本章思路：
根據之前的總結，如果M很大，那么無論假設泛化能力差的概率多小，都無法忽略，所以問題轉化為證明M不大，然后上章將其轉化為證明成長函數：mh(N)為多項式級別。直接證明似乎很困難，本章繼續利用轉化的思想，首先想想和mh(N)相關的因素可能有哪些？不難想到目前來看只有兩個：
- 假設的抽樣數據集大小N；
- break point k（這個變量確定了假設的類型）；
那么，由此可以得到一個函數B，給定N和k可以確定該系列假設能夠得到的最大的mh(N)，那么新的目標便是證明B(N,k) <= Poly(N)。這便是本章的主要目標。
上圖展示了不同N和k如何影響最終的growth function，表達了本章的重點是證明growth function是Poly的。
接着，問題可以進一步簡化，上面我們知道growth function由N及H決定，而H又可以轉為k，一個k決定了一類H，這樣的抽象推導出了一個很重要的函數，這個函數的y是growth function，X則分別為N和k。
典型的例子是positive intervals和1D perceptrons的k都為3，它們的growth function即時一致的，換句話說，這個函數將H的本質通過k表達了出來。
原目標就繼續轉化為證明B(N,k)為poly。
證明的過程很巧妙，以B(4,3)為例子：
步驟1：找出B(4,3)和B(3,x)的關系，則可以得到一個遞推式
B(4,3)已知為11，dichotomy如下：
也就是說再加一種dichotomy，任意三點都能被shattered。11是極限。
對這11種dichotomy分組，目前分成兩組，分別是orange和purple，orange的特點是，x1,x2和x3是一致的，x4不同並成對，例如1和5，2和8等，purple則是單一的，x1,x2,x3都不同。
這是第一步化簡，將Orange去掉x4后去重得到4個不同的vector並成為alpha，相應的purple為beta，那么B(4,3) = 2*alpha + beta，這個是直接轉化。緊接着，由定義，B(4,3)是不能允許任意三點shatter的，所以由alpha和beta構成的所有B(4,3)的所有三點組合也不能shatter（alpha經過去重），即alpha + beta <= B(3,3)
最關鍵的來了，首先給出結論，alpha的vector不能在任意兩點被shatter，為啥？反證法，假設可以，那么由於alpha對x4是成對出現的，所以把apha加上x4就能構成三個點的shatter，這個地方非常巧妙這也道出了之前這樣分組的精髓，所以alpha <= B(3,2)。
由此得出B(4,3)和B(3,x)的關系。
步驟二：推導出一般式
有了前面一步的基礎，后面的就很直接了。
展開可以，接着得出：
那么得出的結論就是：
上面明顯是poly的，由此得出來我們夢寐已久的結果。
光有這個還不行，我們要帶到下面的關鍵不等式中才能最終得出，選取最小Ein 假設是可以的忽略錯誤的，只要有breaking point存在於假設。
這里的證明我大致看了一下，對整體理解不是很大幫助，准備以后上完大部分課程后再看看。
總結：
本章的結論很明顯，即時假設看起來是無窮的，只要存在breaking point，那么growth function便是多項式級別，假設的數量是限定的，我們只要保證Ein足夠小，那么N大以及breaking point存在可以保證該假設具有較好的泛化性。