補碼的相乘。
編輯本段代數解釋
　　任何一個數都可以表示為-a=2^(n-1)-2^(n-1)-a;
　　這個假設a為正數，那么-a就是負數。而根據二進制轉十進制數的方法，我們可以把a表示為：a=k0*2^0+k1*2^1+k2*2^2+……+k(n-2)*2^(n-2），第（n-1）位為符號位不計算在內。
　　這里k0,k1,k2,k(n-2）是1或者0，而且這里設a的二進制位數為n位，即其模為2^(n-1），而2^(n-1）其二項展開是：1+2^0+2^1+2^2+……+2^(n-2），而式子：-a=2^(n-1)-2^(n-1)-a中，2^(n-1)-a代入a=k0*2^0+k1*2^1+k2*2^2+……+k(n-2)*2^(n-2）和2^(n-1)=1+2^0+2^1+2^2+……+2^(n-2）兩式，2^(n-1)-a=(1-k(n-2))*2^(n-2)+(1-k(n-3))*2^(n-3)+……+(1-k2)*2^2+(1-k1)*2^1+(1-k0)*2^0+1，而這步轉化正是取反再加1的規則的代數原理所在。因為這里k0,k1,k2,k3……不是0就是1，所以1－k0,1-k1,1-k2的運算就是二進制下的取反，而為什么要加1，追溯起來就是2^(n-1）的二項展開式最后還有一項1的緣故。而-a=2^(n-1)-2^(n-1)-a中，還有-2^(n-1）這項未解釋，這項就是補碼里首位的1，首位1在轉化為十進制時要乘上2^(n-1），這正是n位 二進制的 模。
　　不能貼公式，所以看起來很麻煩，如果寫成代數式子看起來是很方便的。

　　注：n位二進制，最高位為符號位，因此表示的數值范圍-2^(n-1) ——2^(n-1) -1，所以模為2^(n-1）。上面提到的8位二進制模為2^8是因為最高位非符號位，表示的數值范圍為0——2^8-1。