一.李群的定義
定義：設$G$為一個具有坐標結構的流形，我們稱$G$為一個李群，如果
1.在$G$上有一個群結構
2.由群結構誘導的映射$G\times G\to G$($(x,y)\mapsto x\cdot y^{-1}$)是$C^\infty$映射
我們有如下一些例子$\newcommand{\R}{\mathbb{R}}$$\newcommand{\C}{\mathbb{C}}$
- $M_n(\R)$($M_n(\C)$)，即$n\times n$的實（復）矩陣與矩陣加法構成李群
- $GL_n(\R)$($GL_n(\C)$)$=\{A\in M_n(\R)| A\mbox{ 可逆 }\}$與矩陣乘法構成李群
- $SL_n(\R)=\{A\in GL_n(\R)|\det A=1\}$與矩陣乘法稱為特殊線性群
- $O(n)=\{A\in M_n(\R)|A^t A=I\}$稱為正交群
而$U(n)=\{A\in M_n(\C)|A^*A=I\}$,其中$A^*$為共軛轉置稱為酉群 - $SO(n)=\{A\in O(n),A\in SL_n(\R)\}$,$SU(n)=\{A\in U(n),A\in SL_n(\C)\}$
特別地，我們可以顯示寫出一些李群如下：
- $U(1)=\{M_n(\C)|\bar{a} a=1\}=e^{i\theta}$,關於$a$的乘法可以看作在$\R /2\pi$上的加法，顯然可以看出它是交換群
- $$SU(2)=\left\{\left.\begin{bmatrix}\alpha & \beta\\ -\bar{\beta} & \bar{\alpha}\end{bmatrix}\right| |\alpha|^2+|\beta|^2=1\right\},$$這是因為如果$\begin{bmatrix}\alpha& \beta \\ \gamma & \delta\end{bmatrix}\in SU(2)$,則應該有
$$\begin{bmatrix}\bar{\alpha}&\bar{\gamma} \\ \bar{\beta} & \bar{\delta}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\alpha& \beta \\ \gamma & \delta\end{bmatrix}^{-1}=\frac{1}{|\det|}\begin{bmatrix}\delta& -\beta \\ -\gamma & \alpha\end{bmatrix}.$$
故而有$\delta=\bar{\alpha},\gamma=-\bar{\beta}$。同理可以求出$$SO(2)=\left\{\left.\begin{bmatrix}\alpha& \beta \\ -\beta& \alpha\end{bmatrix}\right|\alpha^2+\beta^2=1\right\}$$
二.指數映射
設$G$為李群，$e$為$G$的單位元，$g=T_eG$為流形$G$在$e$處的切空間。以下給出一些切空間的例子:
- $T_e M_n(\R)=M_n(\R)$
- $T_e GL_n(\R)=M_n(\R)$(考慮$\gamma=\exp(t X)$即可)
- $T_e O(n)=\{A\in M_n(\R)| A^T=-A\}=\{\mbox{全部反對稱矩陣}\}$
證明3：由於$O(n)\hookrightarrow M_n(\R)$,$p=e=I$,對於落在$O(n)$中的一條曲線$\gamma:(-\epsilon,\epsilon)\to M_n(\R)\cap O(n)$,且$\gamma(0)=I$,我們就有$\dot{\gamma}(o)=T_e O(n)$,所以要證明結論，先證明$T_eO(n) \subset \{A\in M_n(\R)|A^t=-A\}$
設$\gamma(t)$為滿足上述條件的曲線，那么我們有$\gamma(t)^T\gamma(t)=I$,兩邊求導得到$(\dot{\gamma}(t))^T\cdot \gamma(t)+\gamma(t)^T\cdot \dot{\gamma}(t)=0$,限制在$t=0$就有$\dot{\gamma}(0)\in \{A\in M_n(\R)| A^T=-A\}$,即$T_e O(n)\subset \{A\in M_n(\R)| A^T=-A\}$.
反過來，對於$\forall A\in \{A\in M_n(\R)| A^T=-A\}$,要證明$\gamma(t)=\exp(tA)$為$O(n)$中某曲線的切向量。顯然由於$\gamma(t)\in O(n)$，且$\dot\gamma(0)=A$成立，故而成立。$\square$
由此我們可以看出，$\exp$這樣一個映射在切空間的刻畫中至關重要，我們可以有如下的結論：
定理 (1)指數映射$\exp:M_n(\R)\to GL_n(\R)$是$GL_n(\R)$在$I$附近的局部坐標系（即在$I$附近微分同胚）
(2)$\exp:\{A^t=-A\}\to O(n)$同為在$I$附近局部坐標系。
證明略去，但是這樣指數映射的想法可以推廣到任意黎曼流形，即黎曼流形中的指數映射。
三.李代數
定義 設$V$為一個向量空間，我們稱$V$為一個李代數，如果
(1)在$V$上還有個運算$[\cdot,\cdot]:V\times V\to V$，稱為李括號
(2)李括號滿足雅可比性質$[X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0$
以下幾個例子給出了最基礎的李代數：
- $V$為向量空間，定義$[X,Y]=0$則構成李代數，稱為平凡李代數。
- $V$為流形上所有光滑向量叢全體$\chi(M)$,那么$V$關於向量場的李括號成為李代數。
- $\mathbb{R}^3$在$[X,Y]=X\times Y$,即叉乘下構成李代數。
定理 設$G$為李群，那么在$g=T_eG$有李代數結構$[X,Y]=XY-YX$.
由於這個定理的證明超出本文需要之外，故而省去，不過可以很容易驗證在$G=O(n)$時候這樣的運算構成李代數。一個簡單的例子如下：
在$SO(3)$上，我們同樣有$g=T_eSO(3)=\{A\in M_3(\R)|A^t=-A\}$這樣$$A=\begin{bmatrix}0 & x & y \\ -x & 0 & z \\ -y & -z & 0\end{bmatrix}\mapsto \begin{bmatrix}x \\ y \\ z\end{bmatrix}$$而通過計算很容易可以看出，$SO(3)$和$\R^3$上定義的李代數結構是一樣的！
為了區分李群和李代數，我們將所有李代數的字母寫為哥特字體。有如下的例子$\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}$
- $\mathfrak{o}(n)$為$O(n)$ 的李代數，我們有$\mathfrak{o}(n)=\{A|A^T=-A\}$
- $\mathfrak{so}(n)=\{A|A^T=-A\}$為$SO(n)$的李代數，它與$\mathfrak{o}(n)$相同，是因為$SO(n)$恰在$O(n)$中$e$所在的連通分支
- $\mathfrak{u}(n)=T_e U(n)=\{A\in M_n(\C)|A^*=-A\}=\{反對稱的Hermitian矩陣\}$構成$U(n)$的李代數
- $\mathfrak{su}(n)=T_e SU(n)=\{A\in M_n(\C)|A^*=-A,\tr A=0\}$是為$SU(n)$的李代數
由於$SU(n)$的李代數比較難以計算，我們考慮$SU(2)=\left\{\left.\begin{bmatrix}\alpha & \beta \\ -\bar{\beta} & \bar{\alpha}\end{bmatrix}\right| |\alpha|^2+|\beta|^2=1,\alpha,\beta\in\C \right\}$的李代數，即求切空間$T_e SU(2)$。即我們考慮過$e$的曲線$\gamma(t)=\begin{bmatrix}\alpha(t) & \beta(t) \\ -\bar{\beta}(t) & \bar{\alpha}(t)\end{bmatrix}$,顯然有$\gamma'(0)=\begin{bmatrix}\alpha'(0) & \beta'(0) \\ -\bar{\beta}'(0) & \bar{\alpha}'(0)\end{bmatrix}$,而又由於條件$\alpha(t)\bar{\alpha}(t)+\beta(t)\bar{\beta}(t)=1$，故而就有$$\alpha'(t)\bar{\alpha}(t)+\alpha(t)\bar{\alpha}'(t)+\beta'(t)\bar{\beta}(t)+\beta(t)\bar{\beta}'(t)=0$$將$\alpha(0)=1,\beta(0)=0$帶入得知$\alpha'(0)+\bar{\alpha}'(0)=0$，於是我們就有$$\mathfrak{so}(2)=\left\{\left.\begin{bmatrix}i\alpha & \bar{\beta}\\ -\bar{\beta}&-i\alpha\end{bmatrix}\right|\alpha\in\R,\beta\in \C\right\}.$$這是由於另一部分我們可以很簡單用指數映射證明包含關系。
注記：
1. 令人驚奇的是，$\mathfrak{su}(2)\cong \mathfrak{so}(3)\cong\mathbb{R}^3$在李代數下代數同構，而$SU(2)\cong SO(3)$同為同構。
2. $O(n)$與$U(n)$的幾何意義：保定向的群。具體來說在$\R^n$或$\C^n$中保持內積的自同構，也即$\langle A x,AY\rangle= \langle x,y\rangle$。
四.光滑映射的“導數”
在這一小節里我們主要討論切空間上的誘導映射，不過在一個比較初等的形式下。$\newcommand{\p}{\partial}$
令$F:M\to N$，其中$M\subset \R^n$,$N\subset \R^m$為開集，那么$F$可以寫成$x=(x^1,x^2,\ldots,x^n)\mapsto y=F(x)=(F_1(x)m\ldots,F_m(x))$，而這一函數可以誘導切空間$TM\to TN$的映射。$F_*:T_xM\to T_{F(x)}N$，將切向量$V_x\mapsto F_*(V_x)$,即對任意光滑函數$f(y^1,\ldots,y^m)$定義$F_*(V_x)f=V_x(f\circ F)$，局部來說，若在$T_x M$上有基$\{\frac{\p }{\p x^1},\ldots,\frac{\p}{\p x^n}\}$,則有$$F_*\left(\frac{\p }{\p x^i}\right)f=\frac{\p}{\p x^i}(f\circ F)=\frac{\p}{\p x^i}f(F_1(x),\ldots,F_m(x))=\sum_{j=1}^m\frac{\p y^j}{\p x^i}\frac{\p f}{\p y^j}.$$用矩陣的寫法即為$$\begin{bmatrix}F_*\left(\frac{\p }{\p x^1}\right)\\ \vdots \\ F_*\left(\frac{\p }{\p x^n}\right)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{\p y^1}{\p x^1} &\cdots & \frac{\p y^m}{\p x^1}\\ \vdots & & \vdots \\ \frac{\p y^1}{\p x^n}& \cdots & \frac{\p y^m}{\p x^m}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\frac{\p }{\p y^1}\\ \vdots \\ \frac{\p }{\p y^m}\end{bmatrix}$$
而用張量的表示方法則是$$dF=\frac{\p F_j(x)}{\p x^i}dx^i\otimes \frac{\p }{\p y^j}$$對於這樣的結果，很自然的可以推廣到流形的局部坐標系上。
五.李群的雙不變度量
在李群$G$上有群結構，於是存在兩個自然地映射稱為左作用與右作用如下$$L_h(k)=h\cdot k,\quad R_h(k)=k\cdot h^{-1},\quad \forall h,k\in G$$，利用這樣一個自同構映射，我們可以從李代數$\mathfrak{g}$構造出到$\chi(G)$的映射，也即左不變或右不變的向量場，令$X\in \mathfrak{g}$,那么定義左不變向量場在點$h$的取值$$X_h=(L_h)_*(X)=\frac{d}{dt}(h\cdot \exp tX)|_{t=0}$$
一個微分流形$M$上我們可以定義黎曼度量，這是指在$M$的每點$x$上切空間的正定內積$\langle\cdot,\cdot\rangle_x$,使得對於任意光滑向量場X與Y，$\langle X,Y\rangle$是在$M$上的光滑函數。而對於李群來說，我們有更有趣的度量。稱為左不變度量即其滿足$\langle X,Y\rangle_k=\langle (L_h)_*X,(L_h)_*Y\rangle$,對於任意$k,h\in G,X,Y\in T_k G$成立。而雙不變度量則是既左不變也右不變的度量。對於左不變度量，很容易看出我們有如下的刻畫
命題：$G$上左不變度量$\langle \cdot,\cdot\rangle$以及$g=T_e G$的內積存在一一對應
而對於雙不變度量也有類似結果$\newcommand{\la}{\langle\langle}$$\newcommand{\ra}{\rangle\rangle}$
命題：$G$上雙不變度量$\langle \cdot,\cdot\rangle$與$g=T_e G$的$Ad$不變內積$\la\cdot,\cdot\ra$存在一一對應
其中$Ad(A)X=AXA^{-1}$,也即$\la Ad(A)X,Ad(A)Y\ra=\la X,Y\ra$。以下我們給出一些例子，即在$SO(n)$與$SU(n)$上找出雙不變度量，也即在李代數$\mathfrak{so}(n)$以及$\mathfrak{su}(n)$上找$Ad$不變的內積。
例：在$\mathfrak{so}(n)=\{A^T=-A\}$上$Ad$不變的內積為$\la A,B\ra=-\tr(A\cdot B),\forall A,B\in \mathfrak{so}(n)$。
證明：$$\la Ad(h)A,Ad(h)B\ra = -\tr(Ad(h)A\cdot Ad(h)B)=-\tr(hABh^{-1})=-\tr(AB)=\la A,B\ra$$
例：$\mathfrak{su}(n)=\{A\in M_n(\C)|A^T=-A,\tr A=0\}$的不變度量同為$\la A,B\ra=-\tr(AB)$，特別地，對於$\mathfrak{su}(2)$而言，$$\la A,\tilde{A}\ra = \la \begin{bmatrix}i\alpha & \beta\\-\bar{\beta} & i\alpha\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i\tilde{\alpha} & \tilde{\beta}\\-\bar{\tilde{\beta}} & i\tilde{\alpha}\end{bmatrix}\ra=2(\alpha\tilde{\alpha}+\beta\bar{\tilde{\beta}}+\bar{\beta}\tilde{\beta})$$