在解決一些簡單的分類問題時，線性回歸與邏輯回歸就足以應付，但面對更加復雜的問題時（例如對圖片中車的類型進行識別），運用之前的線性模型可能就得不到理想的結果，而且由於更大的數據量，之前方法的計算量也會變得異常龐大。因此我們需要學習一個非線性系統：神經網絡。
我在學習時，主要通過Andrew Ng教授提供的網絡，而且文中多處都有借鑒Andrew Ng教授在mooc提供的資料。
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神經網絡在解決一些復雜的非線性分類問題時，相對於線性回歸、邏輯回歸，都被證明是一個更好的算法。其實神經網絡也可以看做的邏輯回歸的組合（疊加，級聯等）。
一個典型神經網絡的模型如下圖所示：
上述模型由3個部分組成：輸入層、隱藏層、輸出層。其中輸入層輸入特征值，輸出層的輸出作為我們分類的依據。例如一個20*20大小的手寫數字圖片的識別舉例，那么輸入層的輸入便可以是20*20=400個像素點的像素值，即模型中的a1；輸出層的輸出便可以看做是該幅圖片是0到9其中某個數字的概率。而隱藏層、輸出層中的每個節點其實都可以看做是邏輯回歸得到的。邏輯回歸的模型可以看做這樣（如下圖所示）：
有了神經網絡的模型，我們的目的就是求解模型里邊的參數theta，為此我們還需知道該模型的代價函數以及每一個節點的“梯度值”。
代價函數的定義如下：
代價函數關於每一個節點處theta的梯度可以用反向傳播算法計算出來。反向傳播算法的思想是由於我們無法直觀的得到隱藏層的輸出，但我們已知輸出層的輸出，通過反向傳播，倒退其參數。
我們以以下模型舉例，來說明反向傳播的思路、過程：
該模型與給出的第一個模型不同的是，它具有兩個隱藏層。
為了熟悉這個模型，我們需要先了解前向傳播的過程，對於此模型，前向傳播的過程如下：
其中，a1，z2等參數的意義可以參照本文給出的第一個神經網絡模型，類比得出。
然后我們定義誤差delta符號具有如下含義（之后推導梯度要用）：
誤差delta的計算過程如下：
然后我們通過反向傳播算法求得節點的梯度，反向傳播算法的過程如下：
有了代價函數與梯度函數，我們可以先用數值的方法檢測我們的梯度結果。之后我們就可以像之前那樣調用matlab的fminunc函數求得最優的theta參數。
需要注意的是，在初始化theta參數時，需要賦予theta隨機值，而不能是固定為0或是什么，這就避免了訓練之后，每個節點的參數都是一樣的。
下面給出計算代價與梯度的代碼：
function [J grad] = nnCostFunction(nn_params, ...
input_layer_size, ...
hidden_layer_size, ...
num_labels, ...
X, y, lambda)
%NNCOSTFUNCTION Implements the neural network cost function for a two layer
%neural network which performs classification
% [J grad] = NNCOSTFUNCTON(nn_params, hidden_layer_size, num_labels, ...
% X, y, lambda) computes the cost and gradient of the neural network. The
% parameters for the neural network are "unrolled" into the vector
% nn_params and need to be converted back into the weight matrices.
%
% The returned parameter grad should be a "unrolled" vector of the
% partial derivatives of the neural network.
%
% Reshape nn_params back into the parameters Theta1 and Theta2, the weight matrices
% for our 2 layer neural network
Theta1 = reshape(nn_params(1:hidden_layer_size * (input_layer_size + 1)), ...
hidden_layer_size, (input_layer_size + 1));
Theta2 = reshape(nn_params((1 + (hidden_layer_size * (input_layer_size + 1))):end), ...
num_labels, (hidden_layer_size + 1));
% Setup some useful variables
m = size(X, 1);
% You need to return the following variables correctly
J = 0;
Theta1_grad = zeros(size(Theta1));
Theta2_grad = zeros(size(Theta2));
% ====================== YOUR CODE HERE ======================
% Instructions: You should complete the code by working through the
% following parts.
%
% Part 1: Feedforward the neural network and return the cost in the
% variable J. After implementing Part 1, you can verify that your
% cost function computation is correct by verifying the cost
% computed in ex4.m
%
% Part 2: Implement the backpropagation algorithm to compute the gradients
% Theta1_grad and Theta2_grad. You should return the partial derivatives of
% the cost function with respect to Theta1 and Theta2 in Theta1_grad and
% Theta2_grad, respectively. After implementing Part 2, you can check
% that your implementation is correct by running checkNNGradients
%
% Note: The vector y passed into the function is a vector of labels
% containing values from 1..K. You need to map this vector into a
% binary vector of 1's and 0's to be used with the neural network
% cost function.
%
% Hint: We recommend implementing backpropagation using a for-loop
% over the training examples if you are implementing it for the
% first time.
%
% Part 3: Implement regularization with the cost function and gradients.
%
% Hint: You can implement this around the code for
% backpropagation. That is, you can compute the gradients for
% the regularization separately and then add them to Theta1_grad
% and Theta2_grad from Part 2.
%
J_tmp=zeros(m,1);
for i=1:m
y_vec=zeros(num_labels,1);
y_vec(y(i))=1;
a1 = [ones(1, 1) X(i,:)]';
z2=Theta1*a1;
a2=sigmoid(z2);
a2=[ones(1,size(a2,2)); a2];
z3=Theta2*a2;
a3=sigmoid(z3);
hThetaX=a3;
J_tmp(i)=sum(-y_vec.*log(hThetaX)-(1-y_vec).*log(1-hThetaX));
end
J=1/m*sum(J_tmp);
J=J+lambda/(2*m)*(sum(sum(Theta1(:,2:end).^2))+sum(sum(Theta2(:,2:end).^2)));
Delta1 = zeros( hidden_layer_size, (input_layer_size + 1));
Delta2 = zeros( num_labels, (hidden_layer_size + 1));
for t=1:m
y_vec=zeros(num_labels,1);
y_vec(y(t))=1;
a1 = [1 X(t,:)]';
z2=Theta1*a1;
a2=sigmoid(z2);
a2=[ones(1,size(a2,2)); a2];
z3=Theta2*a2;
a3=sigmoid(z3);
delta_3=a3-y_vec;
gz2=[0;sigmoidGradient(z2)];
delta_2=Theta2'*delta_3.*gz2;
delta_2=delta_2(2:end);
Delta2=Delta2+delta_3*a2';
Delta1=Delta1+delta_2*a1';
end
Theta1_grad=1/m*Delta1;
Theta2_grad=1/m*Delta2;
Theta1(:,1)=0;
Theta1_grad=Theta1_grad+lambda/m*Theta1;
Theta2(:,1)=0;
Theta2_grad=Theta2_grad+lambda/m*Theta2;
% -------------------------------------------------------------
% =========================================================================
% Unroll gradients
grad = [Theta1_grad(:) ; Theta2_grad(:)];
end
最后總結一下，對於一個典型的神經網絡，訓練過程如下：
按照這個步驟，我們就可以求得神經網絡的參數theta。
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