（轉）確定權重方法之一：主成分分析

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什么是權重呢？所謂權重，是指某指標在整體評價中的相對重要程度。權重越大則該指標的重要性越高，對整體的影響就越高。

 

 
    

    權重要滿足兩個條件：每個指標的權重在0、1之間。所有指標的權重和為1。

    權重的確定方法有很多，這里我們學習用主成分分析確定權重。

 

 一、主成分基本思想：

 

 圖1 主成分基本思想的問與答

   

 二、利用主成分確定權重

 

 如何利用主成分分析法確定指標權重呢？現舉例說明。

 

 假設我們對反映某賣場表現的4項指標（實體店、信譽、企業形象、服務）進行消費者滿意度調研。調研采取4級量表，分值越大，滿意度越高。現回收有效問卷2000份，並用SPSS錄入了問卷數據。部分數據見下圖（詳細數據見我的微盤，下載地址為http://vdisk.weibo.com/s/yR83T）。

 

 圖2 主成分確定權重示例數據（部分）

   

 1、操作步驟：

 Step1：選擇菜單：分析——降維——因子分析

 Step2：將4項評價指標選入到變量框中

 Step3：設置選項，具體設置如下：

 

 2、 輸出結果分析

 

 按照以上操作步驟，得到的主要輸出結果為表1——表3，具體結果與分析如下：

 

 表1 KMO 和 Bartlett 的檢驗

    

 表1是對本例是否適合於主成分分析的檢驗。KMO的檢驗標准見圖3。

 

 圖3 KMO檢驗標准

 

 從圖3可知，本例適合主成分分析的程度為‘一般’，基本可以用主成分分析求權重。

 

 表2 解釋的總方差

    

 從表2可知，前2個主成分對應的特征根>1，提取前2個主成分的累計方差貢獻率達到94.513% ，超過80%。因此前2個主成分基本可以反映全部指標的信息，可以代替原來的4個指標（實體店、信譽、企業形象、服務）。

 

 表3 成份矩陣

    

 從表3可知第一主成分與第二主成分對原來指標的載荷數。例如，第一主成分對實體店的載荷數為0.957。

   

 3、確定權重

   

 用主成分分析確定權重有：指標權重等於以主成分的方差貢獻率為權重，對該指標在各主成分線性組合中的系數的加權平均的歸一化

 

 因此，要確定指標權重需要知道三點：

 A 指標在各主成分線性組合中的系數

 B 主成分的方差貢獻率

 C 指標權重的歸一化

 

（1）指標在不同主成分線性組合中的系數

 這個系數如何求呢？

 用表3中的載荷數除以表2中第1列對應的特征根的開方。

 例如，在第一主成分F1的線性組合中，實體店的系數=0.957/(2.775)^1/2 ≈0.574。

 按此方法，基於表2和表3的數據，在excel中可分別計算出各指標在兩個主成分線性組合中的系數（見圖4，其中SQRT表示開方）

 

 圖4 各指標在兩個主成分線性組合中的系數

   

 由此得到的兩個主成分線性組合如下：

 F1=0.574χ₁-0.019χ₂+0.574χ₃+0.583χ₄        

 F2=-0.048χ₁+0.996χ₂+0.010χ₃+0.070χ₄  

    

（2）主成分的方差貢獻率

 表2中“初始特征值”的“方差%”表示各主成分方差貢獻率，方差貢獻率越大則該主成分的重要性越強。 

 因此，方差貢獻率可以看成是不同主成分的權重。

 由於原有指標基本可以用前兩個主成分代替，因此，指標系數可以看成是以這兩個主成分方差貢獻率為權重，對指標在這兩個主成分線性組合中的系數做加權平均。

 說得有些晦澀，我們來舉個例子。按上述思路，實體店χ₁這個指標的系數為：

  

 這樣，我們可以用excel計算出所有指標的系數（見圖5）

 

 圖5 所有指標在綜合得分模型中的系數

 

  由此得到綜合得分模型為：

  Y=0.409χ₁+0.251χ₂+0.424χ₃+0.446χ₄

 

（3）指標權重的歸一化

   

 由於所有指標的權重之和為1，因此指標權重需要在綜合模型中指標系數的基礎上歸一化（見圖6）

 

 圖6 指標權重的確定

   

 圖6顯示了我們基於主成分分析，最終所得到的指標權重。

 用主成分分析來確定權重，你學會了嗎？微盤里有數據，大家可以自己動手練一練：）