原文 Top Ten Greatest Equations Ever
本文內容
- No.1 麥克斯韋方程組
- No.2 歐拉方程
- No.3 牛頓第二定律
- No.4 畢達哥拉斯定理
- No.5 薛定諤方程
- No.6 波爾茲曼方程
- No.7 最小作用量原理
- No.8 德布羅意方程組
- No.9 傅立葉變換
- No.10 愛因斯坦場廣義相對論方程
- 參考資料
2004 年 10 月，羅伯特在英國科學期刊《物理世界》讓讀者投票評選“最偉大的公式”，羅伯特工作在紐約州立大學石溪分校哲學系，而且是一個歷史學家在布魯克海文國家實驗室，共有 120 個人進行了回應，提出了 50 種不同的方程，他還要求他們解釋為什么。
不得不感嘆，那些偉人耗盡一生，最終寫下一個等號；更不得不感嘆，在這些公式中的確看見了美，看見了上帝……
No.1 麥克斯韋方程組
麥克斯韋方程組（Maxwell's four equations），描述了電磁場在空間和時間上如何變化。
麥克斯韋方程組，是英國物理學家詹姆斯·麥克斯韋在 19 世紀建立的一組描述電場、磁場與電荷密度、電流密度之間關系的偏微分方程。它由四個方程組成，從該方程組，可以推論出光波是電磁波。麥克斯韋方程組和洛倫茲力方程是經典電磁學的基礎方程，並發展出現代的電力科技與電子科技。麥克斯韋 1865 年提出的最初形式由 20 個等式和 20 個變量組成，於 1873 年嘗試用四元數來表達，但未成功。
微觀麥克斯韋方程組，以總電荷和總電流為源頭的表述：
宏觀麥克斯韋方程組，以自由電荷和自由電流為源頭的表述：
表 1 麥克斯韋方程組物理意義和單位
No.2 歐拉方程
歐拉方程（Euler's equation），描述了流體動力學中動量流和力密度之間的關系。
歐拉恆等式，如下所示：
其中，e 是自然指數的底，i 是虛數單位，π 是圓周率。
上式是復分析（復分析是研究復函數，特別是亞純函數和復解析函數的數學理論）歐拉公式的特殊情況。這個公式的巧妙之處在於，它沒有任何多余的內容，將數學中最基本的 e、i、π 放在同一個式子中，同時，加入了數學也是哲學中最重要的 0 和 1，再以簡單的加號相連。該恆等式第一次出現於 1748 年萊昂哈德·歐拉在洛桑出版的書《Introductio》。理查德·費曼稱該恆等式為“數學最奇妙的公式”。高斯曾經說：“一個人第一次看到這個公式而不感到它的魅力，他不可能成為數學家。”
歐拉是歷史上最多產的數學家，各個領域（包含數學的所有分支及力學、光學、音響學、水利、天文、化學、醫葯等）最多著作的學者。數學史上稱十八世紀為“歐拉時代”。歐拉生於瑞士，31 歲喪失了右眼視力，59 歲雙眼失明，但他性格樂觀，有驚人的記憶力及集中力。他一生謙遜，很少用自己的名字給他發現的東西命名，除了一個——e。
關於 e，有個笑話，一家精神病院，有個病患整天對着別人說，“我微分你、我微分你。”這些病患都有一點簡單的微積分概念，總以為有一天自己會像一般多項式函數般，被微分到變成零而消失，因此對他避之不及，然而某天他卻遇上了一個不為所動的人，他很意外，而這個人淡淡地對他說，“我是e的x次方。”
歐拉公式是在復分析領域的公式，將三角函數與復數指數函數相關聯。歐拉恆等式是歐拉公式的特殊情況，對任意實數 x，都存在
從 e0 = 1 開始，以相對速度 i，走 π 長時間，加 1，則到達原點。
No.3 牛頓第二定律
牛頓第二定律（Newton Second Law），描述了物體加速度的大小跟物體受到的作用力成正比，跟物體的質量成反比，加速度的方向跟合外力的方向相同。
有史以來最偉大的、無處其二的科學巨作《自然哲學的數學原理》，被認為是經典物理學中最偉大的定律。動力的所有基本方程都可由它通過微積分推導出來。
No.4 畢達哥拉斯定理
畢達哥拉斯定理（Pythagoras Theorum），或勾股定理，描述了在任何直角三角形，其斜邊的平方等於兩個直角邊的平方和。
No.5 薛定諤方程
薛定諤方程（Schrödinger's equation），描述了量子力學系統的時間依賴性，是量子力學的基礎方程之一，它以發表者奧地利物理學家埃爾溫·薛定諤而命名。由於對量子力學的傑出貢獻，薛定諤獲得 1933 年諾貝爾物理獎，官方評價：“薛定諤方程是世界原子物理學文獻中應用最廣泛、影響最大的公式。”
“薛定諤方程”可以指廣義形式的薛定諤方程，也可指具體形式的薛定諤方程。廣義形式的薛定諤方程名如其實，可以應用於廣泛量子力學領域，表達從狄拉克方程到量子場論的各種方程，只要將哈密頓算符的各種復雜表達式代入就行了。通常，具體形式的薛定諤方程所描述的系統是實際系統的簡化近似模型，這是為了要避開不必要的復雜數學運算。對於大多數案例，所得到的結果相當准確；但是對於相對論性案例，結果則並不令人滿意。
No.6 波爾茲曼方程
波爾茲曼方程（Boltzmann equation），描述了一個流體中粒子的統計分布，粒子位置和動量概率分布在相空間中的密度分布雲圖隨時間和空間的變化。
No.7 最小作用量原理
最小作用量原理（least action principle），或更精確地，平穩作用量原理（stationary action principle），在現代物理學里，這原理非常重要，在相對論、量子力學、量子場論里，都有廣泛的用途。在現代數學里，這原理是莫爾斯理論的研究焦點。
No.8 德布羅意方程組
德布羅意方程組（De Broglie equation），可見波長和動量成反比；頻率和動能成正比之關系。
這個東西也挺牛，高中物理學到光學的話很多概念跟它是遠親。簡要地說，德布羅意覺得電子不僅是一個粒子，也是一種波，它還有 “波長”。於是就搞出了這個物質波方程，表達了波長、能量等之間的關系。德布羅意獲得了 1929 年諾貝爾物理學獎。
No.9 傅立葉變換
傅立葉變換（Fourier Transformation），描述了 將滿足一定條件的某個函數表示成三角函數（正弦和/或余弦函數）或者它們的積分的線性組合。
傅里葉變換在物理學、電子類學科、數論、組合數學、信號處理、概率論、統計學、密碼學、聲學、光學、海洋學、結構動力學等領域都有着廣泛的應用（例如在信號處理中，傅里葉變換的典型用途是將信號分解成幅值譜——顯示與頻率對應的幅值大小）。
No.10 愛因斯坦場廣義相對論方程
愛因斯坦場方程廣義相對論（General Relativity），是一種關於引力的理論，物質之間的引力來自於時空的彎曲。愛因斯坦在 1907 年到 1915 年完成。
在廣義相對論出現之前的200多年間，牛頓萬有引力定律被廣泛接受，它成功地解釋了物質之間的引力作用。在牛頓定律中，引力來自大質量物質之間的相互吸引。雖然牛頓也不知道這種力的本質，但它在描述運動時卻非常成功。
但是，實驗和觀測都顯示，愛因斯坦對引力的描述能夠解釋多個由牛頓定律無法解釋的現象，比如水星和其他行星軌道的反常進動。廣義相對論還預言了一些關於引力的顯著效應，如引力波和引力透鏡，還有引力場引發的時間膨脹。很多預言都已經被實驗所證實，還有一些正在探索中。廣義相對論已經成為現代天體物理學的重要工具，它提供了現在理解黑洞的基礎。其強大的引力也使一些天體（如活動星系核和X射線雙星）發射出強烈的輻射。廣義相對論也是宇宙學的標准大爆炸模型的理論框架中的一部分。
然而，到現在仍然有大量的問題沒有解決，其最根本的是廣義相對論如何和量子力學結合而產生一個完整一致的量子引力理論。
另外，早在 1998 年，David Wells 在《The mathematical Intelligencer》(Vol.10 No.4 1988, P.30-31) 針對數學界發出了有 24 個選項的問卷——“最美麗的數學定理（Which is the most beautiful?）”，最后他收回了 76 份完整問卷，去掉無效的，由 68 份評分統計結果。並在之后的文章“Are these the most beautiful?”(Vol.12, No 3, 1990, P. 37-41)，公布了結果。
參考資料
- Top Ten Greatest Equations Ever
- 麥克斯韋方程
- David Wells (1988), Which is the most beautiful?, Mathematical Intelligencer, Vol.10 No.4 pp.30-31
- David Wells (1990), Are these the most beautiful?, Mathematical Intelligencer, Vol.12, No 3, pp. 37-41
- Wiki_歐拉恆等式
- Wiki_素數
- 傅里葉變換