Leetcode#53 Maximum Subarray

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方法I：動態規划

另sum[i]表示從i開始的最大子串和，則有遞推公式：sum[i] = max{A[i], A[i] + sum[i+1]}

因為遞推式只用到了后一項，所以在編碼實現的時候可以進行狀態壓縮，用一個變量即可

代碼：

int maxSubArray(int A[], int n) {
  int sum = A[n - 1];
  int maxSum = sum;

  for (int i = n - 2; i >= 0; i--) {
    sum = max(A[i], sum + A[i]);
    maxSum = max(maxSum, sum);
  }

  return maxSum;
}

時間復雜度O(n)，空間復雜度O(1)

 

方法II：掃描法（姑且這么稱呼吧）

這是網上比較流行的一種做法，本質上還是動態規划+狀態壓縮。參考這篇博文

代碼：

int maxSubArray(int A[], int n) {
  if (n == 0)
    return 0;

  int max_ending_here = A[0];
  int max_so_far = A[0];
  for(int i = 1; i < n; ++i)
    {
      if (max_ending_here < 0)
        // So far we get negative values, this part has to be dropped
        max_ending_here = A[i];
      else
        // we can accept it, it could grow later
        max_ending_here += A[i];

      max_so_far = max(max_so_far, max_ending_here);
    }
  return max_so_far;
}

時間復雜度O(n)，空間復雜度O(1)

 

方法III：分治法

假設求A[l..r]的最大子串和

首先將其分成兩半A[l..m]和A[m+1..r]，其中m=(l+r)/2，並分別求遞歸求出這兩半的最大子串和，不妨稱為left，right。如下圖所示：

A[l..r]的連續子串和可能出現在左半邊（即left），或者可能出現在右半邊（即right），還可能出現在橫跨左右兩半的地方（即middle），如下圖橙色部分所示：

當然，middle完全有可能覆蓋left或right，它可能的范圍入下圖所示：

那么，如何求middle？貌似沒有什么簡單的方法，只能從中間向兩遍掃，也就是把上圖種的范圍掃一遍。具體怎么掃呢？見方法I和方法II

是不是突然覺得很坑爹？既然知道最后求middle要掃一遍，還不如一開始就從l到r掃一遍求max得了，還費什么勁兒求left和right呢？求left和right的作用僅限於縮小掃描的范圍。

代碼：

int diveNConquer(int A[], int l, int r) {
  if (l == r)
    return A[l];

  int m = (l + r) / 2;
  int left = diveNConquer(A, l, m);
  int right = diveNConquer(A, m + 1, r);
  int middle = A[m];
  for (int i = m - 1, tmp = middle; i >= l; i--) {
    tmp += A[i];
    middle = max(middle, tmp);
  }
  for (int i = m + 1, tmp = middle; i <= r; i++) {
    tmp += A[i];
    middle = max(middle, tmp);
  }

  return max(middle, max(left, right));
}

int maxSubArray(int A[], int n) {
  return diveNConquer(A, 0, n - 1);
}

分析一下時間復雜度，設問題的工作量是T(n)，則有T(n) = 2T(n/2) + O(n)，解得T(n) = O(nlogn)。看看，效率反而低了不少。