閑聊叉積在計算幾何中一些作用

定義

兩個向量的叉積寫作a×b，可以定義為

a×b=absinθn

其中θ表示a和b之間的角度（0°≤θ≤180°）。它位於這兩個矢量所定義的平面上。而n是一個與a、b所在平面均垂直的單位矢量。矢量叉積是計算幾何算法的核心部分，具有重要的幾何意義。

一、計算多邊形面積

設多邊形有n個頂點V₀(X_0, Y₀), V₁(X_1, Y₁)... V_n-1(X_n-1, Y_n-1)，從原點O(0,0)與每條邊做三角形，計算的面積和就是多邊形面積。三角形面積可以用叉積計算，比如OV₀V₁面積為：

S₀=0.5*OV₀×OV₁=0.5*(X₀Y₁-X₁Y₀)

於是多邊形面積總和為：

S= 0.5*(X₀Y₁-X₁Y₀ + X₁Y₂-X₂Y₁ +… + X_n-1Y₀-X₀Y_n-1)

  = 0.5*( X₀Y₁-X₁Y₀+X₀Y₀-X₁Y₁ + X₁Y₂-X₂Y₁+X₁Y₁-X₂Y₂ +… X_n-1Y₀-X₀Y_n-1+X_n-1Y_n-1-X₀Y₀)

  = 0.5*（Y_i+Y_i+1）(X_i-X_i+1)  i=0...n-1

二、判斷兩線段是否相交

判斷線段是否相交一般分兩步進行:

1. 快速排斥

設有線段P₁P₂和Q₁Q₂，以線段 P₁P₂ 為對角線的矩形為R， 以線段 Q₁Q₂ 為對角線的矩形為T，如果R和T不相交，顯然兩線段不會相交，否則進入第二步。

2. 跨立實驗

如果兩線段相交，那么兩線段必然相互跨立對方。即

P_1, P₂分別在Q₁Q₂兩邊 :

(P₁-Q₁)×(Q₂-Q₁)*(P₂-Q₁)×(Q₂-Q₁)<=0

Q_1, Q₂分別在P₁P₂兩邊：

(Q₁-P₁)×(P₂-P₁)*(Q₂-P₁)×(P₂-P₁) <=0

上面跨立實驗需要4次叉積和兩次乘法運算，可以這樣改進：

如下圖，Q₁Q₂在P₁P₂左邊，

此時(Q₁-Q₂)×(P₂-P₁)與(P₁-Q₁)×(Q₁-Q₂)異號，

當Q₁Q₂向右移動后，如圖所示，

(Q₁-Q₂)×(P₂-P₁)與(P₁-Q₁)×(Q₁-Q₂)同號，而且(P₁-Q₁)×(Q₁-Q₂)/(Q₁-Q₂)×(P₂-P₁)，剛好等於|P₁O|/|P₁P₂|，由此關系還可以計算交點的位置。

Q₁Q₂繼續右移，如圖所示：

交點超出P₂，(P₁-Q₁)×(Q₁-Q₂)/(Q₁-Q₂)×(P₂-P₁)>1

因此，若P_{1 ,} P₂跨立在Q₁Q₂，則有

(P₁-Q₁)×(Q₁-Q₂)/(Q₁-Q₂)×(P₂-P₁)在[0, 1]范圍內。

同理，若Q_1, Q₂跨立P₁P₂，則有

(P₂-P₁)×(P₁-Q₁)/(Q₁-Q₂)×(P₂-P₁)在[0, 1]范圍內。

這樣只需要3次叉積運算就能算出線段是否相交，而且還可以順便得到相交點的位置！

 

參考：

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%89%E7%A7%AF

http://dev.gameres.com/Program/Abstract/Geometry.htm