這份建議原本發表在我的豆瓣書評上 ，后來有位朋友和我在郵件上交流了幾次，他希望我把這個建議里的英文段落翻譯一下.那我現在就翻譯一下吧，順便把這個建議修改補充一下.
給讀者的一點建議
這本書是著名華裔天才數學家陶哲軒的著作，它的雛形是陶在UCLA教榮譽實分析課程時寫的的一系列課堂講義。在我剛進大學的時候，一度對嚴格的實數構造理論十分迷惑，花了一個月參考了各種書都不得要領，直到我遇到了這本書。這本書對實數的構造理論的介紹是完美的，它在邏輯上超級注重嚴格性，而在言語上又十分親切。在初三的時候，我在中學生天地上第一次看到對陶哲軒的介紹（那時他剛獲菲爾茲獎，31歲），沒想到四年之后，我又以這樣的方式接觸了陶哲軒。從此我對陶哲軒十分膜拜，我之所以會$\LaTeX$,是因為陶哲軒在他的博客上使用$\LaTeX$,我之所以寫博客，也是因為他寫博客！
我十分仔細地解決掉了本書的前8章(實數的構造，集合論以及級數理論)，每一個定理，每一道習題。現在仍在繼續讀（解決了多元微分學，以及勒貝格積分）。
我給讀者的建議是，本書涉及的內容雖然相對初等，但是不要覺得它是一本容易的書，原因在於，它是一本高度注重基礎性和嚴格性的書。 為什么陶哲軒會寫一本如此注重嚴格性和基礎性的書呢？陶哲軒在本書的前言里已經充分地敘述了他的理由，除此之外，我覺得這很可能和陶哲軒本人對待數學的態度很有關系。陶哲軒曾經說過：
陶哲軒在數學家Gowers(Tim Gowers,英國數學家,菲爾茲獎獲得者)的博客上的留言也表明了它的這種態度，陶哲軒說：
I think that the weakest link in calculus education is the concept of a function; it is incredibly fundamental to the subject, but looks so innocuous (especially to someone with enough mathematical training to understand it) that it is easy to gloss over it in favour of what looks to be more “substantial” (and also “testable”) components of calculus, such as integration by parts or the chain rule (and also, there can be the unsupported assumption that because students would “already have seen” the concept of a function in high school algebra, there’s no need to review it thoroughly).
(In general, I think fundamentals are too often given short shrift in order to advance prematurely to applications of said fundamentals. When I teach undergraduate real analysis, for instance, I like to spend a fair amount of time on construction of number systems, before getting to the limits and the deltas and epsilons. Unfortunately, the most basic topics are often the hardest to teach correctly…
為了照顧英文不方便的讀者，我將它翻譯如下:
我覺得在微積分的教學中，最弱的一個環節是函數的概念。函數的概念對於這個學科來說，是無比的基本，但是這個概念看上去又是如此的無關緊要（特別是對於受過足夠數學訓練的人來說），以至於(在教學過程中——譯者加)我們很容易將其了草地通過，而去眷顧微積分中那些更加具有“實質性”(以及“可測驗性”)的部分，比如分部積分，或者是鏈法則。（而且，存在着這么一種沒有充分依據的看法，就是學生在高中的時候應該已經見識過函數的概念了，因此沒必要將其全面地復習）.
(一般地，我覺得基礎常常被過快地跳過，進度不成熟地進入基礎的應用部分.比如當我在教本科實分析課程的時候，在極限概念和$\delta-\epsilon$語言之前,我喜歡花相當一部分的時間構造實數體系。不幸的是，最基本的內容常常是最難教的...)
由此可見陶哲軒對數學基礎的重視程度.可見，他寫這么基本和嚴格的書不是亂來的，而是有自己的看法在內的。如果你覺得書中的一些內容太過基本就快速跳過去了，那么你就失掉了本書的很大一部分價值——你要做的，是不放過里面的每一個命題，即便是再簡單的命題，你也要去嚴格地證掉它，而不是僅僅憑借直覺，直覺雖然對理解很有助益，但是你要確信自己完全有能力把直覺轉化為嚴格的證明。
而且，我認為如果你想真正從基礎學起一步步向上搭建的話，直接翻開書的中間讀也是不好的，由於這本書是十分基礎的，里面的數學體系是極其嚴密地一步步搭建上去的，所以是有前后聯系的，一個命題的成立建立在前面命題的成立基礎之上。如果直接翻開中間讀，你很可能會不曉得怎么嚴格地證明里面的命題。當然，我並沒有說一定不能翻開中間讀，事實上，我現在（2012年4月16日）准備直接翻開第18章讀，因為再不讀18章就跟不上學校里實分析課程的進度了。
如果你像我一樣這樣做了，從第一頁讀起很認真地讀到第172頁（我真的不建議那些只為了分數而學數學的人學這本書。起碼這本書的前8章對你分數的提高無任何作用。數學的很大一部分是無法用拙劣的紙質試卷測驗的，只有極好的試題，以及面試才能檢驗那些部分），你會發現一個數學建築是如何嚴密地一磚一瓦地搭建起來的，從而體會到數學賞心悅目的結構感。
為了說明該怎么閱讀這本書，請看我與陶哲軒在博客留言區上的一段對話。
我的問題 ：
Dear professor Tao,
I want to ask for advice,I will do exactly what you advise me to do. This book let me do a lot of trival exercise ,for example,Exercise 7.1.1 ask me to prove lemma 7.1.4,but I think lemma 7.1.4 is so obvious that I do not need to write the proof down. I even think that I don’t need to think about lemma 7.1.4,because that is so obvious,if some one let me prove lemma 7.1.4, I can prove it with no doubt.But if someone do not ask me to prove that ,I will definitely not even think about such trival thing. So I want to know your attitude towards this,whether I should write my proof down……
Maybe many readers have same confusion,your advice will be appreciated.
陶哲軒的回復：
For a foundational course such as this, it is important to make sure that you can in fact supply a rigorous proof for any statement which is intuitively obvious to you; this point is also discussed at the end of http://terrytao.wordpress.com/career-advice/there%E2%80%99s-more-to-mathematics-than-rigour-and-proofs/ . In the specific case of Lemma 7.1.4 (basic facts about finite series), it is important to realise why “obvious” manipulations about finite series are true because such manipulations are not always true for infinite series (particularly if they are not absolutely convergent, or even conditionally convergent). In particular, it is important to realise that manipulation of finite series is ultimately justified through the axiom of induction (to make rigorous statements such as “use the associative law n times”), which is not directly available for the infinite series setting.
為了照顧英文不方便的讀者，我把這兩段對話翻譯一下:
我的問題:
親愛的陶教授,
我想向您請求一個建議，我將完全按照您的建議來做。這本書讓我做很多平凡的練習題，比如，練習7.1.1讓我證明引理7.1.4，但是我覺得引理7.1.4太顯然了，因此根本不必要把證明寫下來，甚至我覺得引理7.1.4根本是連想都不必去想的，因為那簡直是顯然的，如果有人來叫我證明引理7.1.4，我肯定能把它證掉，但是如果沒人來叫我證明引理7.1.4，我根本不會去想這么平凡的東西，所以我想知道您對此的態度，我到底要不要寫下我的證明。。。也許很多讀者也會有相同的疑惑，大家會感激您的建議的。
陶哲軒的回復：
對於像這樣的一個基礎課程來說，重要的是你能確信你真的能夠嚴格地證明一切對你來說顯得直觀的命題。這一點在http://terrytao.wordpress.com/career-advice/there%E2%80%99s-more-to-mathematics-than-rigour-and-proofs/ 的末尾也有提到。對於引理7.1.4(有限級數的基本事實)這個特例來說，重要的是懂得為什么對於有限級數的“顯然”的操作是對的，因為當這些操作應用到無限級數里的時候，不一定是對的（特別是當無限級數不是絕對收斂的時候，甚至當無限級數是條件收斂的時候）。特別的，重要的是意識到對有限級數的操作最終是建立在歸納公理(用來嚴格的表述諸如“使用結合律n次”)上的，而歸納公理對無限級數是不適用的。
聽君一席話，勝讀一個月的書啊。
讀掉前8章，我已經對陶教授敬佩的很了（可惜另外一個華裔菲爾茲獎獲得者丘成桐沒有寫一本這么基礎的書來讓我膜拜，丘的書太高端，如果我能在有生之年讀懂，那也算命好），除了少數印刷錯誤之外，書的嚴格性的確是天衣無縫。我佩服陶哲軒滴水不漏的嚴密思維，他顯然比會綉花的織女細心多了。陶教授對於細節的捕捉能力簡直令人驚嘆，每當他定義一個新概念的時候，如果新定義的概念與已存在的概念存在重合之處，他就會指出“定義的相容性”，這份細心和嚴格，不得不令人擊節贊嘆。
什么時候中國學者也能寫樣的書，而不是到處的垃圾作品，以及一些宣揚“注重基礎無用，否則數學100年都學不完”的書，那么我國數學也就發達了。