這是我在上模式識別課程時的內容，也有參考這里。
線性判別函數的基本概念
判別函數為線性的情況的一般表達式 式中x是d 維特征向量，又稱樣本向量， 稱為權向量， 分別表示為 是個常數，稱為閾值權。
設樣本d維特征空間中描述，則兩類別問題中線性判別函數的一般形式可表示成
(3-1)
其中
而ω0是一個常數，稱為閾值權。相應的決策規則可表示成，
g(X)＝0就是相應的決策面方程，在線性判別函數條件下它對應d維空間的一個超平面，
(3-3)
為了說明向量W的意義，我們假設在該決策平面上有兩個特征向量X1與X2，則應有
(3-4)
其中(X1-X2)也是一個向量，(3-4)式表明向量W與該平面上任兩點組成的向量(X1-X2)正交，因此W就是該超平面的法線向量。這就是向量W的幾何意義。而g(X)也就是d維空間中任一點X到該決策面距離的代數度量，該決策平面將這兩類樣本按其到該面距離的正負號確定其類別。至於w0則體現該決策面在特征空間中的位置，當w0=0時，該決策面過特征空間坐標系原點，而
時，則
表示了坐標原點到該決策面的距離。
有的同學可能對(3-1)公式表示線性判別函數不太理解，這可從線性方程的表示法說起，設二維空間一直線方程表示為：
w2X2+w1X1+w0=0
其中w1和w2分別是X1和X2的系數。w0是直線方程的參數項，由於X1和X2是一個向量的兩個分量W=( w1, w2)T.則w2X2+ w1X1就是這兩個向量的點積，表示成(3-3)式。另外我們也知道一個線性方程在二維空間唯一確定了一條直線，但一條直線卻可以對應無窮多個直線方程。w2、w1和w0是該直線的方程參數，kw2、kw1和kw0也是這條直線方程的參數。如果我們定義
，則
也是該直線的方程，但
卻是模為1的向量，而W'TX就是直線上任一點到W'向量的投影，它的數值等於
，因此則表示了這條直線到坐標原點的法向距離。線性函數及線性方程的向量表示形式是今后常用的形式。
應用統計方法解決模式識別問題時，一再碰到的問題之一是維數問題。在低維空間里解析上或計算上行的通的方法，在高維空間里往往行不通。因此降低維數有時就成為處理實際問題的關鍵。
我們可以考慮把d維空間的樣本投影到一條直線上，形成一維空間，即把維數壓縮到一維。這在數學上總是容易辦到的。然而，即使樣本在d維空間里形成若干緊湊的相互分得開的集群，若把它們投影到一條任意的直線上，也可能使幾類樣本混在一起而變的無法識別。但在一般情況下，總可以找到某個方向，使在這個方向的直線上，樣本的投影能分開的最好。
在使用線性分類器時，樣本的分類由其判別函數值決定，而每個樣本的判別函數值是其各分量的線性加權和再加上一閾值w0。如果我們只考慮各分量的線性加權和，則它是各樣本向量與向量W的向量點積。如果向量W的幅度為單位長度，則線性加權和又可看作各樣本向量在向量W上的投影。顯然樣本集中向量投影的分布情況與所選擇的W向量有關，
如何根據實際情況找到這條最好的、最易於分類的投影線。這就是Fisher法要解決的基本問題。
顯然對向量w1的投影能使這兩類有明顯可分開的區域，而對向量w2的投影，則使兩類數據部分交迭在一起，無法找到一個能將它們截然分開的界面。Fisher准則的基本原理，就是要找到一個最合適的投影軸，使兩類樣本在該軸上投影的交迭部分最少，從而使分類效果為最佳。
分析w1方向之所以比w2方向優越，可以歸納出這樣一個准則，即向量W的方向選擇應能使兩類樣本投影的均值之差盡可能大些，而使類內樣本的離散程度盡可能小。這就是Fisher准則函數的基本思路。為了將這個思路變為可計算的函數值，我們先對一些基本參量下定義。
1 樣本在d維特征空間的一些描述量。
(1) 各類樣本均值向量mi
(3-15)
(2) 樣本類內離散度矩陣Si與總類內離散度矩陣Sw
(3-16)
(3-17)
(3) 樣本類間離散度矩陣Sb
(3-18)
類內離散矩陣Si在形式上與協方差矩陣很相似，但協方差矩陣是一種期望值，而類內離散矩陣只是表示有限個樣本在空間分布的離散程度。對我們來說不一定要在這一方面細究。
2 在一維Y空間
(1) 各類樣本均值
(3-19)
(2) 樣本類內離散度
和總類內離散度
(3-20)
(3-21)
在這里定義一維空間兩類數據的分布是為了描述空間樣本點到一向量投影的分散情況的，因此也就是對某向量W的投影在W上的分布。
的定義與隨機變量方差相類似。
在定義了上述一系列描述量后，可以用這些量給出Fisher准則的函數形式。根據Fisher選擇投影方向W的原則，即使原樣本向量在該方向上的投影能兼顧類間分布盡可能分開，類內樣本投影盡可能密集的要求，用以評價投影方向W的函數為：
(3-22)
這個函數稱為Fisher准則函數。但是(3-22)並不是W的顯函數，需進一步化為W的顯函數。為此需對
等項進一步演化：
(3-23)
因而(3-23)分子項又可寫成
(3-24)
同樣也可推出與W的關系
因此
(3-25)
則
可表示成
(3-26)
這一數學推導的思路是,由於一個樣本到一向量上的投影是一維實數空間，因此先定義在一維空間分布的表示方法(從(3-19)到(3-21))然后將Fisher的思想用到(3-22)式定義的准則上。接着將投影運算代入(3-22)式中各個量，經過(3-23)至(3-25)式最后得到(3-26)，(3-26)式是一個相對重要的結論，有了它才能解出所需的W。
最佳W值的確定實際上就是對(3-26)求取其達極大值時的
。對於這個問題可以采用拉格朗日乘子算法解決，譬如保持(3-26)式分母為一非零常數c的條件下,求其分子項的極大值。
為此可設計一拉格朗日函數
(3-27)
拉格朗日乘子法是用來求帶約束條件的極值問題的，這是把
作為要求極值的目標函數，而保持
為一常數c，因此按拉格朗日乘子標准方法構造拉格朗日函數得(3-27)。然后通過對拉格朗日函數分別對W及乘子λ求導並置為0來求W的解。
這里對向量的求導(或偏導)的定義是：
如
則 
其中λ為拉格朗日乘子，按拉格朗日算法對(3-27)式求對W的偏導數，且令其在
時為零，得
則有
(3-28)
由於Sw非奇異，將(3-28)兩邊乘以Sw-1得
(3-29)
矩陣非奇異即該矩陣可逆，(3-29)是個典型的特征值問題。如不明白要復習一下為好。
這是一個求矩陣
的特征值問題，但在此可利用(3-18)式對
的定義，而得到
(3-30)
其中
是一個數量，可用數值R表示，則(3-30)式可寫成
代入(3-29)式可得
(3-31)
實際上我們關心的只是向量的方向，其數值大小對分類器沒有影響。因此在忽略了數值因子
后，可得
(3-32)
(3-32)是使用Fisher准則求最佳法線向量的解，該式比較重要。另外，(3-32)式這種形式的運算，我們稱為線性變換，其中(m1-m2)式一個向量，Sw-1是Sw的逆矩陣，如(m1-m2)是d維，Sw和Sw-1都是d×d維，得到的也是一個d維的向量。
向量就是使Fisher准則函數
達極大值的解，也就是按Fisher准則將d維X空間投影到一維Y空間的最佳投影方向，該向量的各分量值是對原d維特征向量求加權和的權值。
以上討論了線性判別函數加權向量W的確定方法，並討論了使Fisher准則函數極大的d維向量 的計算方法，但是判別函數中的另一項w0尚未確定，一般可采用以下幾種方法確定w0如
(3-33)
或
(3-34)
或當
與
已知時可用
(3-35)
式中 和 分別為ω1類和 ω2 類樣本的先驗概率。
為了確定具體的分界面，還要指定線性方程的常數項。在實際工作中還可以對W0進行逐次修正的方式，選擇不同的W0值，計算其對訓練樣本集的錯誤率，找到錯誤率較小的W0值。
當W0確定之后，則可按以下規則分類，
(3-36)
使用Fisher准則方法確定最佳線性分界面的方法是一個著名的方法，盡管提出該方法的時間比較早，仍見有人使用。
下面是一個程序示例：
給定3維樣本195個，存放在文件“3dim195sample.txt”中，其中前80個是屬於第一類的樣本，接着100個是屬於第二類的樣本。 最后是15個未知類別樣本。先驗概率為P＝0.7，
P2=0.3 ，根據已知類別的180個樣本尋找最好的投影方向，使在該方向上對這180個樣本的分類效果最好。然后利用合適的決策規則判斷給定的15個未知樣本分別屬於什么類別。
1 #include<iostream> 2 #include<fstream> 3 using namespace std; 4 //高斯法求逆矩陣 5 bool Gauss(double A[], double B[], int n) 6 { 7 int i, j, k; 8 double max, temp; 9 double* t=new double[n*n]; //臨時矩陣 10 //將A矩陣存放在臨時矩陣t[n][n]中 11 for (i = 0; i < n*n; i++) 12 { 13 t[i] = A[i]; 14 } 15 //初始化B矩陣為單位陣 16 for (i = 0; i < n; i++) 17 { 18 for (j = 0; j < n; j++) 19 { 20 B[n*i+j] = (i == j) ? (double)1 : 0; 21 } 22 } 23 for (i = 0; i < n; i++) 24 { 25 //尋找主元 26 max = t[n*i+i]; 27 k = i; 28 for (j = i + 1; j < n; j++) 29 { 30 if (fabs(t[n*j+i]) > fabs(max)) 31 { 32 max = t[n*j+i]; 33 k = j; 34 } 35 } 36 //如果主元所在行不是第i行，進行行交換 37 if (k != i) 38 { 39 for (j = 0; j < n; j++) 40 { 41 temp = t[i*n+j]; 42 t[i*n+j] = t[k*n+j]; 43 t[k*n+j] = temp; 44 //B伴隨交換 45 temp = B[i*n+j]; 46 B[i*n+j] = B[k*n+j]; 47 B[k*n+j] = temp; 48 } 49 } 50 //判斷主元是否為0, 若是, 則矩陣A不是滿秩矩陣,不存在逆矩陣 51 if (t[i*n+i] == 0) 52 { 53 cout << "There is no inverse matrix!"; 54 return false; 55 } 56 //消去A的第i列除去i行以外的各行元素 57 temp = t[i*+i]; 58 for (j = 0; j < n; j++) 59 { 60 t[i*n+j] = t[i*n+j] / temp; //主對角線上的元素變為1 61 B[i*n+j] = B[i*n+j] / temp; //伴隨計算 62 } 63 for (j = 0; j < n; j++) //第0行->第n行 64 { 65 if (j != i) //不是第i行 66 { 67 temp = t[j*n+i]; 68 for (k = 0; k < n; k++) //第j行元素 - i行元素*j列i行元素 69 { 70 t[j*n+k] = t[j*n+k] - t[i*n+k] * temp; 71 B[j*n+k] = B[j*n+k] - B[i*n+k] * temp; 72 } 73 } 74 } 75 } 76 return true; 77 } 78 int main(){ 79 ifstream fin; 80 fin.open("3dim195sample.txt"); 81 82 ofstream fout; 83 fout.open("result.txt"); 84 double** data = new double*[3]; 85 for (int i = 0; i < 3; i++){ 86 data[i] = new double[195]; 87 } 88 double avg1[3] = { 0, 0, 0 }, avg2[3] = {0,0,0}; 89 double *s1=new double[9],*s2=new double[9],*sw = new double[9],*swinv=new double[9]; 90 for (int i = 0; i < 195; i++){ 91 for (int j = 0; j < 3; j++){ 92 fin >> data[j][i]; 93 if (i < 80){ 94 avg1[j] += data[j][i]; 95 } 96 else if (i < 180){ 97 avg2[j] += data[j][i]; 98 } 99 } 100 } 101 for (int i = 0; i < 3; i++){ 102 avg1[i] /= 80; 103 avg2[i] /= 100; 104 } 105 for (int j = 0; j < 3; j++) 106 for (int k = 0; k < 3; k++){ 107 s1[3 * j + k] = 0; 108 s2[3 * j + k] = 0; 109 } 110 for (int i = 0; i < 180; i++){ 111 for (int j = 0; j < 3; j++){ 112 for (int k = 0; k < 3; k++){ 113 if (i < 80){ 114 s1[3 * j + k] += (data[j][i]-avg1[j]) * (data[k][i]-avg1[k]); 115 } 116 else{ 117 s2[3 * j + k] += (data[j][i]-avg2[j]) * (data[k][i]-avg2[k]); 118 } 119 } 120 121 } 122 } 123 for (int i = 0; i < 9; i++) 124 sw[i] = s1[i] + s2[i]; 125 Gauss(sw, swinv,3); 126 double w[3] = { 0, 0, 0 }; 127 fout << "決策向量是：\n"; 128 for (int i = 0; i < 3; i++){ 129 for (int j = 0; j < 3; j++){ 130 w[i] += swinv[i * 3 + j] * (avg1[j] - avg2[j]); 131 } 132 fout << w[i] << "\t"; 133 } 134 fout << "\n"; 135 double m1 = 0, m2 = 0; 136 for (int j = 0; j < 180; j++){ 137 double temp = 0; 138 for (int i = 0; i < 3; i++){ 139 temp += w[i] * data[i][j]; 140 } 141 if (j < 80){ 142 m1 += temp; 143 } 144 else{ 145 m2 += temp; 146 } 147 } 148 m1 /= 80; 149 m2 /= 100; 150 151 double result = 0,y0=0; 152 y0 += (m1 + m2) / 2; 153 y0 += log(0.7 / 0.3) / 178; 154 for (int i = 0; i < 15; i++){ 155 for (int j = 0; j < 3; j++){ 156 result += w[j] * data[j][i + 100]; 157 } 158 if (result > y0) 159 fout << "屬於第一類\n"; 160 else 161 fout << "屬於第二類\n"; 162 result = 0; 163 } 164 165 fout.flush(); 166 fout.close(); 167 fin.close(); 168 return 0; 169 }
附3dim195sample.txt數據
3.92639075035090E+0000 1.82448704288431E+0000 1.93046658579950E+0000 3.23255693526531E+0000 4.94053017625487E-0001 2.01603737281494E+0000 2.87631054414386E+0000 1.62314568037663E+0000 0.34038163365586E+0000 1.46628238268383E+0000 3.38876586374638E+0000 1.07546814479666E+0000 2.84019885397303E+0000 1.79367037883761E+0000 1.14627640826449E+0000 2.23691065641028E+0000 1.54501423942050E+0000 1.15920266822012E+0000 1.36947469571179E+0000 2.34116905476633E+0000 2.70327205847147E+0000 2.81946571482398E+0000 1.43720953648825E+0000 1.05596001297777E+0000 1.37793386471010E+0000 1.93540635079336E+0000 1.24962193141687E+0000 1.13874985040130E+0000 1.06371976532240E+0000 3.82806441871563E+0000 1.14618909741205E+0000 3.65000742304533E+0000 1.59702830170865E+0000 1.68256340389115E+0000 1.54089520151824E+0000 2.09152586660903E+0000 2.10084578826006E+0000 2.35782906437151E+0000 1.36521908436162E+0000 1.95840457658842E+0000 1.29625032697371E+0000 1.67196053690080E+0000 2.11807059540741E+0000 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result.txt結果
決策向量是： -4.58178 54.6366 -0.0318441 屬於第二類 屬於第一類 屬於第一類 屬於第一類 屬於第一類 屬於第一類 屬於第二類 屬於第一類 屬於第二類 屬於第二類 屬於第一類 屬於第二類 屬於第一類 屬於第二類 屬於第一類