非監督學習方法---k均值聚類（k-means）

簡介：聚類屬於無監督學習，相比於分類，聚類不依賴預定義的類和類標號的訓練實例。本文首先介紹聚類的基礎——距離與相異度，然后介紹一種常見的聚類算法——k均值和k中心點聚類。

一：相異度計算：

在正式討論聚類前，我們要先弄清楚一個問題：如何定量計算兩個可比較元素間的相異度。用通俗的話說，相異度就是兩個東西差別有多大，例如人類與章魚的相異度明顯大於人類與黑猩猩的相異度，這是能我們直觀感受到的。但是，計算機沒有這種直觀感受能力，我們必須對相異度在數學上進行定量定義。

      設，其中X，Y是兩個元素項，各自具有n個可度量特征屬性，那么X和Y的相異度定義為：，其中R為實數域。也就是說相異度是兩個元素對實數域的一個映射，所映射的實數定量表示兩個元素的相異度。

      下面介紹不同類型變量相異度計算方法。

1.標量：

標量也就是無方向意義的數字，也叫標度變量。現在先考慮元素的所有特征屬性都是標量的情況。例如，計算X={2,1,102}和Y={1,3,2}的相異度。一種很自然的想法是用兩者的歐幾里得距離來作為相異度，歐幾里得距離的定義如下：

 

      其意義就是兩個元素在歐氏空間中的集合距離，因為其直觀易懂且可解釋性強，被廣泛用於標識兩個標量元素的相異度。將上面兩個示例數據代入公式，可得兩者的歐氏距離為：

     

  除歐氏距離外，常用作度量標量相異度的還有曼哈頓距離和閔可夫斯基距離，兩者定義如下：

      曼哈頓距離：

      閔可夫斯基距離：

      歐氏距離和曼哈頓距離可以看做是閔可夫斯基距離在p=2和p=1下的特例。另外這三種距離都可以加權，這個很容易理解，不再贅述。

      下面要說一下標量的規格化問題。上面這樣計算相異度的方式有一點問題，就是取值范圍大的屬性對距離的影響高於取值范圍小的屬性。例如上述例子中第三個屬性的取值跨度遠大於前兩個，這樣不利於真實反映真實的相異度，為了解決這個問題，一般要對屬性值進行規格化。所謂規格化就是將各個屬性值按比例映射到相同的取值區間，這樣是為了平衡各個屬性對距離的影響。通常將各個屬性均映射到[0,1]區間，映射公式為：

     

      其中max(ai)和min(ai)表示所有元素項中第i個屬性的最大值和最小值。例如，將示例中的元素規格化到[0,1]區間后，就變成了X’={1,0,1}，Y’={0,1,0}，重新計算歐氏距離約為1.732。

2.二元變量

 所謂二元變量是只能取0和1兩種值變量，有點類似布爾值，通常用來標識是或不是這種二值屬性。對於二元變量，上一節提到的距離不能很好標識其相異度，我們需要一種更適合的標識。一種常用的方法是用元素相同序位同值屬性的比例來標識其相異度。

      設有X={1,0,0,0,1,0,1,1}，Y={0,0,0,1,1,1,1,1}，可以看到，兩個元素第2、3、5、7和8個屬性取值相同，而第1、4和6個取值不同，那么相異度可以標識為3/8=0.375。一般的，對於二元變量，相異度可用“取值不同的同位屬性數/單個元素的屬性位數”標識。

      上面所說的相異度應該叫做對稱二元相異度。現實中還有一種情況，就是我們只關心兩者都取1的情況，而認為兩者都取0的屬性並不意味着兩者更相似。例如在根據病情對病人聚類時，如果兩個人都患有肺癌，我們認為兩個人增強了相似度，但如果兩個人都沒患肺癌，並不覺得這加強了兩人的相似性，在這種情況下，改用“取值不同的同位屬性數/(單個元素的屬性位數-同取0的位數)”來標識相異度，這叫做非對稱二元相異度。如果用1減去非對稱二元相異度，則得到非對稱二元相似度，也叫Jaccard系數，是一個非常重要的概念。

推廣：分類變量

分類變量是二元變量的推廣，類似於程序中的枚舉變量，但各個值沒有數字或序數意義，如顏色、民族等等，對於分類變量，用“取值不同的同位屬性數/單個元素的全部屬性數”來標識其相異度。

3.序數變量

序數變量是具有序數意義的分類變量，通常可以按照一定順序意義排列，如冠軍、亞軍和季軍。對於序數變量，一般為每個值分配一個數，叫做這個值的秩，然后以秩代替原值當做標量屬性計算相異度。

4.向量

  對於向量，由於它不僅有大小而且有方向，所以閔可夫斯基距離不是度量其相異度的好辦法，一種流行的做法是用兩個向量的余弦度量，其度量公式為：

     

      其中||X||表示X的歐幾里得范數。要注意，余弦度量度量的不是兩者的相異度，而是相似度！

向量內積（數量積，點積）：

在數學中，數量積（dot product; scalar product，也稱為點積）是接受在實數R上的兩個 向量並返回一個實數值 標量的 二元運算。它是 歐幾里得空間的標准 內積。

兩個向量a = [a1, a2,…, an]和b = [b1, b2,…, bn]的點積定義為：

a·b=a1b1+a2b2+……+anbn。

使用 矩陣乘法並把（縱列）向量當作n×1  矩陣，點積還可以寫為：

a·b=a*b^T，這里的b^T指示矩陣b的 轉置。

向量外積：

把向量外積定義為：

|a  ×b| = |a|·|b|·Sin<a,b>.

方向根據右手法則確定，就是手掌立在a、b所在平面的向量a上，掌心向b，那么大拇指方向就是垂直於該平面的方向，被規定為 外積的方向。

 

 

二：聚類問題：

     所謂聚類問題，就是給定一個元素集合D，其中每個元素具有n個可觀察屬性，使用某種算法將D划分成k個子集，要求每個子集內部的元素之間相異度盡可能低，而不同子集的元素相異度盡可能高。其中每個子集叫做一個簇。

     與分類不同，分類是示例式學習，要求分類前明確各個類別，並斷言每個元素映射到一個類別，而聚類是觀察式學習，在聚類前可以不知道類別甚至不給定類別數量，是無監督學習的一種。目前聚類廣泛應用於統計學、生物學、數據庫技術和市場營銷等領域，相應的算法也非常的多。本文僅介紹一種最簡單的聚類算法——k均值（k-means）算法。

 

三：K-means算法及其示例

 k均值算法的計算過程非常直觀：

      1、從D中隨機取k個元素，作為k個簇的各自的中心。

      2、分別計算剩下的元素到k個簇中心的相異度，將這些元素分別划歸到相異度最低的簇。

      3、根據聚類結果，重新計算k個簇各自的中心，計算方法是取簇中所有元素各自維度的算術平均數。

      4、將D中全部元素按照新的中心重新聚類。

      5、重復第4步，直到聚類結果不再變化。

      6、將結果輸出。