[Jobdu] 題目1544：數字序列區間最小值

題目描述：

給定一個數字序列，查詢任意給定區間內數字的最小值。 

輸入：

輸入包含多組測試用例，每組測試用例的開頭為一個整數n(1<=n<=100000)，代表數字序列的長度。
接下去一行給出n個數字，代表數字序列。數字在int范圍內。
下一行為一個整數t(1<=t<=10000)，代表查詢的次數。
最后t行，每行給出一個查詢，由兩個整數表示l、r(1<=l<=r<=n)。

輸出：

對於每個查詢，輸出區間[l,r]內的最小值。

樣例輸入：

5
3 2 1 4 3
3
1 3
2 4
4 5

樣例輸出：

1
1
3

RMQ (Range Minimum/Maximum Query)問題是指：對於長度為n的數列A，回答若干詢問RMQ(A,i,j)(i,j<=n)，返回數列A中下標在i,j里的最小(大）值，也就是說，RMQ問題是指求區間最值的問題。

主要方法及復雜度如下：

1、朴素（即搜索），O(n)-O(qn) online。

2、 線段樹，O(n)-O(qlogn) online。

3、ST（實質是 動態規划），O(nlogn)-O(q) online。

ST算法（Sparse Table），以求最大值為例，設d[i,j]表示[i,i+2^j-1]這個區間內的最大值，那么在詢問到[a,b]區間的最大值時答案就是max(d[a,k], d[b-2^k+1,k])，其中k是滿足2^k<=b-a+1(即長度)的最大的k,即k=[ln(b-a+1)/ln(2)]。

d的求法可以用動態規划，d[i, j]=max(d[i, j-1],d[i+2^(j-1), j-1])。

4、RMQ標准算法：先規約成 LCA（Lowest Common Ancestor），再規約成約束RMQ，O(n)-O(q) online。

首先根據原 數列，建立 笛卡爾樹，從而將問題在線性時間內規約為LCA問題。LCA問題可以在線性時間內規約為約束RMQ，也就是數列中任意兩個相鄰的數的差都是+1或-1的RMQ問題。約束RMQ有O(n)-O(1)的在線解法，故整個算法的時間復雜度為O(n)-O(1)。

 

下面是方法3的實現：

#include <climits>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
 
int n, t;
int l, r;
int dp[100001][32];
 
void init() {
    for (int j = 1; (1<<j) <= n; ++j) {
        for (int i = 1; i + (1<<j) - 1 <= n; ++i) {
            dp[i][j] = min(dp[i][j-1], dp[i+(1<<(j-1))][j-1]);
        }
    }
}
 
void getRes() {
    int k = (int) (log((double)(r-l+1))/log(2.0));
    int res =  min(dp[l][k], dp[r-(1<<k)+1][k]);
    printf("%d\n", res);
}
 
int main() {
    while (scanf("%d", &n) != EOF) {
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            scanf("%d", &dp[i][0]);
        }
        init();
        scanf("%d", &t);
        for (int i= 0; i < t; ++i) {
            scanf("%d %d", &l, &r);
            getRes();
        }
    }
    return 0;
}
/**************************************************************
    Problem: 1544
    User: hupo250
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:320 ms
    Memory:14068 kb
****************************************************************/