先驗概率
Prior probability
在貝葉斯統計中，先驗概率分布，即關於某個變量 p 的概率分布，是在獲得某些信息或者依據前，對 p 的不確定性進行猜測。例如， p 可以是搶火車票開始時，搶到某一車次的概率。這是對不確定性（而不是隨機性）賦予一個量化的數值的表征，這個量化數值可以是一個參數，或者是一個潛在的變量。
先驗概率僅僅依賴於主觀上的經驗估計，也就是事先根據已有的知識的推斷，
在應用貝葉斯理論時，通常將先驗概率乘以似然函數（likelihoodfunction）再歸一化后，得到后驗概率分布，后驗概率分布即在已知給定的數據后，對不確定性的條件分布。
似然函數
似然函數（likelihood function），也稱作似然，是一個關於統計模型參數的函數。也就是這個函數中自變量是統計模型的參數。對於結果 x ，在參數集合 θ 上的似然，就是在給定這些參數值的基礎上，觀察到的結果的概率 L(θ|x)=P(x|θ) 。也就是說，似然是關於參數的函數，在參數給定的條件下，對於觀察到的 x 的值的條件分布。
似然函數在統計推測中發揮重要的作用，因為它是關於統計參數的函數，所以可以用來評估一組統計的參數，也就是說在一組統計方案的參數中，可以用似然函數做篩選。在非正式的語境下，“似然”會和“概率”混着用；但是嚴格區分的話，在統計上，二者是有不同。
不同就在於，觀察值 x 與參數 θ 的不同的角色。概率是用於描述一個函數，這個函數是在給定參數值的情況下的關於觀察值的函數。例如，已知一個硬幣是均勻的（在拋落中，正反面的概率相等），那連續10次正面朝上的概率是多少？這是個概率。
而似然是用於在給定一個觀察值時，關於用於描述參數的情況。例如，如果一個硬幣在10次拋落中正面均朝上，那硬幣是均勻的（在拋落中，正反面的概率相等）概率是多少？這里用了概率這個詞，但是實質上是“可能性”，也就是似然了。
后驗概率
Posterior probability
后驗概率是關於隨機事件或者不確定性斷言的條件概率，是在相關證據或者背景給定並納入考慮之后的條件概率。后驗概率分布就是未知量作為隨機變量的概率分布，並且是在基於實驗或者調查所獲得的信息上的條件分布。“后驗”在這里意思是，考慮相關事件已經被檢視並且能夠得到一些信息。
后驗概率是關於參數 θ 在給定的證據信息 X 下的概率： p(θ|x) 。
若對比后驗概率和似然函數，似然函數是在給定參數下的證據信息 X 的概率分布： p(x|θ) 。
二者有如下關系：
我們用 p(θ) 表示概率分布函數，用 p(x|θ) 表示觀測值 x 的似然函數。后驗概率定義如下：
p(θ|x)=p(x|θ)p(θ)p(x)
鑒於分母不變，可以表達成如下正比關系：
Posteriorprobability∝Likelihood×Prior probability
來先舉一個例子：
如果有一所學校，有60%是男生和40%是女生。女生穿褲子與裙子的數量相同；所有男生穿褲子。一個觀察者，隨機從遠處看到一名學生，觀察者只能看到該學生穿褲子。那么該學生是女生的概率是多少？這里題目中觀察者比如近似眼看直接不清性別，或者從裝扮上看不出。答案可以用貝葉斯定理來算。
用事件 G 表示觀察到的學生是女生，用事件 T 表示觀察到的學生穿褲子。於是，現在要計算 P(G|T) ，我們需要知道：
P(G) ，表示一個學生是女生的概率，這是在沒有任何其他信息下的概率。這也就是我們說的先驗概率。由於觀察者隨機看到一名學生，意味着所有的學生都可能被看到，女生在全體學生中的占比是 40 ，所以概率是 0.4 。
P(B) ，是學生不是女生的概率，也就是學生是男生的概率，也就是在沒有其他任何信息的情況下，學生是男生的先驗概率。 B 事件是 G 事件的互補的事件，這個比例是 60 ，也即 0.6 。
P(T|G) 是在女生中穿褲子的概率，根據題目描述，是相同的 0.5 。這也是 T 事件的概率，given G 事件。
P(T|B) 是在男生中穿褲子的概率，這個值是1。
P(T) 是學生穿褲子的概率，即任意選一個學生，在沒有其他信息的情況下，TA穿褲子的概率。如果要計算的話，那可以計算出所有穿褲子的學生的數量，除以總數，總數可以假設為常數 C ，但是最后會被約去。或者根據全概率公式 P(T)=P(T|G)P(G)+P(T|B)P(B) 計算得到 P(T)=0.5×0.4+1×0.6=0.8 。
基於以上所有信息，如果觀察到一個穿褲子的學生，並且是女生的概率是
P(G|T)=P(T|G)P(G)P(T)=0.5×0.40.8=0.25.
這就是貝葉斯公式的一個示例，如果是兩個相關的屬性，我們只知道其中一些的概率分布情況，就可以根據貝葉斯公式來計算其他的一些后驗概率的情況。
極大似然估計和貝葉斯估計分別代表了頻率派和貝葉斯派的觀點。頻率派認為，參數是客觀存在的，只是未知而矣。因此，頻率派最關心極大似然函數，只要參數求出來了，給定自變量X，Y也就固定了，極大似然估計如下所示:
D表示訓練數據集，
是模型參數
相反的，貝葉斯派認為參數也是隨機的，和一般隨機變量沒有本質區別，正是因為參數不能固定，當給定一個輸入x后，我們不能用一個確定的y表示輸出結果，必須用一個概率的方式表達出來，所以貝葉斯學派的預測值是一個期望值，如下所示：
其中x表示輸入，y表示輸出，D表示訓練數據集，是模型參數
該公式稱為全貝葉斯預測。現在的問題是如何求
（后驗概率），根據貝葉斯公式我們有：
可惜的是，上面的后驗概率通常是很難計算的，因為要對所有的參數進行積分，不能找到一個典型的閉合解（解析解）。在這種情況下，我們采用了一種近似的方法求后驗概率，這就是最大后驗概率。
最大后驗概率和極大似然估計很像，只是多了一項先驗分布，它體現了貝葉斯認為參數也是隨機變量的觀點，在實際運算中通常通過超參數給出先驗分布。
從以上可以看出，一方面，極大似然估計和最大后驗概率都是參數的點估計。在頻率學派中，參數固定了，預測值也就固定了。最大后驗概率是貝葉斯學派的一種近似手段，因為完全貝葉斯估計不一定可行。另一方面，最大后驗概率可以看作是對先驗和MLE的一種折衷，如果數據量足夠大，最大后驗概率和最大似然估計趨向於一致，如果數據為0,最大后驗僅由先驗決定。
參考資料：
[1] Machine learning: a probabilistic perspective 第三章
[2]Andrew Ng講義，Regularization and model selection
http://v.163.com/special/opencourse/machinelearning.html