最近在@研究者July 的微博上看到一道有趣的邏輯題，是阿里巴巴2016年校招筆試題，原微博地址如下：http://weibo.com/1580904460/CyEfEyOT6?type=comment#_rnd1441345987133 。順便說一下，讀書的時候@研究者July的博客我也是經常看的，學到不少東西。在這里把這道題搬過來，並給出自己的解法。
是一道選擇題，原題如下：
1， 2， 3， …… ， 49， 50里選擇一個集合S，使得若x屬於S，則2x不屬於S，則S最多能有（）個元素。
A. 25 B. 27 C. 30 D. 33 E. 36 F. 37
這道題如果直接暴力求解也可以很快得到答案，本文想給出一個一般化的解法。
假設最大的數不是50，而是n。根據題意，我們只需將1到n之間所有有2倍關系的數連接起來構造一個“二倍鏈”，因為不同的二倍鏈之間不會相互干擾，所以可以單獨考慮每個二倍鏈最多能取多少個數，然后將所有二倍鏈可取的數目加起來即可。
比如n=11，那么所有的二倍鏈有：
1--2--4--8
3--6
5--10
7
9
11
我們發現，每個二倍鏈的第一個數一定是奇數；如果是偶數，因為偶數一定是某個數的二倍，所以一定已經在前面的二倍鏈中出現過。另外，如果從一個二倍鏈中取某一個數，那么這個數左右兩邊的數（如果有）就不能再取了，即滿足“相鄰互斥性”。
接着，我們要計算每個二倍鏈最多能拿出多少個數構成集合S。這里先給出結論，對於長度為len的鏈，最多可以取
個數構成集合S。當然這個結論需要嚴格的證明，證明過程也不難，這里做簡化說明。
當len為偶數時，只需要在二倍鏈中間隔取數即可，所以共可取len/2個數。當len為奇數時，要從第一個數開始間隔取數，這樣首尾兩個數都能取到，所以最多可以取(len + 1) / 2 個數。例如，對於二倍鏈1--2--4--8，既可以取{1, 4}，也可以取{2, 8}；而對於1--2--4--8--16，只能取{1, 4, 16}是最多的。所以問題轉化成求每個二倍鏈的長度。
更進一步，其實每個二倍鏈是這樣的結構（不妨設n為奇數）：
PS:以上最后一個二倍鏈只有n本身。
所以每個以奇數c開始的二倍鏈的長度為
，其中
為
故S中元素的最大個數為
同理，當n為偶數時，S中元素的最大個數為
最后再廢話一下，上面兩式可以合並為一個式子表示。假設m為小於n的最大奇數，那么
因此（1）（2）兩式可以合並寫為
最后，當n = 50時，帶入（4）式，用matlab命令
>> sum(floor(log2(n ./ [1 : 2 : n - 1]) / 2)) + n / 2
容易求出結果為33，因此答案為D。