這一節涉及數學超級多，各種數論知識，各種不明覺厲！ 看了幾遍，才勉強看懂一些，所以這
篇稍微簡單的介紹着兩種hash table, 免得瞎說說錯了。
這一講的主要知識點是：1. 全域哈希及構造 2. 完美哈希
1. 全域哈希及構造
介紹全域哈希之前，要先討論一下普通哈希的一個缺點。 舉個charles舉得那個例子：如果你
和一個競爭對手同時為一家公司做compiler的symbol table, 公司要求你們代碼共享
(o(╯□╰)o)，你們做好后公司評判的標准就是 你倆互相提供一些測試樣例，誰的效率高就買誰的。
然后，普通哈希的缺點就出來了：對任意的hash函數h,總存在一組keys，使得
, 對某個槽i。即我總可以找到一組鍵值，讓他們都映射到同一個槽里面，這樣效率
就跟離鏈表差不多了
解決的思想就是：獨立於鍵值，隨機的選擇hash 函數。這就跟快排中為避免最差情況時隨機化
版本差不多。但是選取hash function的全局域是不能亂定的，否則也打不到理想的性能。
下面就給出全域哈希的定義：
設U是key的全局域， 設\(\mathcal{H}\) 是哈希函數的有限集合，每一個都是將U映射到
{0,1,..,m-1},即table的槽內。 如果對所有不等的\(x,y\in U\),有
換句話說，就是對於任意的不相等key的x和y, 從哈希函數集中選擇一個哈希函數，這兩個key
發生沖突的概率是1/m
更形象的，當我隨機選一個哈希函數時，就像在上圖區域亂扔一個飛鏢，落在下面紅色區域中
就會發生沖突，這個概率是1/m
下面給一個定理，說明為什么全域函數就是好的：
設h是從哈希函數全域集\(\mathcal{H}\)中隨機選出的函數h. h被用作把任意n個鍵映射到表T的m個
槽中，對給定鍵值x,我們有：
定理：E[#collision with x]<n/m
Proof: 設\(C_x\)是表示與key x沖突的鍵值數量的隨機變量，設\(c_{xy}\)是指示變量，即
則，\(E[c_{xy}]=1/m\) 且\(C_x=\sum_{y\in T-\{x\}}c_{xy}\)，則
證畢！
這個定理想要說明的是，這種全域哈希的隨機化選擇可以達到哈希表理想的效果。注意這里
n/m是之前定義過的load factor
現在給出一種構造全域哈希的方法：
首先選擇一個足夠大的質數p,使得所有的鍵值都在0-p-1之間。且設\(Z_p\)表示{0,1,...,p-1},設
\(Z_p^*\)表示{1,2,..,p-1}. 因為槽m的數量少於key的數量，所有m<p.
然后我們就可以設計哈希函數了，設任意的\(a\in Z_P^*,b\in Z_p\),然后
\(h_a,b(k)=((ak+b)mod p)mod m\)
所有這樣的哈希函數族為:
\(\mathcal{H}_{p.m}=\{h_{a,b}:a\in Z_p^*, b\in Z_p\}\)
例如：選定p=17，m=6,\(h_{3,4}(8)=5\). 每個哈希函數都是將\(Z_p\)映射到\(Z_m\). 我們還
可以看到這個哈希函數族共有p(p-1)個哈希函數
針對這種構造方法構造出的是全域哈希函數的證明就略過了，涉及數學知識確實比較多，講不好。
2. 完美哈希
當鍵值是static(即固定不變)的時候，我們可以涉及方案使得最差情況下的查詢性能也很出色，這就是
完美哈希。實際上，很多地方都會用到靜態關鍵字集合。比如一種語言的保留字集合，一張CD-ROM
里的文件名集合。 而完美哈希可以在最壞情況下以O(1)復雜度查找，性能非常出色的。
完美哈希的思想就是采用兩級的框架，每一級上都用全域哈希
完美哈希的結構如上圖。具體來說，第一級和帶鏈表的哈希非常的相似，只是第一級發生沖突后后面接
的不是鏈表，而是一個新的哈希表。后面那個哈希結構，我們可以看到前端存儲了一些哈希表的基本
性質：m 哈希表槽數；a,b 全域哈希函數要確定的兩個值(一般是隨機選然后確定下來的)，后面跟着
哈希表。
為了保證不沖突，每個二級哈希表的數量是第一級映射到這個槽中元素個數的平方，這樣可以保證整個
哈希表非常的稀疏。下面給出一個定理，能更清楚的看到設置m=n^2的作用
定理：設\(\mathcal{H}\)是一類全域哈希函數，哈希表的槽數m=n^2. 那么，如果我們用一個隨機
函數\(h\in\mathcal{H}\)把n個keys映射到表中。沖突次數的期望最多是1/2.
Proof:根據全域哈希的定義，對任意選出的哈希函數h，表中2個給定keys沖突的概率是1/m,即1/n^2
且總共有\(C_n^2\)可能的鍵值對，那么沖突次數的期望就是
\(C_n^2\cdot 1/n^2=n(n-1)/2\cdot 1\n^2 < 1/2\) 證畢！
為了沖突的理解從期望轉換到概率，引入下面這個推論
推論： 完美哈希沒有沖突的概率至少是1/2
Proof: 這里主要要用到一個不等式Markov's inequality-對任意非負隨機變量X，我們有
Pr{X≥t}≤E[x]/t
利用這個不等式，讓t=1,即可得到沖突次數大於1的概率最多為1/2
因為第二層每個表槽的個數是這個表中元素n^2，可能會感覺到這樣存儲空間會很大，實際上，可以證
明\(E[\sum_{i=0}^{m-1}\Theta(n_i^2)]=\Theta(n)\), 因為證起來蠻復雜，所以我也略過了%>_<%
最后，向各位大牛們提個問題，看到了請一定要教我！ 怎么在博客園里面更美觀的插入大量數學公式
(最好是用latex語法)，支持分多行對齊等結構，現在不會，證明公式都沒辦法寫，寫出來也難看。跪謝！