2008 年在一個 PS 討論群里，有網友不解 Photoshop 的高斯模糊中的半徑是什么含義，因此當時我寫了這篇文章：
在那篇文章中，主要講解了高斯模糊中的半徑的含義，是二維正態分布的方差的平方根，並且給出了算法的理論描述。現在我又打算把該算法用 c++ 實現出來，於是有了下面的這個 DEMO。
起初我是按照算法理論直接實現，即使用了二維高斯模板，結果發現處理時間很長，對一個圖片竟然能達到大約數分鍾之久。這樣肯定是不對的，所以我百度了一下，發現這個問題應該采用分別進行兩次一維高斯模糊就可以了[1]，這樣算法的時間復雜度的一個系數，就從 O ( σ ^2 ) 降低到了 O ( σ )。這樣算法於是速度提高到了毫秒級。下表給出分別用二維模糊的原始方法，和兩次一維模糊累加的方法的算法成本比較：
| 算法 | 時間復雜度 | 空間復雜度 |
|---|---|---|
| (1) 二維高斯模糊 | O(σ ^ 2) * O(n) （慢） | O(σ ^ 2) （較小） |
| (2) 兩次一維高斯模糊的累加 | O(σ) * O(n) （快） | O(n) + O(σ) ≈ O(n) （較大） |
其中：σ ：方差平方根（Photoshop 中的高斯模糊半徑）；n = w * h （圖片的像素數量）。具體時間和圖片大小和高斯半徑的大小有關，一個粗略的大概情況為，算法（1）的耗時為分鍾級，算法（2）的耗時為毫秒到秒級。可見算法（2）比算法（1）速度更快，但相比算法（1）來說算法（2）具有較高的空間需求。
注：當然上面的空間復雜度並不是絕對的，例如，可以通過對圖像進行串行的切片處理，既可減小算法（2）的空間需求。
兩種算法在高斯半徑為常數條件下，都是關於圖片大小的線性算法，區別在於常數系數的大小不同，前者是高斯半徑（模板尺寸）的平方級，后者是高斯半徑（模板尺寸）的線性級別。這個改進，非常類似於我此前有一篇博客中給出的，對一個油畫效果濾鏡的算法改進，也是通過把常數系數，從模板尺寸的平方級別降低到線性級別，使算法速度獲得提高的。
在理論上，高斯模板是無邊界和無限擴展的一個二維曲面，在實現時，就必須對這個曲面截斷為有限大的二維模板。那么在哪里截斷呢？根據下圖所示的一維正態分布貢獻：
圖1. 正態分布的貢獻比
此圖來自參考資料 [1]，根據資料文中敘述，此圖實際來源於（Maybe blocked by the GFW）：
http://zh.wikipedia.org/wiki/File:Standard_deviation_diagram.svg。
從圖 1 中可以看到，在 3σ 以外的貢獻比例非常小，為 0.1 %，因此我們截斷模板時，對模板邊界定義為 3σ ；
int r = ( int ) ( sigma * 3 + 0.5 ); // 完整模板的邏輯尺寸：( 2 * r + 1 ) * ( 2 * r + 1 );
二維高斯模板的計算公式是：
下圖給出了二維模板的可視化結果。采用的可視化方法是，根據上面的公式和模板邊界，生成二維高斯模板，然后取一個縮放因子 f = 255 / 模板中心點的數據，以此縮放因子把模板數據等比縮放，然后繪制成灰度圖片，這樣中心點的亮度就被提高到最亮。可視化效果中，每個單元格對應着一個模板數據，單元格大小為 8 * 8 或者 16 * 16 像素。
圖 2. 二維模板的可視化結果
圖 2 中，左側是人們常見的 3 x 3 模板（σ ≈ 0.849），圍繞中心點的 3 x 3 的浮點數據為：
sigma = 0.849: 0.055 0.110 0.055 0.110 0.221 0.110 0.055 0.110 0.055
采用算法（2），要完成高斯模糊，對圖片分別進行兩個方向的一維高斯模糊即可。例如，先對圖片進行水平方向的模糊，得到中間結果，然后再對這個中間結果進行垂直方向的模糊，即得到最終結果。下圖是一個演示圖，給出了原圖在兩個方向上分別單獨進行一維高斯模糊的結果，以及最終的結果：
圖3. 算法（2）中一維模糊的中間結果
僅在這個圖片的例子中，我把我寫的算法的處理結果，在 Photoshop 中打開和 Photoshop 自帶的高斯模糊的處理結果做差值對比，發現兩者是相同的。
我實現的 DEMO 程序（Windows 平台）的界面如下所示：
圖4. DEMO 程序的主窗口 UI
通過點擊菜單 - 可視化 - 二維高斯模板可以在右側的視圖中生成一個灰度圖片，即二維高斯模板的可視化結果。
在程序界面的客戶區下方有一個控制面板，可以選擇高斯模糊的算法參數，高斯半徑的意義和 Photoshop 中的高斯模糊半徑的意義相同，都是算法中的 σ。
算法參數中：
（1）支持多線程處理。根據我的觀察，線程數設置為和 CPU 核心數相同是比較合適的。線程數比 CPU 核心數更多，也是沒有什么意義的，因為算法執行時，CPU 已經滿負荷運轉了。開啟更多線程，也不能再提高速度了。
假設 CPU 核數為 p，開啟的多線程數量 >= p，則算法速度大約為單線程處理的 p 倍。（當 CPU 滿負荷時，線程數量取得更大，也沒有提高速度的意義了）
注：此處的 CPU 核心數應該為 CPU 的物理核心數，而非模擬出來的多核數目。
（2）浮點類型：支持 float 和 double。它是高斯模板的數據的類型，也是進行像素加權累加時的數據類型，根據我的觀察，float 和 double 的速度相差不大。基本相同。
（3）高斯半徑：即 σ。算法的常數系數為 O(σ)。很顯然，σ 的值取得越大，算法耗時將會越長。在 DEMO 中，其允許范圍和 Photoshop 的要求一致，是 [0.1, 250]。
在實現算法時，我也嘗試了對 255 個灰度值 * 模板數據的結果進行緩存和查表處理，但是發現不能有效提高速度，所以最終我放棄了這種方法。這可能是因為，算法的計算只是一個浮點乘法，對數據的讀取動作，並不能做到比浮點乘法更快。所以這里采用緩存也就顯得沒有必要了。
在本 DEMO 中，濾鏡處理是放在 UI 線程中進行的，這使得在濾鏡處理時間較長時（例如高斯半徑取值很大，圖片也很大），界面會有些卡，可以把濾鏡處理動作放在一個新建的后台線程中執行。這是比較容易實現的。
對算法的使用方法：
在 C++ 程序中，使用我寫的這個算法是非常簡單的，例如：
#include "GaussBlurFilter.hpp" CGaussBlurFilter<double> _filter; _filter.SetSigma(3.5); // 設置高斯半徑 _filter.SetMultiThreads(true, 4); // 開啟多線程，用戶建議的線程數為 4； // lpSrcBits / lpDestBits: 像素數據的起始地址，必須以 4 bytes 對齊，
// 注意：不論高度為正或者負，lpBits 都必須為所有像素中地址值最低的那個像素的地址。 // bmWidth, bmHeight: 圖像寬度和高度（像素），高度允許為負值； // bpp: 位深度，支持 8（灰度）, 24（真彩色）， 32 _filter.Filter(lpSrcBits, lpDestBits, bmWidth, bmHeight, bpp);
需要注意的是，在多線程處理中，我使用了 Windows API （例如 CreateThread）等，這使得 GaussBlurFilter.hpp 目前只能用在 Windows 平台，如果要在其他平台使用，應當修改和多線程有關的 API 函數調用。
高度值可以為正也可以為負，但像素數據的地址 lpBits 都必須是所有像素中，地址值最小的那個像素的地址。即，假設圖片左上角點的坐標為原點，如果圖片高度為正數（bottom - up），則 lpBits 是左下角像素 （col = 0，row = height - 1）的地址。如果圖片高度為負數（top-down），則 lpBits 是左上角像素（col = 0，row = 0） 的地址。圖像數據的掃描行寬度必須以 4 Bytes 對齊，即通過下面的公式計算掃描行寬度：
int stride = ( bmWidth * bpp + 31 ) / 32 * 4; //掃描行寬度，對齊到 4 Bytes
（上式為編程語言表達，非數學表達，即利用了整數除法對小數部分的截斷性。）
bpp：圖像的像素位深度。只支持 8 （灰度索引圖像），24，32 這幾個值。對於 32 bpp 的圖像來說，最后一個像素通道是表征像素的不透明度，也就是 alpha，對於 alpha 如何參與到算法中，我想了下，有多種處理方法，但都好像沒有什么容易理解的物理意義，所以在代碼里我忽略了 alpha 通道。
【相關下載】：
（1）Demo 可執行文件（包含 GaussBlurFilter.hpp）：GaussBlurDemo_Bin.zip
（2）Demo 完整源碼（包含 GaussBlurFilter.hpp 和 可執行文件）：GaussBlurDemo_Src.zip
【參考資料】
[1]. 高斯模糊算法的實現和優化；
[注] 文中的公式，采用如下網址生成：http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php。
參考自：博客中插入公式——之在線數學公式生成;