前言
從理解卷積神經到實現它，前后花了一個月時間，現在也還有一些地方沒有理解透徹，CNN還是有一定難度的，不是看哪個的博客和一兩篇論文就明白了，主要還是靠自己去專研，閱讀推薦列表在末尾的參考文獻。目前實現的CNN在MINIT數據集上效果還不錯，但是還有一些bug，因為最近比較忙，先把之前做的總結一下，以后再繼續優化。
卷積神經網絡CNN是Deep Learning的一個重要算法，在很多應用上表現出卓越的效果，[1]中對比多重算法在文檔字符識別的效果，結論是CNN優於其他所有的算法。CNN在手寫體識別取得最好的效果，[2]將CNN應用在基於人臉的性別識別，效果也非常不錯。前段時間我用BP神經網絡對手機拍照圖片的數字進行識別，效果還算不錯，接近98%，但在漢字識別上表現不佳，於是想試試卷積神經網絡。
1、CNN的整體網絡結構
卷積神經網絡是在BP神經網絡的改進，與BP類似，都采用了前向傳播計算輸出值，反向傳播調整權重和偏置；CNN與標准的BP最大的不同是：CNN中相鄰層之間的神經單元並不是全連接，而是部分連接，也就是某個神經單元的感知區域來自於上層的部分神經單元，而不是像BP那樣與所有的神經單元相連接。CNN的有三個重要的思想架構：
- 局部區域感知
- 權重共享
- 空間或時間上的采樣
局部區域感知能夠發現數據的一些局部特征，比如圖片上的一個角，一段弧，這些基本特征是構成動物視覺的基礎[3]；而BP中，所有的像素點是一堆混亂的點，相互之間的關系沒有被挖掘。
CNN中每一層的由多個map組成，每個map由多個神經單元組成，同一個map的所有神經單元共用一個卷積核（即權重），卷積核往往代表一個特征，比如某個卷積和代表一段弧，那么把這個卷積核在整個圖片上滾一下，卷積值較大的區域就很有可能是一段弧。注意卷積核其實就是權重，我們並不需要單獨去計算一個卷積，而是一個固定大小的權重矩陣去圖像上匹配時，這個操作與卷積類似，因此我們稱為卷積神經網絡，實際上，BP也可以看做一種特殊的卷積神經網絡，只是這個卷積核就是某層的所有權重，即感知區域是整個圖像。權重共享策略減少了需要訓練的參數，使得訓練出來的模型的泛華能力更強。
采樣的目的主要是混淆特征的具體位置，因為某個特征找出來后，它的具體位置已經不重要了，我們只需要這個特征與其他的相對位置，比如一個“8”，當我們得到了上面一個"o"時，我們不需要知道它在圖像的具體位置，只需要知道它下面又是一個“o”我們就可以知道是一個'8'了，因為圖片中"8"在圖片中偏左或者偏右都不影響我們認識它，這種混淆具體位置的策略能對變形和扭曲的圖片進行識別。
CNN的這三個特點是其對輸入數據在空間（主要針對圖像數據）上和時間（主要針對時間序列數據，參考TDNN）上的扭曲有很強的魯棒性。CNN一般采用卷積層與采樣層交替設置，即一層卷積層接一層采樣層，采樣層后接一層卷積...這樣卷積層提取出特征，再進行組合形成更抽象的特征，最后形成對圖片對象的描述特征，CNN后面還可以跟全連接層，全連接層跟BP一樣。下面是一個卷積神經網絡的示例：
圖1（圖片來源）
卷積神經網絡的基本思想是這樣，但具體實現有多重版本，我參考了matlab的Deep Learning的工具箱DeepLearnToolbox，這里實現的CNN與其他最大的差別是采樣層沒有權重和偏置，僅僅只對卷積層進行一個采樣過程，這個工具箱的測試數據集是MINIST，每張圖像是28*28大小，它實現的是下面這樣一個CNN：
圖2
2、網絡初始化
CNN的初始化主要是初始化卷積層和輸出層的卷積核（權重）和偏置，DeepLearnToolbox里面對卷積核和權重進行隨機初始化，而對偏置進行全0初始化。
3、前向傳輸計算
前向計算時，輸入層、卷積層、采樣層、輸出層的計算方式不相同。
3.1 輸入層：輸入層沒有輸入值，只有一個輸出向量，這個向量的大小就是圖片的大小，即一個28*28矩陣;
3.2 卷積層：卷積層的輸入要么來源於輸入層，要么來源於采樣層，如上圖紅色部分。卷積層的每一個map都有一個大小相同的卷積核，Toolbox里面是5*5的卷積核。下面是一個示例，為了簡單起見，卷積核大小為2*2，上一層的特征map大小為4*4，用這個卷積在圖片上滾一遍，得到一個一個(4-2+1)*（4-2+1）=3*3的特征map，卷積核每次移動一步，因此。在Toolbox的實現中，卷積層的一個map與上層的所有map都關聯，如上圖的S2和C3，即C3共有6*12個卷積核，卷積層的每一個特征map是不同的卷積核在前一層所有map上作卷積並將對應元素累加后加一個偏置，再求sigmod得到的。還有需要注意的是，卷積層的map個數是在網絡初始化指定的，而卷積層的map的大小是由卷積核和上一層輸入map的大小決定的，假設上一層的map大小是n*n、卷積核的大小是k*k，則該層的map大小是(n-k+1)*(n-k+1)，比如上圖的24*24的map大小24=（28-5+1）。 斯坦福的深度學習教程更加詳細的介紹了卷積特征提取的計算過程。 
圖3
3.3 采樣層（subsampling,Pooling）：采樣層是對上一層map的一個采樣處理，這里的采樣方式是對上一層map的相鄰小區域進行聚合統計，區域大小為scale*scale，有些實現是取小區域的最大值，而ToolBox里面的實現是采用2*2小區域的均值。注意，卷積的計算窗口是有重疊的，而采用的計算窗口沒有重疊，ToolBox里面計算采樣也是用卷積(conv2(A,K,'valid'))來實現的，卷積核是2*2，每個元素都是1/4，去掉計算得到的卷積結果中有重疊的部分，即： 
圖4
4、反向傳輸調整權重
反向傳輸過程是CNN最復雜的地方，雖然從宏觀上來看基本思想跟BP一樣，都是通過最小化殘差來調整權重和偏置，但CNN的網絡結構並不像BP那樣單一，對不同的結構處理方式不一樣，而且因為權重共享，使得計算殘差變得很困難，很多論文[1][5]和文章[4]都進行了詳細的講述，但我發現還是有一些細節沒有講明白，特別是采樣層的殘差計算，我會在這里詳細講述。
4.1輸出層的殘差
和BP一樣，CNN的輸出層的殘差與中間層的殘差計算方式不同，輸出層的殘差是輸出值與類標值得誤差值，而中間各層的殘差來源於下一層的殘差的加權和。輸出層的殘差計算如下：
這個公式不做解釋，可以查看公式來源，看斯坦福的深度學習教程的解釋。
4.2 下一層為采樣層（subsampling）的卷積層的殘差
當一個卷積層L的下一層(L+1)為采樣層，並假設我們已經計算得到了采樣層的殘差，現在計算該卷積層的殘差。從最上面的網絡結構圖我們知道，采樣層（L+1）的map大小是卷積層L的1/（scale*scale），ToolBox里面，scale取2，但這兩層的map個數是一樣的，卷積層L的某個map中的4個單元與L+1層對應map的一個單元關聯，可以對采樣層的殘差與一個scale*scale的全1矩陣進行克羅內克積進行擴充，使得采樣層的殘差的維度與上一層的輸出map的維度一致，Toolbox的代碼如下，其中d表示殘差，a表示輸出值：
net.layers{l}.d{j} = net.layers{l}.a{j} .* (1 - net.layers{l}.a{j}) .* expand(net.layers{l + 1}.d{j}, [net.layers{l + 1}.scale net.layers{l + 1}.scale 1])
擴展過程：
圖5
利用卷積計算卷積層的殘差：
圖6
4.3 下一層為卷積層（subsampling）的采樣層的殘差
當某個采樣層L的下一層是卷積層(L+1)，並假設我們已經計算出L+1層的殘差，現在計算L層的殘差。采樣層到卷積層直接的連接是有權重和偏置參數的，因此不像卷積層到采樣層那樣簡單。現再假設L層第j個map Mj與L+1層的M2j關聯，按照BP的原理，L層的殘差Dj是L+1層殘差D2j的加權和，但是這里的困難在於，我們很難理清M2j的那些單元通過哪些權重與Mj的哪些單元關聯，Toolbox里面還是采用卷積（稍作變形）巧妙的解決了這個問題，其代碼為：
convn(net.layers{l + 1}.d{j}, rot180(net.layers{l + 1}.k{i}{j}), 'full');
rot180表示對矩陣進行180度旋轉（可通過行對稱交換和列對稱交換完成），為什么這里要對卷積核進行旋轉，答案是：通過這個旋轉，'full'模式下得卷積的正好抓住了前向傳輸計算上層map單元與卷積和及當期層map的關聯關系，需要注意的是matlab的內置函數convn在計算卷積前，會對卷積核進行一次旋轉，因此我們之前的所有卷積的計算都對卷積核進行了旋轉：
a =
1 1 1
1 1 1
1 1 1
k =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
>> convn(a,k,'full')
ans =
1 3 6 5 3
5 12 21 16 9
12 27 45 33 18
11 24 39 28 15
7 15 24 17 9
convn在計算前還會對待卷積矩陣進行0擴展，如果卷積核為k*k，待卷積矩陣為n*n，需要以n*n原矩陣為中心擴展到(n+2(k-1))*(n+2(k-1))，所有上面convn(a,k,'full')的計算過程如下：
圖7
實際上convn內部是否旋轉對網絡訓練沒有影響，只要內部保持一致（即都要么旋轉，要么都不旋轉），所有我的卷積實現里面沒有對卷積核旋轉。如果在convn計算前，先對卷積核旋轉180度，然后convn內部又對其旋轉180度，相當於卷積核沒有變。
為了描述清楚對卷積核旋轉180與卷積層的殘差的卷積所關聯的權重與單元，正是前向計算所關聯的權重與單元，我們選一個稍微大一點的卷積核，即假設卷積層采用用3*3的卷積核，其上一層采樣層的輸出map的大小是5*5，那么前向傳輸由采樣層得到卷積層的過程如下：
圖8
這里我們采用自己實現的convn（即內部不會對卷積核旋轉），並假定上面的矩陣A、B下標都從1開始，那么有：
B11 = A11*K11 + A12*K12 + A13*K13 + A21*K21 + A22*K22 + A23*K23 + A31*K31 + A32*K32 + A33*K33 B12 = A12*K11 + A13*K12 + A14*K13 + A22*K21 + A23*K22 + A24*K23 + A32*K31 + A33*K32 + A34*K33 B13 = A13*K11 + A14*K12 + A15*K13 + A23*K21 + A24*K22 + A25*K23 + A33*K31 + A34*K32 + A35*K33 B21 = A21*K11 + A22*K12 + A23*K13 + A31*K21 + A32*K22 + A33*K23 + A41*K31 + A42*K32 + A43*K33 B22 = A22*K11 + A23*K12 + A24*K13 + A32*K21 + A33*K22 + A34*K23 + A42*K31 + A43*K32 + A44*K33 B23 = A23*K11 + A24*K12 + A25*K13 + A33*K21 + A34*K22 + A35*K23 + A43*K31 + A44*K32 + A45*K33 B31 = A31*K11 + A32*K12 + A33*K13 + A41*K21 + A42*K22 + A43*K23 + A51*K31 + A52*K32 + A53*K33 B32 = A32*K11 + A33*K12 + A34*K13 + A42*K21 + A43*K22 + A44*K23 + A52*K31 + A53*K32 + A54*K33 B33 = A33*K11 + A34*K12 + A35*K13 + A43*K21 + A44*K22 + A45*K23 + A53*K31 + A54*K32 + A55*K33
我們可以得到B矩陣每個單元與哪些卷積核單元和哪些A矩陣的單元之間有關聯：
A11 [K11] [B11]
A12 [K12, K11] [B12, B11]
A13 [K13, K12, K11] [B12, B13, B11]
A14 [K13, K12] [B12, B13]
A15 [K13] [B13]
A21 [K21, K11] [B21, B11]
A22 [K22, K21, K12, K11] [B12, B22, B21, B11]
A23 [K23, K22, K21, K13, K12, K11] [B23, B22, B21, B12, B13, B11]
A24 [K23, K22, K13, K12] [B23, B12, B13, B22]
A25 [K23, K13] [B23, B13]
A31 [K31, K21, K11] [B31, B21, B11]
A32 [K32, K31, K22, K21, K12, K11] [B31, B32, B22, B12, B21, B11]
A33 [K33, K32, K31, K23, K22, K21, K13, K12, K11] [B23, B22, B21, B31, B12, B13, B11, B33, B32]
A34 [K33, K32, K23, K22, K13, K12] [B23, B22, B32, B33, B12, B13]
A35 [K33, K23, K13] [B23, B13, B33]
A41 [K31, K21] [B31, B21]
A42 [K32, K31, K22, K21] [B32, B22, B21, B31]
A43 [K33, K32, K31, K23, K22, K21] [B31, B23, B22, B32, B33, B21]
A44 [K33, K32, K23, K22] [B23, B22, B32, B33]
A45 [K33, K23] [B23, B33]
A51 [K31] [B31]
A52 [K32, K31] [B31, B32]
A53 [K33, K32, K31] [B31, B32, B33]
A54 [K33, K32] [B32, B33]
A55 [K33] [B33]
然后再用matlab的convn(內部會對卷積核進行180度旋轉)進行一次convn(B,K,'full')，結合圖7，看紅色部分，除去0，A11=B'33*K'33=B11*K11，發現A11正好與K11、B11關聯對不對；我們再看一個A24=B'34*K'21+B'35*K'22+B'44*K'31+B'45*K'32=B12*K23+B13*K22+B22*K13+B23*K12，發現參與A24計算的卷積核單元與B矩陣單元，正好是前向計算時關聯的單元，所以我們可以通過旋轉卷積核后進行卷積而得到采樣層的殘差。
殘差計算出來后，剩下的就是用更新權重和偏置，這和BP是一樣的，因此不再細究，有問題歡迎交流。
5、代碼實現
詳細的代碼不再這里貼了，我依舊放在了github，歡迎參考和指正。我又是在重造車輪了，沒有使用任何第三方的庫類，這里貼一下調用代碼：
public static void runCnn() { //創建一個卷積神經網絡 LayerBuilder builder = new LayerBuilder(); builder.addLayer(Layer.buildInputLayer(new Size(28, 28))); builder.addLayer(Layer.buildConvLayer(6, new Size(5, 5))); builder.addLayer(Layer.buildSampLayer(new Size(2, 2))); builder.addLayer(Layer.buildConvLayer(12, new Size(5, 5))); builder.addLayer(Layer.buildSampLayer(new Size(2, 2))); builder.addLayer(Layer.buildOutputLayer(10)); CNN cnn = new CNN(builder, 50); //導入數據集 String fileName = "dataset/train.format"; Dataset dataset = Dataset.load(fileName, ",", 784); cnn.train(dataset, 3);// String modelName = "model/model.cnn"; cnn.saveModel(modelName); dataset.clear(); dataset = null; //預測 // CNN cnn = CNN.loadModel(modelName); Dataset testset = Dataset.load("dataset/test.format", ",", -1); cnn.predict(testset, "dataset/test.predict"); }
6、參考文獻
[1].YANN LECUN. Gradient-Based Learning Applied to Document Recognition.
[2].Shan Sung LIEW. Gender classification: A convolutional neural network approach.
[3] D. H. Hubel and T. N. Wiesel, “Receptive fields, binocular interaction teraction,and functional architecture in the cat’s visual cortex,”
[4] tornadomeet. http://www.cnblogs.com/tornadomeet/p/3468450.html.
[5] Jake Bouvrie. Notes on Convolutional Neural Networks.
[6] C++實現的詳細介紹. http://www.codeproject.com/Articles/16650/Neural-Network-for-Recognition-of-Handwritten-Digi
[7] matlab DeepLearnToolbox https://github.com/rasmusbergpalm/DeepLearnToolbox