1、集合的異或運算(AΔB)定義
屬於A或屬於B，但不同時屬於A和B的元素的集合稱為A和B的對稱差，即A和B的異或。
注：草綠色部分即為 AΔB
2、對稱差(異或)運算的定律
2.1 AΔB = (A-B)∪(B-A) = (A∪B)-(A∩B)
該公式的證明已在 集合的證明及相關習題 中證明了
2.2 對稱差運算的交換律
(AΔB)ΔC = (AΔC)ΔB
注：圖1中草綠色部分為 (AΔB) ，三角形區域為 C ，(AΔB)ΔC = 僅含草綠色或僅含三角形的區域
注：圖2中草綠色部分為 (AΔC) ，三角形區域為 B ，(AΔC)ΔB = 僅含草綠色或僅含三角形的區域
證明：
(AΔB)ΔC
= [(A-B)∪(B-A)]△C
= {[(A-B)∪(B-A)] - C} ∪ {C - [(A-B)∪(B-A)]}
轉換全部 '-' 號
= {[(A∩～B)∪(～A∩B)] ∩ (～C)} ∪ {C∩～[(A∩～B)∪(～A∩B)]}
對大括號的2部分分別進行公式化解
左邊部分：
{[(A∩～B)∪(～A∩B)] ∩ (～C)}
將(A∩～B)和(～A∩B)當整體，根據分配律
{[(A∩～B)∪(～A∩B)] ∩ (～C)}
= {[(A∩～B)∩(～C)]∪[(～A∩B)∩(～C)]}
根據結合律
= {(A∩～B∩～C)∪(～A∩B∩～C)}
右邊部分：
{C∩～[(A∩～B)∪(～A∩B)]}
根據De.Morgen定律，將～移進去
= {C∩[～(A∩～B)∩～(～A∩B)]}
根據De.Morgen定律，繼續將～移進去
= {C∩[(～A∪～～B)∩(～～A∪～B)]}
∵～～B = B，～～A = A
∴{C∩[(～A∪～～B)∩(～～A∪～B)]} = {C∩[(～A∪B)∩(A∪～B)]}
將(～A∪B)當作整體，繼續用分配律處理[(～A∪B)∩(A∪～B)]
[(～A∪B)∩(A∪～B)]
= [(～A∪B)∩A]∪[(～A∪B)∩～B)]
繼續分配律
= [(～A∩A)∪(B∩A)]∪[(～A∩～B)∪(B∩～B)]
= [φ∪(B∩A)]∪[(～A∩～B)∪φ]
= (B∩A)∪(～A∩～B)
∴{C∩[(～A∪B)∩(A∪～B)]} = {C∩(B∩A)∪(～A∩～B))
將(B∩A)和(～A∩～B)分別當作整體，根據分配律
= (A∩B∩C)∪(～A∩～B∩C)
∴(AΔB)ΔC = {(A∩～B∩～C)∪(～A∩B∩～C)} ∪ (A∩B∩C)∪(～A∩～B∩C)
根據以上步驟，將B看着C，同理可推得：
(AΔC)ΔB = {(A∩～C∩～B)∪(～A∩C∩～B)} ∪ (A∩C∩B)∪(～A∩～C∩B)
根據結合律：
(AΔC)ΔB = {(A∩～B∩～C)∪(～A∩B∩～C)} ∪ (A∩B∩C)∪(～A∩～B∩C)
∴(AΔB)ΔC = (AΔC)ΔB
點評：該證明過程重點在於將2個類似的式子轉化為可用結合律移動位置的中間表達式，從而得證
3、集合的異或運算在計算機中的應用
3.1 證明：當 AΔB = C 時，AΔC = B
即典型的異或運算 A xor B = C，A xor C = B
在編程中常用該可逆運算對數據 B 異或一個常量 A 轉換后進行加密保護，當要還原數據B時，再次用 C 異或常量 A 即可得到B
注:圖1中草綠色部分即為 AΔB = C
圖2中草綠色部分即為 C，三角形區域為 A，AΔC = 僅有草綠色或僅有三角形的區域 = B
證明：
∵AΔB = C
∴C = (A∪B)-(A∩B)
將C代入到AΔC中
AΔC = AΔ[(A∪B)-(A∩B)]
= {A∪[(A∪B)-(A∩B)]} - {A∩[(A∪B)-(A∩B)]}
先處理左邊式子
{A∪[(A∪B)-(A∩B)]}
= A∪{(A∪B)∩[～(A∩B)]}
將 (A∪B) 和 [～(A∩B)]看着整體，根據分配律
= [A∪(A∪B)] ∩ {A∪[～(A∩B)]}
= (A∪B) ∩ {A∪[～(A∩B)]}
根據De.morgen定律
= (A∪B) ∩ {A∪[～A∪～B)]}
= (A∪B) ∩ {(A∪～A)∪～B}
= (A∪B) ∩ {E∪～B}
= (A∪B) ∩ E
= (A∪B)
再處理右邊式子
{A∩[(A∪B)-(A∩B)]}
= A∩{(A∪B)∩[～(A∩B)]}
= A∩(A∪B)∩[～(A∩B)]
根據吸收律反推
A∩(A∪B) = A
A∩(A∪B)∩[～(A∩B)] = A∩[～(A∩B)]
合並左右式子
AΔC = (A∪B) - {A∩[～(A∩B)]}
將[～(A∩B)]看着整體，根據De.morgen定律
(A∪B) - {A∩[～(A∩B)]} = (A∪B) ∩ {～ {A∩[～(A∩B)]}}
再次根據De.morgen定律
= (A∪B) ∩ {～A∪～[～(A∩B)]}
= (A∪B) ∩ {～A∪(A∩B)}
= (A∪B) ∩ {～A∪(A∩B)}
根據分配律
= (A∪B) ∩ {(～A∪A)∩(～A∪B)}
= (A∪B) ∩ {E∩(～A∪B)}
= (A∪B) ∩ (～A∪B)
根據分配律倒推
= B∪(A∩～A)
= B∪(φ)
= B
∴AΔC = B
3.2 《離散數學及其應用》第6版P83 21 題
證明：當 AΔB = AΔC時，是否有B = C
即如果2個數和同一個常量 A 進行異或后的結果相等，那么這兩個數必定相等，這是 ∪∩ 等運算沒有的性質
證明：
∵AΔB = AΔC = D
根據上面證明：當 AΔB = D 時，AΔD = B(將上面證明中的C換成D，以免歧義)
同理
∵AΔC = D
∴AΔD = C = B
∴C = B
3.3 《離散數學及其應用》第6版P83 19 題
證明：若A是全集E的子集，則:
a) AΔA= Φ b) AΔΦ = A
c) AΔE= ～A d) AΔ(～A)= E
a) 證明：
AΔA= (A-A)∪(A-A) = Φ∪Φ = Φ
b) 證明：
AΔΦ = (A∪Φ)-(A∩Φ) = A-Φ = A
c) 證明：
AΔE= (A∪E)-(A∩E) = E-A = ～A
d) 證明：
AΔ(～A)= (A∪～A)-(A∩～A) = E-Φ = E
點評：此4組證明a和b是一組，互為可逆運算，c和d是一組，互為可逆運算，這也是異或運算的重要性質
a) AΔA= Φ 即表示 A xor A = 0
這在匯編中經常用來給寄存器清0操作：xor eax, eax（因為只需要1個字節的命令,其他指令都要2個以上的字節）
c) AΔE= ～A 給出了異或和補集的轉換公式，即異或和反碼的轉換