圖像處理（卷積）

本文轉載自查看原文 2015-05-02 11:13 15793 數字圖像處理與模式識別

圖像處理（卷積）

卷積的計算步驟：（動態演示）

對h（n）繞縱軸折疊，得h（-n）；
對h（-m）移位得h（n-m）；
將x（m）和h（n-m）所有對應項相乘之后相加得離散卷積結果y（n）。

圖像處理（卷積）

說明：

令m′=n-m，做變量代換，則卷積公式變為

圖像處理（卷積）

因此，x(m)與h(n-m)的位置可對調（即輸入為x（n）、單位脈沖響應為h（n）的線性時不變系統與輸入為h（n）、單位脈沖響應為x（n）的線性時不變系統具有同樣的輸出）。

離散卷積也稱為“線性卷積”或“直接卷積”，以區別其它種類的卷積。

系統的穩定性與因果性

線性和時不變兩個約束條件定義了一類可用褶積和表示的系統。穩定性和因果性也是很重要的限制。

穩定系統：對於每一個有界輸入產生一個有界輸出的系統為穩定系統。

當且僅當圖像處理（卷積）時，該線性時不變系統是穩定的。

因果系統：系統的輸出y（n）只取決於此時以及此時以前的輸入，即取決於x（n），x（n-1），x（n-2）……。

非因果系統：系統的輸出y（n）取決於未來的輸入x（n+1），x（n+2），…。

說明：

許多重要的網絡，如理想低通濾波器等都是非因果的不可實現系統。但數字信號處理往往是非實時的，即使是實時處理，也允許有很大的延時，這時對於某一個輸出y（n）來說，已有大量的“未來”輸入x（n+1）、x（n+2）……記錄在存儲器中可以被調用，因而可以很接近於實現這些非因果系統，也即可用具有很大延時的因果系統逼近非因果系統，這是數字系統比模擬系統更能獲得接近理想特性的原因。

因果系統的充要條件：h（n）≡0，n〈0。

穩定的因果系統：既滿足穩定性又滿足因果性的系統。這種系統的單位脈沖響應既是單邊的，又是絕對可積的，即

圖像處理（卷積）

這種穩定因果系統既是可實現的又是穩定工作的，這種系統是最主要的系統。

http://zlgc.seu.edu.cn/jpkc2/ipkc/signal/new/course/one/1_3_2.htm

這里討論利用輸入圖像中像素的小鄰域來產生輸出圖像的方法，在信號處理中這種方法稱為濾波（filtering）。其中，最常用的是線性濾波：輸出像素是輸入鄰域像素的加權和。

1.相關算子（Correlation Operator)

定義：, 即，其中ｈ稱為相關核(Kernel).

　　步驟：

1）滑動核，使其中心位於輸入圖像g的（i，j）像素上

2）利用上式求和，得到輸出圖像的（i，j）像素值

3）充分上面操縱，直到求出輸出圖像的所有像素值

　　例：

A = [17 24 1 8 15 h = [8 1 6
23 5 7 14 16 3 5 7
4 6 13 20 22 4 9 2]
10 12 19 21 3
11 18 25 2 9]

計算輸出圖像的（2，4）元素=

Matlab 函數：imfilter(A,h)

2.卷積算子（Convolution)

定義：，，其中

　　步驟：

1）將核圍繞中心旋轉180度

2）滑動核，使其中心位於輸入圖像g的（i，j）像素上

3）利用上式求和，得到輸出圖像的（i，j）像素值

4）充分上面操縱，直到求出輸出圖像的所有像素值

例：計算輸出圖像的（2，4）元素=

Matlab 函數：Matlab 函數：imfilter(A,h,'conv')% imfilter默認是相關算子，因此當進行卷積計算時需要傳入參數'conv'

3.邊緣效應

當對圖像邊緣的進行濾波時，核的一部分會位於圖像邊緣外面。

常用的策略包括：

1）使用常數填充：imfilter默認用0填充，這會造成處理后的圖像邊緣是黑色的。

2）復制邊緣像素：I3 = imfilter(I,h,'replicate');

4.常用濾波

fspecial函數可以生成幾種定義好的濾波器的相關算子的核。

例：unsharp masking 濾波

?

1

2

3

4

5

I = imread( 'moon.tif' );

h = fspecial( 'unsharp' );

I2 = imfilter(I,h);

imshow(I), title( 'Original Image' )

figure, imshow(I2), title( 'Filtered Image' )

相關和卷積是兩個完全不同的概念，這一點應特別注意，雖然在數學計算上他們有類似的地方。理解這兩個概念，要從他們的物理背景入手，由於篇幅的原因我只談談連續信號的情形供大家討論。
研究信號離不開系統的研究，信號是系統的處理對象，系統是信號的載體。如何研究信號通過系統呢？簡單說兩方面：一、將信號分解為多個簡單信號的和（經常用的是傅氏變換），二、系統響應求解分為零輸入和零狀態響應求解。如研究通信信號通過信道后變成什么樣了？就是求信號通過系統的解。系統響應求解分為時域和頻域，時域解法又分為經典和近代，上面所講的就是近代時域解法。原因就是有卷積，它就是應用在零狀態響應中的，其數學原理就是利用了積分的疊加性。求零狀態響應，需求含有激勵函數初始條件為0的非齊次方程，很自然的想法是對復雜的激勵信號分解為簡單的時間信號（注意正弦信號還不夠簡單，傅氏變換只是第一步）。連續時間系統分析，數學處理上歸結為建立並求解微分方程。為了通俗下面就不那么嚴謹了，微分方程求解從給出函數的微分求原函數，方法雖多（高數課學的）本質微分的逆運算求積分。積分過程我們知道，應用小矩形求和代替曲邊梯形，小矩形就是矩形脈沖，脈寬趨於零，矩形脈沖成了δ函數，求和成了積分（和的極限）。這就是為什么系統給出對δ函數的解即沖激響應h(t)就行了的原因，激勵信號e分解為簡單的時間信號就是分解為一系列δ函數和。δ函數當t≠0時均為零，對於t=t0處的e該如何表示成沖激函數呢？就是e(t0)δ(t-t0)，為何是這樣呢？t-t0≠0均為零，只在t=t0取值1（為了理解這樣說，δ函數定義不是這樣），乘上e(t0)，不就是e在t=t0的值嗎，求和就是e，反過來e也表示成δ函數和了。e通過系統，e(t0)常數，δ(t-t0)的解為h(t-t0)，最后得到e(t0)h(t-t0)，當然這是一點，還要求和。注意這里求和是積分和，因為是連續的，想想離散序列就是這樣。對誰求和呢？剛才求的是t0處的，要求所有的，就是讓t0變化，因此就有
∫e(t0)h(t-t0)dt0=∫e(τ)h(t-τ)dτ
搞清楚積分變量啊（它來自讓t0變化）！！！這可是不和相關公式混淆的關鍵。正是有了卷積積分和計算機以及數值積分計算，使得時域分析仍是不可缺少的。否則缺少了上述三個因素任何一個，嘿嘿i，后果？就像有了fft。

2.由於處理信號通過系統要處理這樣的積分∫e(τ)h(t-τ)dτ，能解決該積分的問題，也就解決了信號通過系統的問題。因此先輩們為了便於研究給這種積分起了個卷積積分的名字，簡稱卷積。同樣由於單純研究卷積（不用考慮物理背景，數學化的常用方法或思維），上式就寫成了兩個函數x(t)、y(t)的卷積R(t)=∫x(τ)y(t-τ)dτ，然后有了諸多性質和算法。但回到信號處理當中你要能解釋其中物理的含義，要知道x(t)、y(t)代表了e(t)、h(t)而不會被外在的東西搞混。

3.相關最早是用來概率論中描述隨機變量之間關系的概念，如相關系數。實際上信號一般是一個隨機過程，為了實現信號的檢測、識別與提取，經常要了解兩個信號的相似性，或一個信號經過一段延遲后自身的相似性。但相關系數有缺陷，因為分子是兩個信號的內積，如sinx和cosx,從波形上看只是相位不同，而相關系數為零（因為正弦和余弦正交），因此引進相關函數，將原來兩函數直接內積改為一個函數和另一個函數的延遲作內積。確定性信號也有同樣的概念，其相關公式和卷積公式很像，且能利用卷積表示，所以有人就覺得兩個概念也有關系，其實二者從概念沒有任何聯系。由於相關函數第一個函數和第二個函數的延遲作內積，所以相關函數不滿足交換，而卷積可以。延遲不同結果不同，所以相關系數是個數，而相關函數是函數是延遲的函數。公式為
R(τ)=∫x(t)y(t+τ)dt
積分是計算內積，因此是對原來函數自變量積分，得到的是延遲τ的函數，所以和卷積公式很像，但其中每個量的物理意義是不同的，一定要清楚。
因計算問題上是純數學問題，不用考慮物理背景，因此由兩個公式，注意變量的符號，經積分變換，變為一致，就有x(t)與y(t)互相關函數R(t)=x(-t)*y(t),*是卷積。

淺議“卷積”

在泛函分析中，卷積是通過兩個函數f 和g 生成第三個函數的一種數學算子，表征函數f 與經過翻轉和平移的g 的重疊部分的累積。如果將參加卷積的一個函數看作區間的指示函數，卷積還可以被看作是“滑動平均”的推廣。

一、簡單介紹

卷積是分析數學中一種重要的運算。設: f(x),g(x)是R1上的兩個可積函數，作積分：

可以證明，關於幾乎所有的，上述積分是存在的。這樣，隨着 x 的不同取值，這個積分就定義了一個新函數h(x)，稱為函數f 與g 的卷積，記為h(x)＝(f*g)(x)。容易驗證，(f * g)(x) ＝ (g * f)(x)，並且(f * g)(x) 仍為可積函數。這就是說，把卷積代替乘法，L1（R1）1空間是一個代數，甚至是巴拿赫代數。

卷積與傅里葉變換有着密切的關系。利用一點性質，即兩函數的傅里葉變換的乘積等於它們卷積后的傅里葉變換，能使傅里葉分析中許多問題的處理得到簡化。

由卷積得到的函數f*g 一般要比f 和g 都光滑。特別當g 為具有緊支集的光滑函數，f 為局部可積時，它們的卷積f * g 也是光滑函數。利用這一性質，對於任意的可積函數f，都可以簡單地構造出一列逼近於f 的光滑函數列fs，這種方法稱為函數的光滑化或正則化。

卷積的概念還可以推廣到數列、測度以及廣義函數上去。

二、定義

函數f 與g 的卷積記作，它是其中一個函數翻轉並平移后與另一個函數的乘積的積分，是一個對平移量的函數。

積分區間取決於f 與g 的定義域。

三、快速卷積算法

當是有限長度 N ，需要約 N² 次運算。借由一些快速算法可以降到 O(N log N) 復雜度。

最常見的快速卷積算法是借由圓周卷積利用快速傅里葉變換。也可借由其它不包含 FFT 的做法，如數論轉換。

四、卷積定理

卷積定理指出，函數卷積的傅里葉變換是函數傅里葉變換的乘積。即，一個域中的卷積相當於另一個域中的乘積，例如時域中的卷積就對應於頻域中的乘積。

這一定理對拉普拉斯變換、雙邊拉普拉斯變換、Z變換、Mellin變換和Hartley變換等各種傅里葉變換的變體同樣成立。在調和分析中還可以推廣到在局部緊致的阿貝爾群上定義的傅里葉變換。

利用卷積定理可以簡化卷積的運算量。對於長度為n的序列，按照卷積的定義進行計算，需要做2n - 1組對位乘法，其計算復雜度為；而利用傅里葉變換將序列變換到頻域上后，只需要一組對位乘法，利用傅里葉變換的快速算法之后，總的計算復雜度為。這一結果可以在快速乘法計算中得到應用。

五、應用

卷積在工程和數學上都有很多應用：

統計學中，加權的滑動平均是一種卷積。
概率論中，兩個統計獨立變量X與Y的和的概率密度函數是X與Y的概率密度函數的卷積。
聲學中，回聲可以用源聲與一個反映各種反射效應的函數的卷積表示。
電子工程與信號處理中，任一個線性系統的輸出都可以通過將輸入信號與系統函數（系統的沖激響應）做卷積獲得。
物理學中，任何一個線性系統（符合疊加原理）都存在卷積。

卷積

在泛函分析中，卷積(捲積)、旋積或摺積，是通過兩個函數f 和g 生成第三個函數的一種數學算子，表徵函數f 與經過翻轉和平移的g 的重疊部分的累積。如果將參加卷積的一個函數看作區間的指示函數，卷積還可以被看作是“滑動平均”的推廣。

簡單介紹

卷積是分析數學中一種重要的運算。設: f(x),g(x)是 $\mathbb{R}$ 上的兩個可積函數，作積分：

$\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(x - \tau)\, \mathrm{d}\tau$

可以證明，關於幾乎所有的 $x \in (-\infty,\infty)$ ，上述積分是存在的。這樣，隨着 x 的不同取值，這個積分就定義了一個新函數h(x)，稱為函數f 與g 的卷積，記為h(x) = (f * g)(x)。容易驗證，(f * g)(x) = (g * f)(x)，並且(f * g)(x) 仍為可積函數。這就是說，把卷積代替乘法，L¹(R¹) 空間是一個代數，甚至是巴拿赫代數。

由卷積得到的函數 f * g 一般要比 f 和 g 都光滑。特別當 g 為具有緊支集的光滑函數，f 為局部可積時，它們的卷積 f * g 也是光滑函數。利用這一性質，對於任意的可積函數 f，都可以簡單地構造出一列逼近於 f 的光滑函數列 f_s，這種方法稱為函數的光滑化或正則化。

卷積的概念還可以推廣到數列、測度以及廣義函數上去。

定義

函數f 與g 的卷積記作 $f \star g$ ，它是其中一個函數翻轉並平移后與另一個函數的乘積的積分，是一個對平移量的函數。

$(f \star g )(t) = \int f(\tau) g(t - \tau)\, d\tau$

積分區間取決於f 與g 的定義域。

對於定義在離散域的函數，卷積定義為

$(f \star g)[m] = \sum_n {f[n] g[m - n]}$

快速卷積算法

當 $f[n]\,$ 是有限長度 N ，需要約 N² 次運算。藉由一些快速算法可以降到 O(Nln N) 復雜度。

最常見的快速卷積算法是藉由圓周摺積利用快速傅里葉變換。也可藉由其它不包含 FFT 的做法，如數論轉換。

多元函數卷積

按照翻轉、平移、積分的定義，還可以類似的定義多元函數上的積分：

$(f \star g )(t_1,t_2,\cdots,t_n) = \int\int\cdots\int f(\tau_1,\tau_2,\cdots,\tau_n) g(t_1 - \tau_1,t_2 - \tau_2,\cdots,t_n - \tau_n,)\, d\tau_1 d\tau_2 \cdots d\tau_n$

性質

各種卷積算子都滿足下列性質：

交換律: $f \star g = g \star f \,$

結合律: $f \star (g \star h) = (f \star g) \star h \,$

分配律: $f \star (g + h) = (f \star g) + (f \star h) \,$

數乘結合律: $a (f \star g) = (a f) \star g = f \star (a g) \,$

其中a為任意實數（或復數）。

微分定理: $\mathcal{D}(f \star g) = \mathcal{D}f \star g = f \star \mathcal{D}g \,$

其中Df 表示f的微分，如果在離散域中則是指差分算子，包括前向差分與后向差分兩種：

前向差分： $\mathcal{D}^+f(n) = f(n+1) - f(n)$
后向差分： $\mathcal{D}^-f(n) = f(n) - f(n-1)$

卷積定理

卷積定理指出，函數卷積的傅里葉變換是函數傅里葉變換的乘積。即，一個域中的卷積相當於另一個域中的乘積，例如時域中的卷積就對應於頻域中的乘積。

$\mathcal{F}(f \star g) = \mathcal{F} (f) \cdot \mathcal{F} (g)$

其中 $\mathcal{F}(f)$ 表示f 的傅里葉變換。

這一定理對拉普拉斯變換、雙邊拉普拉斯變換、Z變換、Mellin變換和Hartley變換（參見Mellin inversion theorem）等各種傅里葉變換的變體同樣成立。在調和分析中還可以推廣到在局部緊致的阿貝爾群上定義的傅里葉變換。

利用卷積定理可以簡化卷積的運算量。對於長度為n的序列，按照卷積的定義進行計算，需要做2n − 1組對位乘法，其計算復雜度為 $\mathcal{O}(n^2)$ ；而利用傅里葉變換將序列變換到頻域上后，只需要一組對位乘法，利用傅里葉變換的快速算法之后，總的計算復雜度為 $\mathcal{O}(n\log n)$ 。這一結果可以在快速乘法計算中得到應用。

在群上的卷積

若 G 是有某 m 測度的群（例如豪斯多夫空間上哈爾測度下局部緊致的拓撲群），對於G 上 m-勒貝格可積的實數或復數函數f 和g，可定義它們的卷積：

$(f \star g)(x) = \int_G f(y)g(xy^{-1})\,dm(y) \,$

對於這些群上定義的卷積同樣可以給出諸如卷積定理等性質，但是這需要對這些群的表示理論以及調和分析的彼得-外爾定理。

應用

卷積在工程和數學上都有很多應用：

統計學中，加權的滑動平均是一種卷積。
概率論中，兩個統計獨立變量X與Y的和的概率密度函數是X與Y的概率密度函數的卷積。
聲學中，回聲可以用源聲與一個反映各種反射效應的函數的卷積表示。
電子工程與信號處理中，任一個線性系統的輸出都可以通過將輸入信號與系統函數（系統的沖激響應）做卷積獲得。
物理學中，任何一個線性系統（符合疊加原理）都存在卷積。

參見

外部鏈接

PlanetMath上Convolution的資料。
Visual convolution Java Applet

來自“ http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=卷積&oldid=18610515”

卷積convolution

定義：數學中關於兩個函數的一種無窮積分運算。對於函數f1(t)和f2(t)，其卷積表示為：式中：“”為卷積運算符號。
應用學科：電力（一級學科）；通論（二級學科）

在泛函分析中，卷積(卷積)、旋積或摺積(英語：Convolution)是通過兩個函數f 和g 生成第三個函數的一種數學算子，表徵函數f 與經過翻轉和平移與g 的重疊部分的累積。如果將參加卷積的一個函數看作區間的指示函數，卷積還可以被看作是“滑動平均”的推廣。

基本內涵

　　簡單介紹

卷積的定義

卷積是分析數學中一種重要的運算。設: f( x), g( x)是R1上的兩個可積函數，作積分（如右圖）：　　可以證明，關於幾乎所有的實數 x，上述積分是存在的。這樣，隨着 x 的不同取值，這個積分就定義了一個新函數 h(x)，稱為函數 f 與 g 的卷積，記為 h(x)=(f*g)(x)。容易驗證， (f * g)(x) = (g * f)(x)，並且 (f * g)(x) 仍為可積函數。這就是說，把卷積代替乘法，L1（R1）1空間是一個代數，甚至是巴拿赫代數。　　卷積與傅里葉變換有着密切的關系。利用一點性質，即兩函數的傅里葉變換的乘積等於它們卷積后的傅里葉變換，能使傅里葉分析中許多問題的處理得到簡化。　　由卷積得到的函數 f*g 一般要比 f 和 g 都光滑。特別當 g 為具有緊致集的光滑函數， f 為局部可積時，它們的卷積 f * g 也是光滑函數。利用這一性質，對於任意的可積函數 f，都可以簡單地構造出一列逼近於 f 的光滑函數列 fs，這種方法稱為函數的光滑化或正則化。　　卷積的概念還可以推廣到數列、測度以及廣義函數上去。

定義

函數 f與 g的卷積記作，它是其中一個函數翻轉並平移后與另一個函數的乘積的積分，是一個對平移量的函數。　　積分區間取決於 f與 g的定義域。　　函數f與g的卷積可以定義為： z(t)=f(t)*g(t)= ∫f(m)g(t-m)dm. 　　對於定義在離散域的函數，卷積定義為

快速卷積算法

　　當是有限長度 N，需要約 N^2次運算。藉由一些快速算法可以降到 O( Nlog N) 復雜度。　　最常見的快速卷積算法是藉由圓周摺積利用快速傅里葉變換。也可藉由其它不包含 FFT 的做法，如數論轉換。

多元函數卷積

　　按照翻轉、平移、積分的定義，還可以類似的定義多元函數上的積分：

性質

　　各種卷積算子都滿足下列性質：　　交換律結合律分配律數乘結合律其中 a為任意實數（或復數）。　　微分定理其中D f 表示 f的微分，如果在離散域中則是指差分算子，包括前向差分與后向差分兩種：　　前向差分：后向差分：

卷積定理

　　 卷積定理指出，函數卷積的傅里葉變換是函數傅里葉變換的乘積。即，一個域中的卷積相當於另一個域中的乘積，例如時域中的卷積就對應於頻域中的乘積。　　其中表示 f 的傅里葉變換。　　這一定理對拉普拉斯變換、雙邊拉普拉斯變換、 Z變換、Mellin變換和Hartley變換（參見Mellin inversion theorem）等各種傅里葉變換的變體同樣成立。在調和分析中還可以推廣到在局部緊致的阿貝爾群上定義的傅里葉變換。　　利用卷積定理可以簡化卷積的運算量。對於長度為 n的序列，按照卷積的定義進行計算，需要做2 n - 1組對位乘法，其計算復雜度為；而利用傅里葉變換將序列變換到頻域上后，只需要一組對位乘法，利用傅里葉變換的快速算法之后，總的計算復雜度為。這一結果可以在快速乘法計算中得到應用。

在群上的卷積

　　若 G 是有某 m 測度的群（例如豪斯多夫空間上Harr測度下局部緊致的拓撲群），對於 G 上 m-勒貝格可積的實數或復數函數 f 和 g，可定義它們的卷積：　　對於這些群上定義的卷積同樣可以給出諸如卷積定理等性質，但是這需要對這些群的表示理論以及調和分析的Peter-Weyl定理。

應用

　　卷積在工程和數學上都有很多應用： 統計學 中，加權的滑動平均是一種卷積。 概率論 中，兩個統計獨立變量X與Y的和的 概率密度函數 是X與Y的概率密度函數的卷積。 聲學中，回聲可以用源聲與一個反映各種反射效應的函數的卷積表示。電子工程與信號處理中，任一個線性系統的輸出都可以通過將輸入信號與系統函數（系統的沖激響應）做卷積獲得。物理學中，任何一個線性系統（符合疊加原理）都存在卷積。　　介紹一個實際的概率學應用例子。假設需求到位時間的到達率為possion(λ)分布，需求的大小的分布函數為D（.)，則單位時間的需求量的分布函數為 F(x)：

卷積應用(1張)

　　其中 D(k)(x)為k階卷積。　　卷積是一種線性運算,圖像處理中常見的mask運算都是卷積，廣泛應用於圖像濾波。castlman的書對卷積講得很詳細。　　高斯變換就是用高斯函數對圖像進行卷積。高斯算子可以直接從離散高斯函數得到：　　for(i=0; i<N; i++) 　　{ 　　for(j=0; j<N; j++) 　　{ 　　g[i*N+j]=exp(-((i-(N-1)/2)^2+(j-(N-1)/2)^2))/(2*delta^2)); 　　sum += g[i*N+j]; 　　} 　　} 　　再除以 sum 得到歸一化算子　　N是濾波器的大小，delta自選　　首先，再提到卷積之前，必須提到卷積出現的背景。卷積是在信號與線性系統的基礎上或背景中出現的，脫離這個背景單獨談卷積是沒有任何意義的，除了那個所謂褶反公式上的數學意義和積分（或求和，離散情況下）。　　信號與線性系統，討論的就是信號經過一個線性系統以后發生的變化（就是輸入輸出和所經過的所謂系統，這三者之間的數學關系）。所謂線性系統的含義，就是，這個所謂的系統，帶來的輸出信號與輸入信號的數學關系式之間是線性的運算關系。　　因此，實際上，都是要根據我們需要待處理的信號形式，來設計所謂的系統傳遞函數，那么這個系統的傳遞函數和輸入信號，在數學上的形式就是所謂的卷積關系。　　卷積關系最重要的一種情況，就是在信號與線性系統或數字信號處理中的卷積定理。利用該定理，可以將時間域或空間域中的卷積運算等價為頻率域的相乘運算，從而利用FFT等快速算法，實現有效的計算，節省運算代價。

擴展閱讀：

線性時不變系統linear time invariant（LTI）

　　它包括連續時間系統與離散時間系統

線性系統和非線性系統的概念

　　線性系統有兩種定義：（1）根據系統的輸入和輸出關系是否具有線性來定義滿足疊加原理的系統具有線性特性。即若對兩個激勵x1(n)和x2(n)，有T[ax1(n)+bx2(n)]=aT[x1(n)]+bT[x2(n)]，式中a、b為任意常數。不滿足上述關系的為非線性系統。（2）根據組成系統的元件特性來定義由線性元件和獨立電源組成的系統。 ^[1]

時不變系統

　　時不變系統：就是系統的參數不隨時間而變化，即不管輸入信號作用的時間先后，輸出信號響應的形狀均相同，僅是從出現的時間不同。用數學表示為T[x(n)]=y[n]則 T[x(n-n0)]=y[n-n0]，這說明序列x(n)先移位后進行變換與它先進行變換后再移位是等效的。

線性時不變系統

　　線性時不變系統：既滿足疊加原理又具有時不變特性，它可以用單位脈沖響應來表示。單位脈沖響應是輸入端為單位脈沖序列時的系統輸出，一般表示為h(n)，即h(n)=T[δ(n)]。　　任一輸入序列x(n)的相應y(n)=T[x(n)]=T[ δ(n-k)]；　　由於系統是線性的，所以上式可以寫成y(n)=T[δ(n-k)]；　　又由於系統是時不變的，即有T[δ(n-k)]＝h(n-k)；　　從而得y(n)=h(n-k)=x(n)*h(n)；　　這個公式稱為離散卷積，用“*”表示。

線性時不變系統的性質

齊次性

　　若激勵f(t)產生的響應為y(t)，則激勵Af(t)產生的響應即為Ay(t)，此性質即為齊次性。其中A為任意常數。　　f(t)系統y(t)，Af(t)系統Ay(t)

疊加性

　　若激勵f1(t)與f2(t)產生的響應分別為y1(t)， y2(t)，則激勵f1(t)+f2(t)產生的應即為y1(t)+y2(t)，此性質稱為疊加性。

線性

　　若激勵f1(t)與f2(t)產生的響應分別為y1(t)， y2(t)，則激勵A1f1(t)+A2f2(t)產的響應即為A1y1(t)+A2y2(t)，此性質稱為線性。

時不變性

　　若激勵f(t)產生的響應為y(t)，則激勵f(t-t0)產生的響應即為y(t-t0)，此性質稱為不變性，也稱定常性或延遲性。它說明，當激勵f(t)延遲時間t0時，其響應y(t)也延遲時間t0，且波形不變。

微分性

　　若激勵f(t)產生的響應為y(t)，則激勵f'(t)產生的響應即y’(t),為此性質即為微分性。

積分性

　　若激勵f(t)產生的響應為y(t)，則激勵f(t)的積分產生的響應即為y(t)的積分。此性質稱為積分性。

參考資料

《信號與系統》（第二版）呂幼新張明友電子工業出版社

卷積定理

卷積定理指出，函數卷積的傅里葉變換是函數傅里葉變換的乘積。即一個域中的卷積對應於另一個域中的乘積，例如時域中的卷積對應於頻域中的乘積。

$\mathcal{F}(f \star g) = \mathcal{F} (f) \cdot \mathcal{F} (g)$

其中 $\mathcal{F}(f)$ 表示f 的傅里葉變換。

借由傅里葉逆變換 $\mathcal{F}^{-1}$ ，也可以寫成

$f \star g= \mathcal{F}^{-1}\big\{\mathcal{F} (f) \cdot \mathcal{F} (g)\big\}$

注意以上的寫法只對特定形式定義的變換正確，變換可能由其它方式正規化，使得上面的關系式中出現其它的常數因子。

證明

$F(\nu) = \mathcal{F}\{f\} = \int_{\mathbb{R}} f(x) e^{-2 \pi i x\cdot\nu} \,dx$

$G(\nu) = \mathcal{F}\{g\} = \int_{\mathbb{R}}g(x) e^{-2 \pi i x\cdot\nu} \,dx$ .

$h(z) = \int\limits_{\mathbb{R}} f(x) g(z-x)\, \mathrm{d} x.$

$\int\!\!\int |f(z)g(x-z)|\,dx\,dz=\int |f(z)| \int |g(z-x)|\,dx\,dz = \int |f(z)|\,\|g\|_1\,dz=\|f\|_1 \|g\|_1.$

$\begin{align} H(\nu) = \mathcal{F}\{h\} &= \int_{\mathbb{R}} h(z) e^{-2 \pi i z\cdot\nu}\, dz \\ &= \int_{\mathbb{R}} \int_{\mathbb{R}^n} f(x) g(z-x)\, dx\, e^{-2 \pi i z\cdot \nu}\, dz. \end{align}$