灰度直方圖均衡化的算數推導

首先考慮連續函數並且讓變量r表示待增強圖像的灰度級。假設r被歸一化到[0,1]，且r=0表示黑色，r=0表示白色。

對於連續函數，假設其變換函數為

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（公式一）

在原始圖像中，對於每一個r對應着一個灰度值s。其中變換函數要滿足以下條件：

1. T(r)在[0,1]中為單值，且單調遞增。
2. 當0<=r<=1時，0<=T(r)<=1。這樣保證輸出的灰度級與輸入的灰度級有同樣的范圍。

把公式一的逆函數表示為

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（公式二）

令P_r(r)和P_s(s)分別表示隨機變量r和s的概率密度函數。由基本概率理論得到一個基本結果：如果P_r(r)和T(r)已知，且T^-1(s)滿足條件1，則

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   （公式三）

因此，變換變量s的概率密度函數由輸入圖像的灰度級概率密度函數和所選擇的變換函數所決定。

在圖像處理中一個尤為重要的變換函數：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(公式四)

該公式為隨機變量r的一個累積分布函數，因此滿足條件1。同樣的，區間[0,1]也滿足條件2，其積分過程如下：

 　　

將這個結果代入公式三，得

P_s(s)=1

由此可以看出，公式四給出的變換函數會得到一個隨機變量，其特征為一個均勻概率密度函數，與P_r(r)的函數形式是無關的。綜上所述，公式四便是一個直方圖均衡化的基本原理，該等式右邊的意義就是隨機變量r的累積分布函數。這樣就轉化為了求輸入圖像灰度級r的累積分布函數。

下面開始討論離散函數。對於離散值，處理的是它函數概率的和，而不是概率密度函數的積分。一幅圖像中灰度級r_k出現的概率近似為：

其中，n是圖像中像素的總和，n_k是灰度級為r_k的像素的個數，L為圖像中可能的灰度級總數。公式四中變換函數的離散形式為：

與連續形式不同，一般不能證明離散變換能產生均勻概率密度函數的離散值（為均勻直方圖）。

 

參考地址：http://www.docin.com/p-412843638.html