Gradient Descent
機器學習中很多模型的參數估計都要用到優化算法，梯度下降是其中最簡單也用得最多的優化算法之一。梯度下降(Gradient Descent)[3]也被稱之為最快梯度(Steepest Descent)，可用於尋找函數的局部最小值。梯度下降的思路為，函數值在梯度反方向下降是最快的，只要沿着函數的梯度反方向移動足夠小的距離到一個新的點，那么函數值必定是非遞增的，如圖1所示。
梯度下降思想的數學表述如下： \begin{equation} b=a-\alpha \nabla F(a)\Rightarrow f(a)\geq f(b) \end{equation} 其中\(f(x)\)為存在下界的可導函數。根據該思路，如果我們從\(x_0\)為出發點，每次沿着當前函數梯度反方向移動一定距離\(\alpha_k\)，得到序列\(x_0,x_1,\cdots,x_n\)： \begin{equation} x_{k+1}=x_k-\alpha_k\nabla f(x_k), 0\leq k\leq n \end{equation} 對應的各點函數值序列之間的關系為： \begin{equation} f(x_0)\geq f(x_1)\geq f(x_2)\geq\cdots\geq f(x_n) \end{equation} 很顯然，當\(n\)達到一定值時，函數\(f(x)\)是會收斂到局部最小值的。算法1簡單描述了一般化的梯度優化方法。
在算法1中，我們需要選擇一個搜索方向\(d_k\)滿足以下關系： \begin{equation} f(x_k+\alpha d_k)<f(x_k)\; \forall\alpha\in (0,\epsilon] \end{equation} 當\(d_k=-\nabla f(x)\)時\(f(x)\)下降最快，但是只要滿足\(\nabla f(x_k)^Td_k<0\)的\(d_k\)都可以作為搜素方向。一般搜索方向表述為如下形式： \begin{equation} d_k=-B_k\nabla f(x_k) \end{equation} 其中\(B_k\)為正定矩陣。當\(B_k=I\)時對應最快梯度下降算法；當\(B_k=H(x_k)^{-1}\)時對應牛頓法，如果\(H(x_k)=\nabla^2f(x_k)\)為正定矩陣。 在迭代過程中用於更新\(x_k\)的步長\(\alpha_k\)可以是常數也可以是變化的。如果\(\alpha_k\)足夠小，收斂是可以得到保證的，但這意味這迭代次數\(n\)要很大時函數才會收斂(圖2(a))；如果\(\alpha_k\)比較大，更新后的點很可能越過局部最優解(圖2(b))。有什么方法可以幫助我們自動確定最優步長呢？下面要說的線性搜索就包含一組解決方案。
Line Search
在給定搜索方向\(d_k\)的前提下，線性搜索要解決的問題如下： \begin{equation} \alpha=arg\;\underset{\alpha\geq 0}{\min}h(\alpha)=arg\;\underset{\alpha\geq 0}{\min}f(x_k+\alpha d_k) \end{equation} 如果\(h(\alpha)\)是可微的凸函數，我們能通過解析解直接求得上式最優的步長；但非線性的優化問題需要通過迭代形式求得近似的最優步長。對於上式，局部或全局最優解對應的導數為\(h'(\alpha)=\nabla f(x_k+\alpha d_k)^Td_k=0\)。因為\(d_k\)與\(f(x_k)\)在\(x_k\)處的梯度方向夾角大於90度，因此\(h'(0)\leq 0\)，如果能找到\(\hat{\alpha}\)使得\(h'(\hat{\alpha})>0\)，那么必定存在\(\alpha^{\star}\in [0,\hat{\alpha})\)使得\(h'(\alpha^{\star})=0\)。有多種迭代算法可以求得\(\alpha^{\star}\)的近似值，下面選擇幾種典型的介紹。
Bisection Search
二分線性搜索(Bisection Line Search)[2]可用於求解函數的根，其思想很簡單，就是不斷將現有區間划分為兩半，選擇必定含有使\(h'(\alpha)=0\)的半個區間作為下次迭代的區間，直到尋得\(h'(\alpha^{\star})\approx 0\)為止，算法描述見2。 
二分線性搜素可以確保\(h(\alpha)\)是收斂的，只要\(h(\alpha)\)在區間\((0,\hat{\alpha})\)上是連續的且\(h'(0)\)和\(h(\hat{\alpha})\)異號。經歷\(n\)次迭代后，當前區間\([\alpha_l,\alpha_h]\)的長度為： \begin{equation} L=\left(\frac{1}{2}\right)^n\hat{\alpha} \end{equation} 由迭代的終止條件之一\(\alpha_h-\alpha_l\geq\epsilon\)知迭代次數的上界為： \begin{equation} L\leq \epsilon\Rightarrow k\leq\left[\log_2\left(\frac{\hat{\alpha}}{\epsilon}\right)\right] \end{equation} 下面給出二分搜索的Python代碼
1 def bisection(dfun,theta,args,d,low,high,maxiter=1e4): 2 """ 3 #Functionality:find the root of the function(fun) in the interval [low,high] 4 #@Parameters 5 #dfun:compute the graident of function f(x) 6 #theta:Parameters of the model 7 #args:other variables needed to compute the value of dfun 8 #[low,high]:the interval which contains the root 9 #maxiter:the max number of iterations 10 """ 11 eps=1e-6 12 val_low=np.sum(dfun(theta+low*d,args)*d.T) 13 val_high=np.sum(dfun(theta+high*d,args)*d.T) 14 if val_low*val_high>0: 15 raise Exception('Invalid interval!') 16 iter_num=1 17 while iter_num<maxiter: 18 mid=(low+high)/2 19 val_mid=np.sum(dfun(theta+mid*d,args)*d.T) 20 if abs(val_mid)<eps or abs(high-low)<eps: 21 return mid 22 elif val_mid*val_low>0: 23 low=mid 24 else: 25 high=mid 26 iter_num+=1
Backtracking
回溯線性搜索(Backing Line Search)[1]基於Armijo准則計算搜素方向上的最大步長，其基本思想是沿着搜索方向移動一個較大的步長估計值，然后以迭代形式不斷縮減步長，直到該步長使得函數值\(f(x_k+\alpha d_k)\)相對與當前函數值\(f(x_k)\)的減小程度大於期望值(滿足Armijo准則)為止。Armijo准則(見圖3)的數學描述如下： \begin{equation} f(x_k+\alpha d_k)\leq f(x_k)+c_1\alpha f'(x_k)^Td_k \end{equation} 其中\(f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}\)，\(c_1\in(0,1)\)，\(\alpha\)為步長，\(d_k\in\mathbb{R}^n\)為滿足\(f'(x_k)^Td_k<0\)的搜索方向。
但是僅憑Armijo准則不足以求得較好的步長，根據前面的梯度下降的知識可知，只要\(\alpha\)足夠小就能滿足Armijo准則。因此常用的策略就是從較大的步長開始，然后以\(\tau\in(0,1)\)的速度縮短步長，直到滿足Armijo准則為止，這樣選出來的步長不至於太小，對應的算法描述見3。前面介紹的二分線性搜索的目標是求得滿足\(h'(\alpha)\approx 0\)的最優步長近似值，而回溯線性搜索放松了對步長的約束，只要步長能使函數值有足夠大的變化即可。前者可以少計算幾次搜索方向，但在計算最優步長上花費了不少代價；后者退而求其次，找到一個差不多的步長即可，那么代價就是要多計算幾次搜索方向。
接下來，我們要證明回溯線性搜索在Armijo准則下的收斂性問題[6]。因為\(h'(0)=f'(x_k)^Td_k<0\)，且\(0<c_1<1\)，則有 \begin{equation} h'(0)<c_1h'(0)<0 \end{equation} 根據導數的基本定義，結合上式，有如下關系： \begin{equation} h'(0)=\lim_{\alpha\rightarrow 0}\frac{h(\alpha)-h(0)}{\alpha}=\lim_{\alpha\rightarrow 0}\frac{f(x_k+\alpha d_k)-f(x_k)}{\alpha}<ch'(0) \end{equation} 因此，存在一個步長\(\hat{\alpha}>0\)，對任意的\(\alpha\in(0,\hat{\alpha})\),下式均成立 \begin{equation} \frac{f(x_k+\alpha d_k)-f(x_k)}{\alpha}<cf'(x_k)^Td_k \end{equation} 即\(\forall \alpha\in(0,\hat{\alpha}),f(x_k+\alpha d_k)<f(x_k)+c\alpha f'(x_k)^Td_k\)。 下面給出基於Armijo准則的線性搜索Python代碼：
1 def ArmijoBacktrack(fun,dfun,theta,args,d,stepsize=1,tau=0.5,c1=1e-3): 2 """ 3 #Functionality:find an acceptable stepsize via backtrack under Armijo rule 4 #@Parameters 5 #fun:compute the value of objective function 6 #dfun:compute the gradient of objective function 7 #theta:a vector of parameters of the model 8 #stepsize:initial step size 9 #c1:sufficient decrease Parameters 10 #tau:rate of shrink of stepsize 11 """ 12 slope=np.sum(dfun(theta,args)*d.T) 13 obj_old=costFunction(theta,args) 14 theta_new=theta+stepsize*d 15 obj_new=costFunction(theta_new,args) 16 while obj_new>obj_old+c1*stepsize*slope: 17 stepsize*=tau 18 theta_new=theta+stepsize*d 19 obj_new=costFunction(theta_new,args) 20 return stepsize
Interpolation
基於Armijo准則的回溯線性搜索的收斂速度無法得到保證，特別是要回退很多次后才能落入滿足Armijo准則的區間。如果我們根據已有的函數值和導數信息，采用多項式插值法(Interpolation)[12,6,5,9]擬合函數，然后根據該多項式函數估計函數的極值點，這樣選擇合適步長的效率會高很多。 假設我們只有\(x_k\)處的函數值\(f(x_k)\)及其倒數\(f'(x_k)\)，且第一次嘗試的步長為\(\alpha_0\)。如果\(\alpha_0\)不滿足條件，那么我們根據這些信息可以構造一個二次近似函數\(h_q(\alpha)\) \begin{equation} h_q(\alpha)=\left(\frac{h(\alpha_0)-h(0)-\alpha_0h'(0)}{\alpha_0^2}\right)\alpha^2+h'(0)\alpha+h(0) \end{equation} 注意，該二次函數滿足\(h_q(0)=h(0)\)，\(h_q'(0)=h'(0)\)和\(h_q(\alpha_0)=h(\alpha_0)\)，如圖4(a)所示。接下來，根據\(h_q(\alpha)\)的最小值估計下一個步長： \begin{equation} \alpha_1=\frac{h'(0)\alpha_0^2}{2[h(0)+h'(0)\alpha_0-h(\alpha_0)]} \end{equation} 如果\(\alpha_1\)仍然不滿足條件，我們可以繼續重復上述過程，直到得到的步長滿足條件為止。假設我們在整個線性搜索過程中都用二次插值函數，那么最好有\(c_1\in(0,0.5]\)，為什么呢？簡單證明一下：如果\(\alpha_0\)不滿足Armijo准則，那么必定存在比\(\alpha_0\)小的步長滿足該准則，所以利用二次插值函數估算的步長\(\alpha_1<\alpha_0\)才合理。結合\(\alpha_0\)不滿足Armijo准則和\(\alpha_1<\alpha_0\)，可知\(c_1\leq 0.5\)。 如果我們已經嘗試了多個步長，卻每次只用上一次步長的相關信息構造二次函數，未免是對計算資源的浪費，其實我們可以利用多個步長的信息構造信息量更大更准確的插值函數的。在計算導數的代價大於計算函數值的代價時，應盡量避免計算\(h'(\alpha)\)，下面給出一個三次插值函數\(h_c(\alpha)\)，如圖4(b)所示 \begin{equation} h_c(\alpha)=a\alpha^3+b\alpha^2+h'(0)\alpha+h(0) \end{equation} 其中 \begin{equation} \left[\begin{array}{c} a\\ b \end{array}\right] =\frac{1}{\alpha_{i-1}^2\alpha_i^2(\alpha_i-\alpha_{i-1})} \left[\begin{array}{cc} \alpha_{i-1}^2 & -\alpha_i^2\\ -\alpha_{i-1}^3 & \alpha_i^3 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} h(\alpha_i)-h(0)-h'(0)\alpha_i\\ h(\alpha_{i-1})-h(0)-h'(0)\alpha_{i-1} \end{array}\right] \end{equation} 對\(h_c(\alpha)\)求導，可得極值點\(\alpha_{i+1}\in[0,\alpha_i]\)的形式如下： \begin{equation} \alpha_{i+1}=\frac{-b+\sqrt{b^2-3ah'(0)}}{3a} \end{equation} 利用以上的三次插值函數求解下一個步長的過程不斷重復，直到步長滿足條件為止。如果出現\(a=0\)的情況，三次插值函數退化為二次插值函數，在實現該算法時需要注意這點。在此過程中，如果\(\alpha_i\)太小或\(\alpha_{i-1}\)與\(\alpha_i\)太接近，需要重置\(\alpha_i=\alpha_{i-1}/2\)，該保護措施(safeguards)保證下一次的步長不至於太小[6,5]。為什么會有這個作用呢？1）因為\(\alpha_{i+1}\in[0,\alpha_i]\)，所以當\(\alpha_i\)很小時\(\alpha_{i+1}\)也很小；2）當\(\alpha_{i-1}\)與\(\alpha_i\)太靠近時有\(a\approx b\approx\infty\)，根據\(\alpha_{i+1}\)的表達式可知\(\alpha_{i+1}\approx 0\)。 但是，在很多情況下，計算函數值后只需付出較小的代價就能順帶計算出導數值或其近似值，這使得我們可以用更精確的三次Hermite多項式[6]進行插值，如圖4(c)所示 \begin{equation} \begin{array}{rl} H_3(\alpha)=&\left[1+2\frac{\alpha_i-\alpha}{\alpha_i-\alpha_{i-1}}\right]\left[\frac{\alpha-\alpha_{i-1}}{\alpha_i-\alpha_{i-1}}\right]^2h(\alpha_{i})\\ &+\left[1+2\frac{\alpha-\alpha_{i-1}}{\alpha_i-\alpha_{i-1}}\right]\left[\frac{\alpha_{i+1}-\alpha}{\alpha_i-\alpha_{i-1}}\right]^2h(\alpha_{i-1})\\ &+(\alpha-\alpha_i)\left[\frac{\alpha-\alpha_{i-1}}{\alpha_i-\alpha_{i-1}}\right]^2h'(\alpha_i)\\ &+(\alpha-\alpha_{i-1})\left[\frac{\alpha_i-\alpha}{\alpha_i-\alpha_{i-1}}\right]^2h'(\alpha_{i-1}) \end{array} \end{equation} 其中，三次Hermite多項式滿足\(H_3(\alpha_{i-1})=h(\alpha_{i-1})\)，\(H_3(\alpha_{i})=h(\alpha_{i})\)，\(H_3'(\alpha_{i-1})=h'(\alpha_{i-1})\)和\(H_3'(\alpha_{i})=h'(\alpha_{i})\)。\(H(\alpha)\)的最小值只可能在兩側的端點或者極值點處，令\(H_3'(\alpha)=0\)可得下一個步長： \begin{equation} \alpha_{i+1}=\alpha_i-(\alpha_i-\alpha_{i-1})\left[\frac{h'(\alpha_i)+d_2-d_1}{h'(\alpha_i)-h'(\alpha_{i-1})+2d_2}\right] \end{equation} 其中 \begin{equation} d_1=h'(\alpha_i)+h'(\alpha_{i-1})-3\left[\frac{h(\alpha_i)-h(\alpha_{i-1})}{\alpha_i-\alpha_{i-1}}\right] \end{equation} \begin{equation} d_2=sign(\alpha_i-\alpha_{i-1})\sqrt{d_1^2-h'(\alpha_{i-1})h'(\alpha_i)} \end{equation}
下面給出二次插值及三次插值的Python代碼：
1 def quadraticInterpolation(a,h,h0,g0): 2 """ 3 #Functionality:Approximate h(a) with a quadratic function and return its stationary point 4 #@Parameters 5 #a:current stepsize 6 #h:a function value about stepsize,h(a)=f(x_k+a*d) 7 #h:h(0)=f(x_k) 8 #g0:h'(0)=f'(0) 9 """ 10 numerator=g0*a**2 11 denominator=2*(g0*a+h0-h) 12 if abs(denominator)<1e-12:#indicates that a is almost 0 13 return a 14 return numerator/denominator
def cubicInterpolation(a0,h0,a1,h1,h,g): """ #Functionality:Approximate h(x) with a cubic function and return its stationary point #This version of cubic interpolation computes h'(x) as few as possible,suitable for the case in which computing derivative is more expensive than computing function values #@Parameters #a0 and a1 are stepsize it previous two iterations #h0:h(a0) #h1:h(a1) #h:h(0)=f(x) #g:h'(0) """ mat=matlib.matrix([[a0**2,-a1**2],[-a0**3,a1**3]]) vec=matlib.matrix([[h1-h-g*a1],[h0-h-g*a0]]) ab=mat*vec/(a0**2*a1**2*(a1-a0)) a=ab[0,0] b=ab[1,0] if abs(a)<1e-12:#a=0 and cubic function is a quadratic one return -g/(2*b) return (-b+np.sqrt(b**2-3*a*g))/(3*a)
def cubicInterpolationHermite(a0,h0,g0,a1,h1,g1): """ #Functionality:Approximate h(a) with a cubic Hermite polynomial function and return its stationary point #This version of cubic interpolation computes h(a) as few as possible,suitable for the case in which computing derivative is easier than computing function values #@Parameters #a0 and a1 are stepsize it previous two iterations #h0:h(a0) #g0:h'(a0) #h1:h(a1) #g1:h'(a1) """ d1=g0+g1-3*(h1-h0)/(a1-a0) d2=np.sign(a1-a0)*np.sqrt(d1**2-g0*g1) res=a1-(a1-a0)*(g1+d2-d2)/(g1-g0+2*d2) return res
基於Armijo准則的線性搜索的算法描述如下[4] 
對應的Armijo線性搜索的Python代碼如下：
1 def ArmijoLineSearch(fun,dfun,theta,args,d,a0=1,c1=1e-3,a_min=1e-7,max_iter=1e5): 2 """ 3 #Functionality:Line search under Armijo condition with quadratic and cubic interpolation 4 #@Parameters 5 #fun:objective Function 6 #dfun:compute the gradient of fun 7 #theta:a vector of parameters of the model 8 #args:other variables needed for fun and func 9 #d:search direction 10 #a0:initial stepsize 11 #c1:constant used in Armijo condition 12 #a_min:minimun of stepsize 13 #max_iter:maximum of the number of iterations 14 """ 15 eps=1e-6 16 c1=min(c1,0.5)#c1 should<=0.5 17 a_pre=h_pre=g_pre=0 18 a_cur=a0 19 f_val=fun(theta,args) #h(0)=f(0) 20 g_val=np.sum(dfun(theta,args)*d.T) #h'(0)=f'(x)^Td 21 h_cur=g_cur=0 22 k=0 23 while a_cur>a_min and k<max_iter: 24 h_cur=fun(theta+a_cur*d,args) 25 g_cur=np.sum(dfun(theta+a_cur*d,args)*d.T) 26 if h_cur<=f_val+c1*a_cur*g_val: #meet Armijo condition 27 return a_cur 28 if not k: #k=0,use quadratic interpolation 29 a_new=quadraticInterpolation(a_cur,h_cur,f_val,g_val) 30 else: #k>0,use cubic Hermite interpolation 31 a_new=cubicInterpolationHermite(a_pre,h_pre,g_pre,a_cur,h_cur,g_cur) 32 if abs(a_new-a_cur)<eps or abs(a_new)<eps: #safeguard procedure 33 a_new=a_cur/2 34 a_pre=a_cur 35 a_cur=a_new 36 h_pre=h_cur 37 g_pre=g_cur 38 k+=1 39 return a_min #failed search
Wolfe Search
前面說到單憑Armijo准則(不考慮回溯策略)選出的步長可能太小，為了排除這些微小的步長，我們加上曲率的約束條件(如圖5所示) \begin{equation} h'(\alpha)=f'(x_k+\alpha d_k)^Td_k\geq c_2f'(x_k)^Td_k \end{equation}其中\(c_2\in(c_1,1)\)，\(c_1\)為Armijo准則中的常量。
當\(h'(\alpha)\)為很小的負數甚至為正數時，說明從\(x_k\)沿着\(d_k\)移動\(\alpha\)后的函數梯度方向與搜索方向的夾角接近90度，繼續向前移動已經不能很明顯減小函數值了，此時可以停止沿着\(d_k\)繼續搜索；反之，說明繼續減小函數值的空間還是很大的，可以繼續向前搜索。Armijo准則與曲率約束兩者合起來稱為Wolfe准則[5]： \begin{equation} \left\lbrace \begin{array}{rl} f(x_k+\alpha d_k)&\leq f(x_k)+c_1\alpha f'(x_k)^Td_k\\ f'(x_k+\alpha d_k)^Td_k&\geq c_2f'(x_k)^Td_k \end{array} \right. \end{equation} 其中\(0<c_1<c_2<1\)。如圖6所示，滿足Wolfe准則的步長也許離\(h(\alpha)\)的極值點較遠。我們可以修改曲率約束條件使得步長落到\(h(\alpha)\)的極值點的一個較寬的領域中，強Wolfe准則對步長\(\alpha\)的約束如下： \begin{equation} \left\lbrace \begin{array}{rl} f(x_k+\alpha d_k)&\leq f(x_k)+c_1\alpha f'(x_k)^Td_k\\ |f'(x_k+\alpha d_k)^Td_k|&\geq c_2|f'(x_k)^Td_k| \end{array} \right. \end{equation} 強Wolfe准則不允許\(h'(\alpha)\)為太大的正數，可以排除遠離極值點的區間。
那么到底是否存在滿足強Wolfe准則的步長呢？假設\(h(\alpha)=f(x_k+\alpha d_k)\)連續可微，在整個\(\alpha>0\)的定義域上存在下界。因為\(0<c_1<1\)，所以\(l(\alpha)=f(x_k)+\alpha c_1f'(x_k)^Td_k\)必然與\(h(\alpha)\)至少有一個交點。假設\(\alpha'\)為最小的交點對應的步長，則有 \begin{equation} f(x_k+\alpha'd_k)=f(x_k)+\alpha'c_1f'(x_k)^Td_k \end{equation} 那么對於滿足\(\alpha\in(0,\alpha')\)的步長必然都滿足Armijo准則。根據零值定理，存在\(\alpha''\in(0,\alpha')\)滿足 \begin{equation} f(x_k+\alpha'd_k)-f(x_k)=\alpha'f'(x_k+\alpha''d_k)^Td_k \end{equation} 結合上面兩個關系式，由\(0<c_1<c_2\)和\(f'(x_k)^Td_k<0\)，可得 \begin{equation} f'(x_k+\alpha''d_k)^Td_k=c_1f'(x_k)^Td_k>c_2f'(x_k)^Td_k \end{equation} 由此可知，\(\alpha''\)滿足強Wolfe准則。如果\(h(\alpha)\)是一個較為平滑的函數，那么包含\(\alpha''\)的較小領域都會滿足強Wolfe准則。 如果在線性搜索過程中利用強Wolfe准則，可以更精確得找到更靠近極值點的步長，在目前線性搜索中用得很多。基於強Wolfe准則的線性搜索包含兩個階段：第一個階段從初始步長開始，不斷增大步長，直到找到一個滿足強Wolfe准則的步長或包含該步長的區間為止；第二個階段是在已知包含滿足強Wolfe准則步長區間的基礎上，不斷縮減區間，直到找到滿足強Wolfe准則的步長為止。基於強Wolfe准則的線性搜索算法描述如下5
在算法5中，\(\alpha_{new}\)的更新是因為在區間\((\alpha_{pre},\alpha_{cur})\)內沒有滿足Wolfe准則的步長，所以要選取一個大於\(\alpha_{cur}\)的步長\(\alpha_{new}\)。在算法中，我們是用二次插值函數計算\(\alpha_{new}\)的，所以要求\(0<c_1<0.5\)。當然，也可以用其他方法，比如讓\(\alpha_{cur}\)乘以一個大於1的常數，只要能較快找到一個包含滿足Wolfe的區間即可。所以，該算法每次嘗試的步長\(\alpha_{cur}\)的逐漸遞增的；一旦找到了包含滿足Wolfe准則的步長的區間，立即調用\(zoom\)函數不斷縮短區間，並返回滿足Wolfe的步長。根據算法邏輯，我們可以推斷出\(\alpha_{pre}\)滿足Armijo准則，但違背曲率約束，而且導數為負數。由上述三個條件，可知\(\alpha_{pre}\)必定位於滿足Wolfe准則的區間的左側的呈下降趨勢的曲線上，只要\(\alpha_{cur}\)位於該區間的右側即可。那么怎樣判斷區間\((\alpha_{pre},\alpha_{cur})\)是否包含滿足Wolfe准則的步長呢？下面給出三種\(\alpha_{cur}\)位於該區間的右側的充分條件：
- \(\alpha_{cur}\)不滿足Armijo准則；
- \(h(\alpha_{cur})\geq h(\alpha_{pre})\);
- \(h'(\alpha_{cur})\geq 0\)
這一點結合圖7就很容易理解了，我在圖中分別用紅色和綠色點標注了\(\alpha_{pre}\)和\(\alpha_{cur}\)可能的位置，藍色帶數字的圓圈注明了\(\alpha_{cur}\)滿足哪些條件。 
基於Wolfe准則的線性搜索Python代碼如下：
1 def WolfeLineSearch(fun,dfun,theta,args,d,a0=1,c1=1e-4,c2=0.9,a_min=1e-7,max_iter=1e5): 2 """ 3 #Functionality:find a stepsize meeting Wolfe condition 4 #@Parameters 5 #fun:objective Function 6 #dfun:compute the gradient of fun 7 #theta:a vector of parameters of the model 8 #args:other variables needed for fun and func 9 #d:search direction 10 #a0:intial stepsize 11 #c1:constant used in Armijo condition 12 #c2:constant used in curvature condition 13 #a_min:minimun of stepsize 14 #max_iter:maximum of the number of iterations 15 """ 16 eps=1e-16 17 c1=min(c1,0.5) 18 a_pre=0 19 a_cur=a0 20 f_val=fun(theta,args) #h(0)=f(x) 21 g_val=np.sum(dfun(theta,args)*d.T) 22 h_pre=f_val #h'(0)=f'(x)^Td 23 k=0 24 while k<max_iter and abs(a_cur-a_pre)>=eps: 25 h_cur=fun(theta+a_cur*d,args) #f(x+ad) 26 if h_cur>f_val+c1*a_cur*g_val or h_cur>=h_pre and k>0: 27 return zoom(fun,dfun,theta,args,d,a_pre,a_cur,c1,c2) 28 g_cur=np.sum(dfun(theta+a_cur*d,args)*d.T) 29 if abs(g_cur)<=-c2*g_val:#satisfy Wolfe condition 30 return a_cur 31 if g_cur>=0: 32 return zoom(fun,dfun,theta,args,d,a_pre,a_cur,c1,c2) 33 a_new=quadraticInterpolation(a_cur,h_cur,f_val,g_val) 34 a_pre=a_cur 35 a_cur=a_new 36 h_pre=h_cur 37 k+=1 38 return a_min
zoom函數的算法描述見6。zoom函數中需要傳入搜尋區間\([\alpha_{low},\alpha_{high}]\),其中\(\alpha_{low}<\alpha_{high}\)。本文中的zoom函數與文獻[5]中的內容略有差異，但是本文的zoom函數思路更簡單和清晰。由算法5中分析得到的調用zoom函數的條件，知道\(\alpha_{low}\)必須滿足Armijo准則，且位於所有滿足Wolfe准則的步長的左側。我們先取\([\alpha_{low},\alpha_{high}]\)區間的中值作為下一個測試的步長\(\alpha_{new}\)，如果恰好滿足Wolfe准則，則直接返回。如果\(\alpha_{new}\)違反Armijo准則或大於\(h(\alpha_{low})\)，顯然區間\([\alpha_{low},\alpha_{new}]\)包含滿足Wolfe准則的步長，因此用\(\alpha_{new}\)替換\(\alpha_{high}\)以縮短區間長度；否則，\(\alpha_{new}\)必然也滿足Armijo准則，如果\(h'(\alpha_{new})>0\)，則\(\alpha_{new}\)與\(\alpha_{high}\)都在滿足Wolfe准則的區間右側，用\(\alpha_{new}\)替代\(\alpha_{high}\)，反之則用\(\alpha_{new}\)替代\(\alpha_{low}\)。上述的迭代過程不斷縮短步長，知道求得滿足Wolfe准則的步長為止。如果在有限迭代次數內搜索失敗，則返回必然滿足Armijo准則的步長\(\alpha_{low}\)。
zoom函數對應的Python代碼如下：
1 def zoom(fun,dfun,theta,args,d,a_low,a_high,c1=1e-3,c2=0.9,max_iter=1e4): 2 """ 3 #Functionality:enlarge the interval to find a stepsize meeting Wolfe condition 4 #@Parameters 5 #fun:objective Function 6 #dfun:compute the gradient of fun 7 #theta:a vector of parameters of the model 8 #args:other variables needed for fun and func 9 #d:search direction 10 #[a_low,a_high]:interval containing a stepsize satisfying Wolfe condition 11 #c1:constant used in Armijo condition 12 #c2:constant used in curvature condition 13 #max_iter:maximum of the number of iterations 14 """ 15 if a_low>a_high: 16 print('low:%f,high:%f'%(a_low,a_high)) 17 raise Exception('Invalid interval of stepsize in zoom procedure') 18 eps=1e-16 19 h=fun(theta,args) #h(0)=f(x) 20 g=np.sum(dfun(theta,args)*d.T) #h'(0)=f'(x)^Td 21 k=0 22 h_low=fun(theta+a_low*d,args) 23 h_high=fun(theta+a_high*d,args) 24 if h_low>h+c1*a_low*g: 25 raise Exception('Left endpoint violates Armijo condition in zoom procedure') 26 while k<max_iter and abs(a_high-a_low)>=eps: 27 a_new=(a_low+a_high)/2 28 h_new=fun(theta+a_new*d,args) 29 if h_new>h+c1*a_new*g or h_new>h_low: 30 a_high=a_new 31 h_high=h_new 32 else: 33 g_new=np.sum(dfun(theta+a_new*d,args)*d.T) 34 if abs(g_new)<=-c2*g: #satisfy Wolfe condition 35 return a_new 36 if g_new*(a_high-a_low)>=0: 37 a_high=a_new 38 h_high=h_new 39 else: 40 a_low=a_new 41 h_low=h_new 42 k+=1 43 return a_low #a_low definitely satisfy Armijo condition
Newton's Method
牛頓法(Newton's method)[8]以迭代方式求解函數的根，其基本思想是從一個初始點出發，不斷在當前點\(x_k\)處用切線近似函數\(f(x)\)，並求得該切線與\(x\)軸的交點作為下一次的迭代初始點\(x_{k+1}\)，直到找到\(f(x)=0\)的近似解為止。Newton法可用於二次可微函數\(f(x)\)的最優化問題。 在\(x_k\)處用二階泰勒展開來對\(f(x_k)\)其進行逼近。 \begin{equation} f(x_{k}+\triangle x)\approx f(x_k)+f'(x_k)\triangle x+\frac{1}{2}{\triangle x}^TB_k\triangle x \end{equation} 現在，我們的目標是在\(x^{k}\)附近求得使\(f(x)\)取得極小值的\(\triangle x\)。將上式對\(\triangle x\)求導可得函數\(f'(x)\)在\(x_{k+1}=x_k+\triangle x\)處的線性近似如下： \begin{equation} f'(x_{k+1})=f'(x_k)+B_k(x_{k+1}-x_k) \end{equation} 其中\(B_k=\nabla^2f(x_k)\)為\(f(x)\)在\(x_k\)處對應的Hessian矩陣。由於函數的極值點一般都對應\(f'(x)=0\)，令\(f'(x_{k+1})=0\)並化簡可得迭代公式為： \begin{equation} x_{k+1}=x_k-B_k^{-1}f'(x_k) \end{equation} 牛頓迭代法收斂速度很快，對於二次函數可以一次性找到最優解。但用於求解優化問題時，需要付出很大的代價求得函數的一階導數、二階導數及其逆矩陣。此外，有的函數還存在不可導、Hessian矩陣不可逆、迭代點之間存在循環(即\(x_{k+t}=x_k\))等情形，這些都成為了牛頓法的應用障礙。牛頓迭代法用於求解極值點\(f'(x)=0\)的步驟見算法7。當然，也可用牛頓法求最優步長，只需將算法7中的函數\(f(x)\)替換為關於步長的函數\(h(\alpha)\)即可。
Quasi-Newton Method
擬牛頓(Quasi-Newton)[11]算法可用於求解函數的局部最優解，也就是那些導數為0的駐點。牛頓法用於解決優化問題時，事先假設原函數可用二次函數近似，然后用一階和二階導數尋找局部最優解。而在擬牛頓算法中，不需要准確計算Hessian矩陣，取而代之的是運用下面的擬牛頓條件分析連續兩個梯度向量得到的近似值矩陣\(B_k\)： \begin{equation} f'(x_{k+1})-f'(x_k)\approx B_{k+1}(x_{k+1}-x_k) \end{equation} 擬牛頓算法的算法流程見8，其基本思想是利用矩陣\(B_k\)計算牛頓方向的近似值\(d_k\)。各種擬牛頓算法的主要差異在於近似Hessian矩陣的更新策略，表1列出了部分主流的擬牛頓算法的迭代更新規則，其中\(s_k=x_{k+1}-x_k=-\alpha_kB_k^{-1}f'(x_k)\),\(y_k=f'(x_{k+1})-f'(x_k)\)。 
擬牛頓算法中最常用的是BFGS，其針對有限內存的機器的算法變種L-BFGS[4]在機器學習領域又備受青睞。BFGS需要存儲\(n\times n\)的矩陣\(H_k\)用於近似Hessian矩陣的逆矩陣；而L-BFGS僅需要存儲過去\(m\)(\(m\)一般小於10)對\(n\)維的更新數據\((x,f'(x_i))\)即可。L-BFGS的空間復雜度為線性，特別適用於變量非常多的優化問題。BFGS的算法描述很容易寫出來，如下：
1 def BFGS(fun,dfun,theta,args,H=None,mode=0,eps=1e-12,max_iter=1e4): 2 """ 3 #Functionality:find the minimum of objective function f(x) 4 #@Parameters 5 #fun:objective function f(x) 6 #dfun:compute the gradient of f(x) 7 #args:parameters needed by fun and dfun 8 #theta:start vector of parameters of the model 9 #H:initial inverse Hessian approximation 10 #mode:index of line search algorithm 11 """ 12 x_pre=x_cur=theta 13 g=dfun(x_cur,args) 14 I=matlib.eye(theta.size) 15 if not H:#initialize H as an identity matrix 16 H=I 17 k=0 18 while k<max_iter and np.sum(np.abs(g))>eps: 19 d=-g*H 20 step=LineSearch(fun,dfun,x_pre,args,d,1,mode) 21 x_cur=x_pre+step*d 22 s=step*d 23 y=dfun(x_cur,args)-dfun(x_pre,args) 24 ys=np.sum(y*s.T) 25 if abs(ys)<eps: 26 return x_cur 27 change=(ys+np.sum(y*H*y.T))*(s.T*s)/(ys**2)-(H*y.T*s+s.T*y*H)/ys 28 H+=change 29 g=dfun(x_cur,args) 30 x_pre=x_cur 31 k+=1 32 return x_cur
下面我們分析如何構造下L-BFGS的算法[10,13]。假設我們現在處於優化過程的第\(k(k\geq m)\)次迭代，參數為\(x_k\)，梯度\(g_k=f'(x_k)\)，已經保存的\(m\)條更新數據為\(s_k=x_{k+1}-x_k\)及\(y_k=g_{k+1}-g_k\)。我們最終需要計算的是搜索方向\(d_k=-H_kg_k\)，於是令\(V_k=(I-\rho_ky_ks_k^T)\)，\(\rho_k=1/(y_k^Ts_k)\)，將表1中BFGS的\(H_{k}\)的更新規則展開，我們可以得到下式： \begin{equation} \begin{array}{rl} &H_{k}g_k\\ =&V_{k-1}^TH_{k-1}V_{k-1}g_k+s_{k-1}\rho_{k-1}s_{k-1}^Tg_k\\ =&V_{k-1}^TV_{k-2}^TH_{k-2}V_{k-2}V_{k-1}g_k+V_{k-1}^Ts_{k-2}\rho_{k-2}s_{k-2}^TV_{k-1}g_k+s_{k-1}\rho_{k-1}s_{k-1}^Tg_k\\ =&(V_{k-1}^TV_{k-2}^T\cdots V_{k-m}^T)H_{k-m}(V_{k-m}\cdots V_{k-2}V_{k-1})g_k\\ &+(V_{k-1}^TV_{k-2}^T\cdots V_{k-m+1}^T)s_{k-m}\rho_{k-m}s_{k-m}^T(V_{k-m+1}\cdots V_{k-1}V_k)g_k\\ &+(V_{k-1}^TV_{k-2}^T\cdots V_{k-m+2}^T)s_{k-m+1}\rho_{k-m+1}s_{k-m+1}^T(V_{k-m+2}\cdots V_{k-2}V_{k-1})g_k\\ &+ \cdots\\ &+V_{k-1}^Ts_{k-2}\rho_{k-2}s_{k-2}^TV_{k-1}g_k\\ &+ s_{k-1}\rho_{k-1}s_{k-1}^Tg_k \end{array} \end{equation} 上式非常有規律，這就為迭代求解奠定了很好的基礎。我們令\(q_0=g_k\),則當\(1\leq i\leq m\)時有 \begin{equation} q_i=(V_{k-i}\cdots V_{k-2}V_{k-1})g_k \end{equation} \begin{equation} a_i=\rho_{k-i}s_{k-i}^Tq_{i-1} \end{equation} 那么可以得到如下的迭代規則： \begin{equation} \begin{array}{rl} q_i&=V_{k-i+1}q_{i-1}\\ &=q_{i-1}-\rho_{k-i+1}y_{k-i+1}s_{k-i+1}^Tq_{i-1}\\ &=q_{i-1}-a_{i-1}y_{k-i+1} \end{array} \end{equation} 到目前為止，我們已經可以求解出\(H_{k}g_k\)所有項的右半部分，那左半部分如何處理？在這里采用不斷提前最左端的公因式的方法完成迭代過程： \begin{equation} H_{k}g_k=P_1=V_{k-1}^TP_{2}+s_{k-1}a_1 \end{equation} \begin{equation} P_{2}=V_{k-2}^TP_{3}+s_{k-2}a_2 \end{equation} 重復該過程，很快就可以發現規律： \begin{equation} \begin{array}{rl} P_{i}&=V_{k-i}^TP_{i+1}+s_{k-i}a_i\\ &=P_{i+1}+s_{k-i}(a_i-\rho_{k-i}y_{k-i}^TP_{i+1}) \end{array} \end{equation} 其中\(P_{m+1}=H_{k-m}q_m\)。 根據上述分析，我們可以得到L-BFGS的求解搜索方向的算法9。根據算法9的整個流程，可知通過兩個循環\(m\)次的迭代運算即可出計算當前的搜索方向，需要存儲歷史數據\(\{s_{k-i},y_{k-i}|i=1,\cdots,m\}\)和臨時數據\(\{a_{k-i}|i=1,\cdots,m\}\)，所以算法的時間和空間復雜度均為\(O(mn)\)。如果目前處於迭代的初期，已有的歷史數據少於\(m\)，那么就用這些已有的數據，在后續迭代過程中不斷新增歷史數據即可；若干當前的迭代次數不小於\(m\)，那么在每次計算出搜索方向后，即可用\(s_k\)和\(y_k\)替換\(s_{k-m}\)和\(y_{k-m}\)組成新的\(m\)對歷史更新數據。
在算法9中，需要給出矩陣\(H_{k-m}\)。在第一次迭代時，\(H_{k-m}\)被初始化為單位陣，在隨后的迭代過程中\(H_{k-m}=\gamma_kI\)，其中 \begin{equation} \gamma_k=\frac{y_{k-1}^Ts_{k-1}}{y_{k-1}^Ty_{k-1}} \end{equation} 另外，在內存受限的系統中存儲\(n\times n\)不是很現實的想法。用上述的方法，我們僅需存儲一個標量\(\gamma_k\)即可，這是一個簡單卻又高效的做法[13]。 最后，附上L-BFGS的Python版本代碼：
1 def LBFGS(fun,dfun,theta,args,mode=0,eps=1e-12,max_iter=1e4): 2 """ 3 #Functionality:find the minimum of objective function f(x) with LBFGS 4 #@Parameters 5 #fun:objective function f(x) 6 #dfun:compute the gradient of f(x) 7 #args:parameters needed by fun and dfun 8 #theta:start vector of parameters of the model 9 #H:initial inverse Hessian approximation 10 #mode:index of line search algorithm 11 """ 12 x_pre=x_cur=theta 13 s_arr=[] 14 y_arr=[] 15 Hscale=1 16 k=0 17 while k<max_iter: 18 g=dfun(x_cur,args) 19 d=LBFGSSearchDirection(y_arr,s_arr,Hscale,-g) 20 step=LineSearch(fun,dfun,x_pre,args,d,1,mode) 21 s=step*d 22 x_cur=x_pre+s 23 y=dfun(x_cur,args)-dfun(x_pre,args) 24 ys=np.sum(y*s.T) 25 if np.sum(np.abs(s))<eps: 26 return x_cur 27 x_pre=x_cur 28 k+=1 29 y_arr,s_arr,Hscale=LBFGSUpdate(y,s,y_arr,s_arr) 30 return x_cur 31 32 33 def LBFGSSearchDirection(y_arr,s_arr,Hscale,g): 34 """ 35 #Functionality:estimate search direction using with LBFGS 36 #@Parameters 37 #y_arr:m*dim matrix,where y_arr[i,:]=f'(x_{i+1})-f'(x_i) 38 #s_arr:m*dim matrix,where s_arr[i,:]=x_{k+1}-x_k 39 #Hscale:a scale to initilize the inverse of Hessian matrix 40 #g:a row vector representing -f'(x_{k}) 41 """ 42 histNum=len(s_arr)#number of update data stored 43 if not histNum: 44 return g 45 dim=s_arr[0].size 46 a_arr=[0 for i in range(histNum)] 47 rho=[0 for i in range(histNum)] 48 q=g 49 for i in range(1,histNum+1): 50 s=s_arr[histNum-i] 51 y=y_arr[histNum-i] 52 rho[histNum-i]=1/np.sum(s*y.T) 53 a_arr[i-1]=rho[histNum-i]*np.sum(s*q.T) 54 q-=(a_arr[i-1]*y) 55 P=Hscale*q 56 for i in range(histNum,0,-1): 57 y=y_arr[histNum-i] 58 s=s_arr[histNum-i] 59 beta=rho[histNum-i]*np.sum(y*P.T) 60 P+=s*(a_arr[i-1]-beta) 61 return P 62 63 64 def LBFGSUpdate(y,s,oldy,olds,m=1e2): 65 """ 66 #Functionality:refresh the historical update data 67 #@Parameters 68 #y:f'(x_{k+1})-f'(x_k) 69 #s:x_{k+1}-x_k 70 #oldy:[y0,y1,...],which is a list 71 #olds:[s0,s1,...],which is a list 72 #m:number of historical data to store(default:100) 73 """ 74 eps=1e-12 75 Hscale=np.sum(y*s.T/y*y.T) #a scale to initialize H_{k-m} 76 if Hscale<eps:#skip update 77 return oldy,olds,Hscale 78 79 cur_m=len(oldy) 80 if cur_m>=m: 81 oldy.pop(0) 82 olds.pop(0) 83 oldy.append(copy.deepcopy(y)) 84 olds.append(copy.deepcopy(s)) 85 return oldy,olds,Hscale
References
[1] Backtracking line search. http://en.wikipedia.org/wiki/Backtracking_line_search.
[2] Bisection method. http://en.wikipedia.org/wiki/Bisection_method.
[3] Gradient descent. http://en.wikipedia.org/wiki/Gradient_descent.
[4] Limited-memory bfgs. http://en.wikipedia.org/wiki/Limited-memory_BFGS.
[5] Line search methods. http://pages.cs.wisc.edu/~ferris/cs730/chap3.pdf.
[6] Line search methods:step length selection. http://terminus.sdsu.edu/SDSU/Math693a_f2013/Lectures/06/lecture.pdf.
[7] Math 408a line search methods. https://www.math.washington.edu/~burke/crs/408/lectures/L7-line-search.pdf.
[8] Newton’s method. http://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_method.
[9] Nonlinear programming algorithms. http://www.math.bme.hu/~bog/GlobOpt/Chapter5.pdf.
[10] Oerview of quasi-newton optimization methods. https://homes.cs.washington.edu/~galen/files/quasi-newton-notes.pdf.
[11] Quasi-newton method. http://en.wikipedia.org/wiki/Quasi-Newton_method.
[12] Unconstrained minimization. http://www.ing.unitn.it/~bertolaz/2-teaching/2011-2012/AA-2011-2012-OPTIM/lezioni/slides-mND.pdf.
[13] Dong C Liu and Jorge Nocedal. On the limited memory bfgs method for large scale optimization. Mathematical programming, 45(1-3):503–528,1989.