這幾天在看《統計學習方法》這本書，發現 梯度下降法 在 感知機 等機器學習算法中有很重要的應用，所以就特別查了些資料。
一.介紹
梯度下降法（gradient descent）是求解無約束最優化問題的一種常用方法，有實現簡單的優點。梯度下降法是迭代算法，每一步需要求解目標函數的梯度向量。
二.應用場景
1.給定許多組數據（xi, yi），xi （向量）為輸入，yi為輸出。設計一個線性函數y=h（x）去擬合這些數據。
2.感知機：感知機（perceptron）為二類分類的線性分類模型。 輸入為實例的特征向量，輸出為實例的類別， 取+1 和 -1 二值。
下面分別對這兩種應用場景進行分析。
1.對於第一種場景:
既然是線性函數，在此不妨設為 h(x) = w0*x0 + w1*x1。
此時我們遇到的問題就是如何確定w0和w1這兩個參數，即w=（w0，w1）這個向量。
既然是擬合，則擬合效果可以用平方損失函數：E(w)=∑ [ h(x)- y ] ^2 / 2 來衡量。
其中w是權重二維向量，x是輸入二維向量，x和y都是訓練集的數據，即已知。
至於后面除於2只是為了之后的推導過程中對E求導時候可以消除系數，暫時可以不管。
因此該問題變成了求E(w)最小值的無約束最優化問題
2.對於第二種場景:
假設輸入空間(特征向量)為x，輸出空間為y = {+1, -1},由輸入空間到輸出空間的如下函數
f(x) = sign(w · x + b) w∈Rn 其中 w 叫做權值或者權值向量, b叫做偏振。w · x 表示向量w和x的點積
感知機sign(w · x + b)的損失函數為 L(w, b) = -∑yi(w · xi + b) x ∈M, M為誤分類點集合。
因此該問題變成了求L(w, b)最小值的無約束最優化問題
三.梯度下降方法
梯度其實就是高數求導方法，對E這個公式針對每個維數（w0，w1）求偏導后的向量▽E(w)=（∂E/∂w0,∂E/∂w1）
1. 對於第一種場景
對E這個公式針對每個維數（w0，w1）求偏導后的向量▽E(w)=（∂E/∂w0,∂E/∂w1）
梯度為最陡峭上升的方向，對應的梯度下降的訓練法則為： w=w-η▽E(w) 這里的η代表學習速率，決定梯度下降搜索中的步長 。
上式的w是向量，即可用將該式寫成分量形式為:wi=wi-η*∂E/∂wi
現在關鍵就使計算∂E/∂wi：
推導過程很簡單，書上寫的很詳細，這里只記錄結論(其實就是對目標函數求導):
∂E/∂wi=∑（h(x)-y）*(xi)
這里的∑是對樣本空間，即訓練集進行一次遍歷，耗費時間較大，可以使用梯度下降的隨機近似：
2. 對於第二種場景
感知機學習算法是誤分類驅動的，具體采用隨機梯度下降方法
▽wL(w, b) = -∑yixi
▽bL(w, b) = -∑yi
隨機選取一個誤分類點（xi, yi), 對w, b進行更新：
w <—— w - η * (-yixi)
b <—— b - η * (-yi) 式中η(0 < η <= 1)是步長，在統計學習中又稱為學習率（learning rate）
四.隨機梯度下降的隨機近似：
既然是隨機近似，則顧名思義，肯定是用近似方法來改善梯度下降時候的時間復雜度問題。
正如上所說，在∂E/∂wi=∑（h(x)-y）*(xi) 的時候∑耗費了大量的時間，特別是在訓練集龐大的時候。
所以肯定有人會猜想，如果把求和去掉如何，即變為∂E/∂wi=（h(x)-y）*(xi)。
幸運的是，猜想成立了。
只是要注意一下標准的梯度下降和隨機梯度下降的區別：
1.標准下降時在權值更新前匯總所有樣例得到的標准梯度，隨機下降則是通過考察每次訓練實例來更新。
2.對於步長 η的取值，標准梯度下降的η比隨機梯度下降的大。
因為標准梯度下降的是使用准確的梯度，理直氣壯地走，隨機梯度下降使用的是近似的梯度，就得小心翼翼地走，怕一不小心誤入歧途南轅北轍了。
3.當E（w）有多個局部極小值時，隨機梯度反而更可能避免進入局部極小值中。
四.代碼及實例：
1. 對於第一種場景
1 /*
2 * 隨機梯度下降實驗：
3 * 訓練集輸入為矩陣：
4 * 1,4
5 * 2,5
6 * 5,1
7 * 4,2
8 * 輸出結果為：
9 * 19
10 * 26
11 * 19
12 * 20
13 * 需要參數為 w：
14 * ？
15 * ？
16 *
17 * 目標函數:y=w0*x0+w1*x1;
18 *
19 * */
20 #include<stdio.h>
21 #include <stdlib.h>
22 int main()
23 {
24 double matrix[4][2]={{1,4},{2,5},{5,1},{4,2}};
25 double result[4]={19,26,19,20};
26 double w[2]={0,0};//初始為零向量
27 double loss=10.0;
28 const double n = 0.01; //步長
29 for(int i=0;i<100&&loss>0.001;i++)
30 {
31 double error_sum=0;
32 int j=i%4;
33 {
34 double h=0;
35 for(int k=0;k<2;k++)
36 {
37 h+=matrix[j][k]*w[k];
38 }
39 error_sum = h - result[j];
40 for(int k=0;k<2;k++)
41 {
42 w[k]-= n * (error_sum) * matrix[j][k];//這里是關鍵
43 }
44 }
45 printf("%lf,%lf\n",w[0],w[1]);
46 double loss=0;
47 for(int j=0;j<4;j++)
48 {
49 double sum=0;
50 for(int k=0;k<2;k++)
51 {
52 sum += matrix[j][k] * w[k];
53 }
54 loss += (sum - result[j]) * (sum-result[j]);
55 }
56 printf("%lf\n",loss);
57 }
58
59 system("pause");
60 return 0;
61 }
結果可以得出 w0=3，w1=4。
1 /*
2 * 基於感知機的隨機梯度下降實驗： 《統計學習方法》- p29-例2.1
3 * 訓練集輸入為矩陣：
4 * 3,3
5 * 4,3
6 * 1,1
7 * 輸出結果為（表示實例的分類）：
8 * 1
9 * 1
10 * -1
11 * 需要參數為 w：
12 * ？
13 * ？
14 *
15 * 目標函數:y = w0 * x0 + w1 * x1 + b;
16 *
17 * */
18 #include<stdio.h>
19 #include <stdlib.h>
20 int main()
21 {
22 double x[3][2]={{3,3},{4,3},{1,1}};
23 double y[4]={1, 1, -1};
24 double w[2]={0,0};//初始為零向量
25 double b = 0;
26 int j;
27 const double n = 1; //步長
28
29 while(1)
30 {
31 for(j=0;j<3;j++)
32 {
33 if(y[j] * (w[0] * x[j][0] + w[1] * x[j][1] + b) <= 0)
34 break;
35 }
36 if(j < 3)
37 {
38 for(int k=0;k<2;k++)
39 w[k] += n * y[j] * x[j][k];//這里是關鍵
40 b += n * y[j];
41 }
42 else
43 break;
44 printf("%d :%lf,%lf %lf\n", j, w[0], w[1], b);
45
46 }
47
48 system("pause");
49 return 0;
50 }
結果可以得出 w0=1，w1=1， b = -3 。
參考：
1. http://blog.csdn.net/wuyanyi/article/details/8003946
2. 李航 統計學習方法