Edit Distance
Given two words word1 and word2, find the minimum number of steps required to convert word1 to word2. (each operation is counted as 1 step.)
You have the following 3 operations permitted on a word:
a) Insert a character
b) Delete a character
c) Replace a character
SOLUTION 1:
REF:
http://www.cnblogs.com/etcow/archive/2012/08/30/2662985.html
http://www.cnblogs.com/etcow/archive/2012/08/30/2662985.html
http://blog.csdn.net/fightforyourdream/article/details/13169573
http://www.cnblogs.com/TenosDoIt/p/3465316.html
相當經典的一道遞歸題目，而且難度級別為4.
這是一個典型的2維DP.
定義D[i][j] 為string1 前i個字符串到 string2的前j個字符串的轉化的最小步。
1. 初始化： D[0][0] = 0; 2個為空 不需要轉
2. D[i][0] = D[i - 1][0] + 1. 就是需要多刪除1個字符
3. D[0][j] = D[0][j - 1] + 1. 就是轉完后需要添加1個字符
D[i][j] 的遞推公式：
我們來考慮最后一步的操作：
從上一個狀態到D[i][j]，最后一步只有三種可能：
添加，刪除，替換（如果相等就不需要替換）
a、給word1插入一個和word2最后的字母相同的字母，這時word1和word2的最后一個字母就一樣了，此時編輯距離等於1（插入操作） + 插入前的word1到word2去掉最后一個字母后的編輯距離
D[i][j - 1] + 1
例子： 從ab --> cd
我們可以計算從 ab --> c 的距離，也就是 D[i][j - 1]，最后再在尾部加上d
b、刪除word1的最后一個字母，此時編輯距離等於1（刪除操作） + word1去掉最后一個字母到word2的編輯距離
D[i - 1][j] + 1
例子： 從ab --> cd
我們計算從 a --> cd 的距離，再刪除b, 也就是 D[i - 1][j] + 1
c 、把word1的最后一個字母替換成word2的最后一個字母，此時編輯距離等於 1（替換操作） + word1和word2去掉最后一個字母的編輯距離。
這里有2種情況，如果最后一個字符是相同的，即是：D[i - 1][j - 1]，因為根本不需要替換，否則需要替換，就是
D[i - 1][j - 1] + 1
然后取三種情況下的最小距離
現在來證明一下，當最后一個字符相同時，D[i][j] = D[i - 1][j - 1]，這里只要證明D[i - 1][j -1] <=D[i ][j - 1]+1即可。
反證法：
假設：D[i - 1][j -1] > D[i ][j - 1]+1
推論：如果我們要把i-1字符串變換為j - 1,
我們可以通過先在str1加上一個字符，得到帶前i個字符的str1 , 然后再執行D[i][j -1]
D[i][j - 1] + 1 也可以推出 i , j 字符串的轉換 也就是說
推出：D[i - 1][j - 1]不是i - 1--> j - 1轉換的最小值
推論與題設相矛盾，所以得證。
基於以上證明，當最后一個字符相同時，我們其實可以直接讓D[i][j] = D[i - 1][j - 1].
例子： "ababd" -> "ccabab"
先初始化matrix如下。意思是，比如"_" -> "cca" = 2 操作是插入'c','c','a'，共3步。 "abab" -> "+ "_" 刪除'a','b','a','b'，共4 步。
| _ | a | b | a | b | d | |
| _ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| c | 1 | |||||
| c | 2 | |||||
| a | 3 | |||||
| b | 4 | |||||
| a | 5 | |||||
| b | 6 |
然后按照注釋里的方法填滿表格，返回最后一個數字（最佳解）
| _ | a | b | a | b | d | |
| _ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| c | 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| c | 2 | 2 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| a | 3 | 2 | 3 | 2 | 3 | 4 |
| b | 4 | 3 | 2 | 3 | 2 | 3 |
| a | 5 | 4 | 3 | 2 | 3 | 3 |
| b | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 3 |
1 public class Solution { 2 public int minDistance(String word1, String word2) { 3 if (word1 == null || word2 == null) { 4 return 0; 5 } 6 7 int len1 = word1.length(); 8 int len2 = word2.length(); 9 10 int[][] D = new int[len1 + 1][len2 + 1]; 11 12 for (int i = 0; i <= len1; i++) { 13 for (int j = 0; j <= len2; j++) { 14 if (i == 0) { 15 D[i][j] = j; 16 } else if (j == 0) { 17 D[i][j] = i; 18 } else { 19 if (word1.charAt(i - 1) == word2.charAt(j - 1)) { 20 D[i][j] = D[i - 1][j - 1]; 21 } else { 22 D[i][j] = Math.min(D[i - 1][j - 1], D[i][j - 1]); 23 D[i][j] = Math.min(D[i][j], D[i - 1][j]); 24 D[i][j]++; 25 } 26 } 27 } 28 } 29 30 return D[len1][len2]; 31 } 32 }
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