數據挖掘之關聯分析六（子圖模式）

子圖模式

頻繁子圖挖掘（frequent subgraph mining）：在圖的集合中發現一組公共子結構。

圖和子圖

圖是一種用來表示實體集之間聯系的數據結構。

子圖，圖\(G' = (V', E')\)是另一個圖\(G = (V, E)\)的子圖，如果它的頂點集V'是V的子集，並且它的邊集E'是E的子集，子圖關系記做\(G' \subseteq s G\)。

支持度，給定圖的集族\(\varsigma\), 子圖\(g\)的支持度定義為包含它的所有圖所占的百分比。

\[s(g) = \frac{|{G_i | g \subseteq s G_i, G_i \subseteq \varsigma}|}{ | \varsigma | } \]

頻繁子圖挖掘

頻繁子圖挖掘 給定集合\(\varsigma\)和支持度閾值\(minsup\)，頻繁子圖挖掘的目標是找出使得所有\(s(g) \geq minsup\)的子圖\(g\).

該定義適用於所有類型的圖，但是本章主要關注無向連通圖（undirected，connected graph）。定義如下

1. 一個圖是連通你的，如果圖中每對頂點之間都存在一條路徑。
2. 一個圖是無向的，如果它只包含無向邊。

挖掘頻繁子圖的是計算量很大的任務，對於d個實體的數據集，子圖總數為

\[\sum_{i = 1}^d C_d^i \times 2^{i(i-1)/2} \]

其中，\(C_d^i\)是選擇i個頂點形成的子圖方法數，\(2^{i(i-1)/2}\)是子圖的頂點之間邊的最大值。

候選的子圖很多，但不連通的子圖通常被忽略，因為它們沒有連通子圖令人感興趣。
頻繁子圖挖掘的一種蠻力方法是，產生所有連通子圖作為候選，並計算各自的支持度。候選子圖比傳統的候選項集的個數大得多的原因為

1. 項在項集中之多出現一次，而某個標號可能在一個圖中出現多次。
2. 相同的頂點標號對可以有多重邊標號選擇。

給定大量候選子圖，即使對於規模適應的圖，蠻力方法也可能垮掉

類Apriori方法

1.數據變換，一種方法是將圖變換為類似事務的形式，使得我們可以使用諸如Apriori等已有的算法。在這種情況下，邊標號和對應的頂點標號\((l(v_i), l(v_j))\)組合被映射到一個項。事務的寬度由圖的邊數決定。但是，只有當圖中每一條邊都具有唯一的頂點和邊標號組合時，該方法才可行。

2.頻繁子圖挖掘算法的一般結構
挖掘頻繁子圖的類Apriori算法由以下步驟組成，

1. 候選產生：合並頻繁（k-1）-子圖對，得到候選k-子圖。
2. 候選剪枝：丟棄包含非頻繁的(k-1)-子圖的所有候選k-子圖。
3. 支持度計數：統計\(\varsigma\)中包含每個候選的圖的個數。
4. 候選刪除：丟棄支持度小於minsup的所有候選子圖。

候選產生

在候選產生階段，合並(k-1)-子圖為k-子圖，首要問題是如何定義子圖的大小k。通過添加一個頂點，迭代地擴展子圖的方法稱作頂點增長（vertex growing）。k也可以是圖中邊的個數，添加一條邊到已有的子圖中來擴展子圖的方法稱作邊增長（edge growing）。

為了避免產生重復的候選，我們可以對合並施加條件：兩個(k-1)-子圖必須共享一個共同的(k-2)-子圖，共同的子圖稱為核（core）。

1.通過頂點增長來產生候選
通過添加一個新的結點到已經存在的一個頻繁子圖上來產生候選。可以使用鄰接矩陣來表示圖，每一項M（i,j）為鏈接\(v_i\)和\(v_j\)的的邊或者0。

合並過程：
鄰接矩陣\(M^{(1)}\)與另一個鄰接矩陣\(M^{(2)}\)合並，如果刪除\(M^{(1)}\)和\(M^{(2)}\)的最后一行和最后一列得到的子矩陣相同，結果得到的候選矩陣為在\(M^{(1)}\)后面添加\(M^{(2)}\)的最后一行和最后，新矩陣的其余項為0，或者連接頂點對的合法標號替換。
上面圖中合並后得到的\(G3\)的？邊可以通過考慮所有可能的邊標號從而大大增加了候選的子圖個數。

2.通過邊增長產生候選
變增長將一個新的邊插入到一個已經存在的頻繁子圖中。與頂點增長不同，結果子圖的頂點個數不一定增長。

邊增長合並過程：
一個頻繁子圖\(g^{(1)}\)和另一個頻繁子圖\(g^{(2)}\)合並，僅當從\(g^{(1)}\)刪除一條邊后得到的子圖與從\(g^{(2)}\)中刪除一條邊后得到的子圖的拓撲等價，合並后的結果是\(g^{(1)}\)添加\(g^{(2)}\)那條二外的邊。

拓撲等價：

G1中的每個頂點都等價，G2中有兩對頂點等價：\(v_1\)與\(v_4\)，\(v_2\)與\(v_3\)。G3沒有等價頂點。

下面兩個(k-1)-子圖G1和G2，相同的核用矩形框表示

根據a與c是否相等和b與d是否相等，合並得到的結果有

當一對(k-1)-子圖相同的核有多個時，會產生更多的候選子圖，如下所示，有兩個相同的核

候選剪枝

需要剪去(k-1)-子圖非頻繁的候選。候選剪枝可以，通過以下方式實現。
相繼從k-子圖中刪除一條邊，並檢查得到的(k-1)-子圖是否連通且頻繁。如果不是，則舍棄。
為了檢查(k-1)子圖是否頻繁，需要將其與其他的(k-1)-子圖匹配。判定連個圖是夠拓撲等價，即圖同構。

處理圖同構
處理圖同構的問題的標准方法是，將每個圖都映射到一個唯一的串表達式，稱作代碼或規范標號（canonical label）。如果兩個圖是同構的，則它們的代碼一定相同。這個性質可以使得我們通過比較圖的規范編號來檢查圖同構。

構造圖的規范標號的第一步是找出圖的鄰接矩陣表示。可利用矩陣中的基本矩陣進行行列互換。
第二步是確定每個鄰接矩陣的串表示，由於鄰接舉證是串表示的，因此只需要根據矩陣的上三角陣部分構造串就足夠了。
第三步比較圖的所有串表示，並選出具有最小（最大）字典序值的串，確保每個圖的字符串唯一。

支持度計數

支持度計數對於每個\(G \in \varsigma\)，必須確保包含G中的所有候選子圖。加快的策略是維護一個與每個頻繁(k-1)-子圖相關聯的圖ID表，如果新的候選k-子圖通過合並一對拼單(k-1)-子圖而生成，就對它們的對應圖ID表求交集。最后，子圖同構檢查就在表中的圖上進行，確定它們是否包含特定的子圖。

數據挖掘之關聯分析一（基本概念）
數據挖掘之關聯分析二（頻繁項集的產生）
數據挖掘之關聯分析三（規則的產生）
數據挖掘之關聯分析四（連續屬性處理）
數據挖掘之關聯分析五（序列模式）
數據挖掘之關聯分析六（子圖模式）
數據挖掘之關聯分析七（非頻繁模式）