6.3兩正態總體的區間估計
(1)兩個總體的方差已知
在R中編寫計算置信區間的函數twosample.ci()如下，輸入參數為樣本x, y,置信度α和兩個樣本的標准差。
> twosample.ci=function(x,y,alpha,sigma1,sigma2){
+ n1=length(x);n2=length(y)
+ xbar=mean(x)-mean(y)
+ z=qnorm(1-alpha/2)*sqrt(sigma1^2/n1+sigma2^2/n2)
+ c(xbar-z,xbar+z)
+ }
前面介紹的Z檢驗函數z.test()可以在兩總體方差已知的情況下，計算兩總體均值差的置信區間，分別用參數sigma.x和sigma.y來說明已知的標准差數值即可。
例：
Bamberger's是一家為社區提供大眾性商品的零傳商店，為了努力維持商店的良好聲譽，公司實施了將營業時間延長至夜間的計划。以Bamberger's延長營業時間前后27個典型周的銷售額數據為例(以萬元為單位)，計算這兩個樣本均值差的區間估計，從而可以看出計划實施后的效果。首先查看數據的基本類型，並繪制直方圖對比。
> sales=read.table("D:/Program Files/RStudio/sales.txt",header=T)
> head(sales)
prior post
1 67.90 86.10
2 76.12 71.13
3 68.64 116.25
4 74.94 102.60
5 63.32 97.51
6 50.43 65.39
> attach(sales)
> par(mfrow=c(1,2))
> hist(prior) #分別繪制計划前后銷售額的直方圖
> hist(post)
從直方圖可以看出，銷售額樣本大致呈正態分布，假設已知計划實施前后的總體標准差分別為8和12，調用上面寫好的函數，計算樣本均值差在置信水平為1-a下的置信區間
> twosample.ci(post,prior,alpha=0.05,8,12) [1] 19.10298 29.98295 > z.test(post,prior,sigma.x=8,sigma.y=12)$conf.int [1] 19.10298 29.98295 attr(,"conf.level") [1] 0.95
區間估計的結果是，Bamberger's公司延長營業時間后周營業額明顯增加，增加額的范圍是[19.10, 29.98]
(2)兩個總體的方差未知但相等
正如計算單.正態總體均值的置信區間，R中的函數t.test()還可以用來求兩總體均值差的置信區間，山於總體方差相等，需要將其中的參數var.equal設為TRUE。
> t.test(post,prior,var.equal=TRUE)$conf.int [1] 18.66541 30.42051 attr(,"conf.level") [1] 0.95
由計算結果同樣可以得到結論:Barnberger's公司延長營業時間后周營業額明顯增加，在0.95的置信水平下，營業額增加的置信區間是[18.67,30.42]
(3) 兩個總體的方差未知且不等
R中也沒有直接的函數可用，仍需要手動寫出一個函數twasarnple.ci2()
> twosample.ci2=function(x,y,alpha){
+ n1=length(x);n2=length(y)
+ xbar=mean(x)-mean(y)
+ S1=var(x);S2=var(y)
+ nu=(S1/n1+S2/n2)^2/(S1^2/n1^2/(n1-1)+S2^2/n2^2/(n2-1))
+ z=qt(1-alpha/2,nu)*sqrt(S1/n1+S2/n2)
+ c(xbar-z,xbar+z)
+ }
在實際分析中，兩總體的方差未知且不等是最常見的情況，在Bamberger's公司的案例中如果延長營業時間前后的方差未知並且不相等，就要通過上面編寫的函數計算樣本均位差的置信區間：
> twosample.ci2(post,prior,0.05) [1] 18.63821 30.44771
相比之前，營業時間延長后的樣本均值明顯增加，兩樣本均值差的置信區問為[18.64, 30.45]由於方差未知，在做區間估計時可利用的信息更少，因此在相同置信水平下，這時估計得到的置信區間相對更寬一些。
6.3.2兩方差比的區間估計
方差比的區問估計與方差的假設檢驗密不可分，所以R中的函數var.test()可以用來直接計算兩正態總體方拾比的置信區間，調用格式如下:
var.test(x, y, ratio = 1,
alternative = c("two.sided", "less", "greater"),
conf.level = 0.95, ...)
> var.test(prior,post)$conf.int
[1] 0.1772458 0.8534348
attr(,"conf.level")
[1] 0.95
通過函數var.test()計算后的結果可以看出，兩樣本方差比在95%置信水平下的區間估計為[0.1772, 0.8534]，這說明延長營業額后，周營業額的波動性變大。
6.4關於比率的區間估計
比率的估計在R中實現起來也比較簡單，函數prop.test()可以直接完成對P的估計和檢驗，其調用格式為
prop.test(x, n, p = NULL,
alternative = c("two.sided", "less", "greater"),
conf.level = 0.95, correct = TRUE)
其中，參數x為具有某種特征的樣本個數;n為樣本量;P設置假設檢驗時原假設的比率值;correct是邏輯值，設置是否應用Yates連續性修正，默認為TRUE
例：
某市為了解居民住房情況，抽查了n=2000戶家庭，其中人均不足5平米的困難戶有x=214個，通過樣本信息計算該市困難戶比率P的置信區間(置信度為0.95)
> prop.test(214,2000)
1-sample proportions test with continuity
correction
data: 214 out of 2000, null probability 0.5
X-squared = 1234, df = 1, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true p is not equal to 0.5
95 percent confidence interval:
0.09396256 0.12157198
sample estimates:
p
0.107
比率檢驗函數的計算結果表明，在95%的置信水平下，困難戶比率的區間估計為[0.0940,0.1216]，而最后一行的P值給出的是點估計，該市困難戶比率為0.107
事實上，當樣本數足夠多時，x服從超兒何分布，上面我們用的是正態分布近似，但當抽樣比很小時還可以用二項分布來近似，這時用到的函數是二項式檢驗binom.test()，其調用格式如下，內部參數與prop.test()一致。在上例中，如果該市的總人口數較大，那么抽樣比很小，就應當用二項分布近似:
> binom.test(214,2000)
Exact binomial test
data: 214 and 2000
number of successes = 214, number of trials =
2000, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.5
95 percent confidence interval:
0.09378632 0.12137786
sample estimates:
probability of success
0.107
二項式檢驗的結果表明，在95%的置信水平下，困難戶比率的區間估計為[0.0938, 0.1214],這與修正正態近似的結果非常接近，點估計值仍為0.107
