一、問題
這是一道歷史悠久,又很困難的邏輯推理題,有的公司還會將其作為面試題。有人將其稱為“鬼谷子問題”,但筆者至今沒有找到任何可靠來源。先給出問題。
你在旁觀主持人和甲、乙兩個天才數學家玩猜數字游戲。主持人准備了兩個數,告知甲乙:這兩個數不同,且大於等於1,小於等於30。然后主持人將兩數之積告訴甲,把兩數之和告訴乙。甲知道乙拿到兩數之和,乙也知道甲拿到兩數之積。主持人讓甲乙猜這兩個數字,讓甲先發言。
甲:“我不知道這兩個數是什么”
乙:“我也不知道”
甲:“那我知道了”
乙:“那我也知道了”
請問你,這兩個數是什么?
另一種等價表述(即所謂的鬼谷子問題):
一天,鬼谷子隨意從2-99中選取了兩個數。他把這兩個數的和告訴了龐涓,把這兩個數的乘積告訴了孫臏。但孫臏和龐涓彼此不知到對方得到的數。第二天,龐涓很有自信的對孫臏說:雖然我不知到這兩個數是什麽,但我知道你一定也不知道。隨后,孫臏說:那我知道了。龐涓說:那我也知道了。
網上有不少對這道題的討論和答案,但幾乎都沒有准確的推理過程,有些甚至是錯誤的。本文用盡量清晰的語言給出詳細的推理過程,然后給出了計算機建模和程序實現,以及進一步的發散思考。但建議在參閱下面的答案前,先自行認真思考。
二、分析與推理
1. 約定
由於推斷的邏輯很復雜,所以必須用約定的語言來描述。本文所用的推斷名稱格式如下:
“1甲n”表示若甲拿到的兩數之積為n,第1次發言時做的推斷。
“1乙m”表示若乙拿到的兩數之和為m,根據甲的第1次發言,乙做出的推斷。
“2甲n”表示若甲拿到的兩數之積為n,根據乙的第1次發言,甲做出的推斷。
“2乙m”表示若乙拿到的兩數之和為m,根據甲的第2次發言,乙做出的推斷。
前提是甲乙都是天才數學家,因此一定會先假設兩個數,然后將自己做為對方進行推斷。如果可以推斷出,則一定不會失誤。
推斷的書寫格式為:
推斷名:可能拆分1,結論1;可能拆分2,結論2;……
推斷名為紅色表示可知推斷,即可推斷出確切的兩個數;綠色表示未知推斷,即有多種可能。
2. 推理過程
甲說:“我不知道”
下面列出甲拿到的積為2到12的全部情況。(A)若兩數之積只有一種拆分的情況下甲會做出已知推斷,與甲這次未知的事實不符;(B)若至少有兩種可能,則甲做出未知推斷,符合甲這次未知的事實。
1甲2:1*2,可知1和2。(A)
1甲3:1*3,可知1和3。(A)
1甲4:1*4,可知1和4。(A)
1甲5:1*5,可知1和5。(A)
1甲6:1*6,2*3。(B)
1甲7:1*7,可知1和7。(A)
1甲8:1*8,2*4。(B)
1甲9:1*9,可知1和9。(A)
1甲10:1*10,2*5。(B)
1甲11:1*11,可知1和11。(A)
1甲12:1*12,2*6,3*4。(B)
以下略,易證得兩數之積為素數或素數的平方時為已知推斷,否則為未知推斷。
乙說:“我也不知道”
1. 對於乙,若兩數之和只有一種拆分可能,則乙會做出已知推斷,與乙第一次未知的事實不符。
2. 若至少有兩種拆分可能,則乙可在假設某一種拆分的情況下,算得兩數之積,然后假設自己為甲做出推斷,並得到相應的結論:(A)若在假設的某一種拆分的情況下甲會做出已知推斷,則該情況與甲第一次未知的事實矛盾;(B)若有且只有一種拆分的情況下甲會做出未知推斷,則乙可做出已知推斷(就是這種拆分),與乙這次未知的事實矛盾;(C)若有至少兩種拆分的情況下甲都會做出未知推斷,則乙做出未知推斷,符合乙這次未知的事實。
1乙3:1+2,可知1和2。(A)
1乙4:1+3,可知1和3。(A)
1乙5:1+4,則1甲4;2+3,則1甲6。(B)
1乙6:1+5,則1甲5;2+4,則1甲8。(B)
1乙7:1+6,則1甲6;2+5,則1甲10;3+4,則1甲12。(C)
1乙8:1+7,則1甲7;2+6,則1甲12;3+5,則1甲15。(C)
1乙9:1+8,則1甲8;2+7,則1甲14;3+6,則1甲18。(C)
1乙10:1+9,則1甲9;2+8,則1甲16;3+7,則1甲21;4+6,則1甲24。(C)
以下略,可算得皆為未知推斷。
甲說:“那我知道了”
對於甲,在排除第一次的已知推斷后,在剩下的推斷中兩數之積必有兩個或以上的拆分可能。那么甲可在假設某一種拆分的情況下,算得兩數之和,然后假設自己為乙做出推斷,並得到相應的結論:(A)若至少有兩種拆分的情況下乙都會做出未知推斷,則甲只能做出未知推斷,與甲這次已知的事實矛盾;(B)若有一種拆分的情況下乙會做出未知推斷,符合乙第一次未知的事實,則甲可做出已知推斷,符合甲這次已知的事實。
2甲6:1*6,則1乙7;2*3,則1乙5。(B)
2甲8:1*8,則1乙9;2*4,則1乙6。(B)
2甲10:1*10,則1乙11;2*5,則1乙7。(A)
2甲12:1*12,則1乙12; 2*6,則1乙8;3*4,則1乙7。(A)
以下略,可算得皆為未知推斷。
乙說:“那我也知道了”
對於乙,在排除上次的已知推斷后,在剩下的推斷中兩數之和必有兩個或以上的拆分可能。那么乙可在假設某一種拆分的情況下,算得兩數之積,然后假設自己為甲做出推斷,並得到相應的結論:(A)若假設的所有拆分情況下甲都會在第二次做出未知推斷,則該情況與甲第二次已知的事實矛盾;(B)若有一種拆分的情況下甲會在第二次做出已知推斷,符合甲第二次已知的事實,則乙可做出已知推斷,符合乙這次已知的事實。
2乙7:1+6,則2甲6;2+5,則2甲10;3+4,則2甲12。(B)
2乙8:1+7,則2甲7;2+6,則2甲12;3+5,則2甲15。(A)
2乙9:1+8,則2甲8;2+7,則2甲15;3+6,則2甲18;4+5,則2甲20。(B)
2乙10:1+9,則2甲9;2+8,則2甲16;3+7,則2甲21;4+6,則2甲24。(A)
藍色標注的情況早在第一次推斷就被排除,不予考慮。以下略,可算得皆為未知推斷。
3. 結論
當兩數為1和6時或1和8時,甲乙各自的兩次推斷結論均滿足題目所描述的事實。
三、計算機建模與實現
1. 模型
下面將用計算機程序來對這一問題進行建模,並在最后給出C++代碼的實現。先給出一些定義(不要怕,仔細看看會發現其實都很簡單)。
- “拆分”是由兩個取值范圍內不同的兩個數構成二元組;
- 給定取值范圍的所有拆分構成“全集”;
- 經過推導排除掉全集中的一些拆分后的集合后形成“可能解集”;
- “拆分之積”是指拆分的兩數乘積;
- “拆分之和”是指拆分的兩數加和;
- 可能解集中,所有拆分之積等於同一數值的所有拆分構成的子集稱為“兄弟積拆分”;
- 可能解集中,所有拆分之和等於同一數值的所有拆分構成的子集稱為“兄弟和拆分”。
例如:取值范圍給定為[1,4],那么所有拆分構成的全集為:{<1 2>, <1 3>, <1 4>, <2 3>, <2 4>, <3 4>}。拆分<1 4>的拆分之和為1+4=5,拆分<2 3>的拆分之積為2*3=6。上述全集中的一個兄弟和拆分為:{<1 4>, <2 3>},這是因為1+4=2+3=5。
分析前文的推導過程可知,當一種拆分在一次推導中被排除后,這種拆分的所有兄弟拆分也一同被排除。此外,由於取值范圍設定的不同,拆分的數量是很難找到規律的,結果也很難通過推導直接算出。因此我們需要用計算機來模擬推導過程,不斷排除不可能的解,最后剩下的可能解集就是所有解。
根據上面的理論,可將甲乙的推導過程建模如下。甲的第一次推導中排除的是只包含一種拆分的“兄弟積拆分”(如1甲4和1甲5)。乙的第一次推導是在甲的第一次推導中已經排除掉一些拆分(如1甲4和1甲5)后的基礎上進行的,因此乙同樣排除掉了只包含一種拆分的“兄弟和拆分”(如1乙6,注意,1乙6的拆分1+5之前已被1甲5排除)。甲的第二次推導仍是在之前排除掉一些拆分(如1乙6)后的基礎上進行的,而這一次甲會排除掉包含多於一種拆分的“兄弟積拆分”(如2甲10和2甲12)。乙的第二次推導和甲的第二次推導類似,也會排除掉包含多一種拆分的“兄弟和拆分”。
進一步建模,可得到程序過程如下。
- 構造全集Q;
- 刪除Q中所有成員數小於或等於1的兄弟積拆分;
- 刪除Q中所有成員數小於或等於1的兄弟和拆分;
- 刪除Q中所有成員數不等於1的兄弟積拆分;
- 刪除Q中所有成員數不等於1的兄弟和拆分;
- 輸出Q中所剩的解。
2. 數據結構與算法
為實現上述模型,需要以下幾種基本操作:構造全集、求兄弟和拆分、求兄弟積拆分、推導排除。由於兄弟拆分需要滿足兩個條件:1) 運算結果相同;2) 屬於可能解集。因此求兄弟拆分可用兩種方法求出:1) 枚舉出運算結果相同的所有拆分,逐一判斷是否在可能解集內;2) 遍歷可能解集,篩選出運算結果相同的所有拆分。由於判斷屬於可能解集的操作要使用查找操作,因此無論從實現復雜度還是效率上來講都是方法2)較優。
排除的操作即對應於程序中的刪除,對於絕大多數數據結構,刪除中間元素都比添加到末尾麻煩一些。因此最高效的方法不是直接刪除排除掉的拆分,而是另存不被排除的拆分,最后替換原集。但是另存會產生重復元素,且會導致無序。因此在替換原集之前做排序和去重是必要的。
為了避免結構體操作,可使用一個unsigned long類型的整數表示一個拆分,其中高16位和低16位分別表示拆分中的兩個數。
綜上所述,用C++語言實現,解集用stl庫中的vector<unsigned long>表示。推導函數可抽象為:對於一個可能解集,用一種運算(乘或加)求出所有兄弟拆分,再用一種判斷(小於等於1或不等於1)來決定求出的每一個兄弟拆分是否應該從解集中刪除。因此推導函數可用模板實現,運算操作和判斷操作可直接使用stl庫中的functional的相關仿函數實現。
更一般的,我們可以求出每一種取值范圍[1, n],n從2變化為99。
3. C++代碼
#include <iostream> #include <algorithm> #include <functional> #include <vector> typedef unsigned long ulong; typedef unsigned short ushort; typedef std::vector<ulong> ULONGVEC; typedef ULONGVEC::iterator ULONGVEC_I; template<typename _Op, typename _Jd> void Deduce(ULONGVEC &pairs, _Op op, _Jd jd) { ULONGVEC bros; for (ULONGVEC_I i = pairs.begin(); i != pairs.end(); ++i) { ulong cnt = 0, res = op(*i >> 16, *i & 0xFFFF); //求出所有兄弟拆分,存入bros的末尾 for (ULONGVEC_I j = pairs.begin(); j != pairs.end(); ++j) { if (op(*j >> 16, *j & 0xFFFF) == res) { bros.push_back(*j); ++cnt; } } // 判斷兄弟拆分是否滿足條件,如不滿足則不保留該兄弟集合 if (jd(cnt, 1)) bros.erase(bros.end() - cnt, bros.end()); } //排序、去重、替換原集 std::sort(bros.begin(), bros.end()); ULONGVEC_I iEnd = std::unique(bros.begin(), bros.end()); pairs.assign(bros.begin(), iEnd); } int main() { for (ushort n = 2; n < 100; ++n) { ULONGVEC pairs; for (ushort i = 1; i < n; ++i) for (ushort j = i + 1; j <= n; ++j) pairs.push_back((i << 16) | j); // 四次推導過程 Deduce(pairs, std::multiplies<ulong>(), std::less_equal<ulong>()); Deduce(pairs, std::plus<ulong>(), std::less_equal<ulong>()); Deduce(pairs, std::multiplies<ulong>(), std::not_equal_to<ulong>()); Deduce(pairs, std::plus<ulong>(), std::not_equal_to<ulong>()); std::cout << "1 to " << n << ": "; for (ULONGVEC_I i = pairs.begin(); i != pairs.end(); ++i) std::cout << '(' << (*i >> 16) << ',' << (*i & 0xFFFF) << "); "; std::cout << std::endl; } return 0; }
4. 運行結果
1 to 2:
1 to 3:
1 to 4:
1 to 5:
1 to 6:
1 to 7:
1 to 8:
1 to 9: (1,8); (3,8);
1 to 10: (3,8); (5,8);
1 to 11: (3,8); (5,8);
1 to 12: (1,6); (4,9); (8,9);
1 to 13: (1,6); (4,9); (8,9);
1 to 14: (1,6); (7,12);
1 to 15: (1,6);
1 to 16: (1,6); (1,8);
1 to 17: (1,6); (1,8);
1 to 18: (1,6); (1,8); (9,12); (9,16);
1 to 19: (1,6); (1,8); (9,12); (9,16);
1 to 20: (1,6); (1,8);
1 to 21: (1,6); (1,8); (14,18);
1 to 22: (1,6); (1,8); (11,16); (14,18);
1 to 23: (1,6); (1,8); (11,16); (14,18);
1 to 24: (1,6); (1,8);
1 to 25: (1,6); (1,8); (16,18); (18,20);
1 to 26: (1,6); (1,8); (18,20);
1 to 27: (1,6); (1,8); (18,21);
1 to 28: (1,6); (1,8); (16,27);
1 to 29: (1,6); (1,8); (16,27);
1 to 30: (1,6); (1,8);
1 to 31: (1,6); (1,8);
1 to 32: (1,6); (1,8); (20,27);
1 to 33: (1,6); (1,8); (20,27);
1 to 34: (1,6); (1,8); (22,27);
1 to 35: (1,6); (1,8); (25,28);
1 to 36: (1,6); (1,8); (24,30); (27,32);
1 to 37: (1,6); (1,8); (24,30); (27,32);
1 to 38: (1,6); (1,8); (27,32);
1 to 39: (1,6); (1,8);
1 to 40: (1,6); (1,8);
1 to 41: (1,6); (1,8);
1 to 42: (1,6); (1,8); (25,42); (26,36);
1 to 43: (1,6); (1,8); (25,42); (26,36);
1 to 44: (1,6); (1,8);
1 to 45: (1,6); (1,8); (33,40);
1 to 46: (1,6); (1,8); (33,40);
1 to 47: (1,6); (1,8); (33,40);
1 to 48: (1,6); (1,8); (36,40);
1 to 49: (1,6); (1,8); (35,42);
1 to 50: (1,6); (1,8); (35,42);
1 to 51: (1,6); (1,8); (33,48);
1 to 52: (1,6); (1,8); (33,48); (40,45);
1 to 53: (1,6); (1,8); (33,48); (40,45);
1 to 54: (1,6); (1,8); (42,45);
1 to 55: (1,6); (1,8); (44,45);
1 to 56: (1,6); (1,8); (40,54);
1 to 57: (1,6); (1,8); (36,56);
1 to 58: (1,6); (1,8); (36,56);
1 to 59: (1,6); (1,8); (36,56);
1 to 60: (1,6); (1,8); (45,52); (48,50);
1 to 61: (1,6); (1,8); (45,52); (48,50);
1 to 62: (1,6); (1,8); (45,52); (48,50);
1 to 63: (1,6); (1,8); (48,50);
1 to 64: (1,6); (1,8); (48,56);
1 to 65: (1,6); (1,8); (48,56);
1 to 66: (1,6); (1,8); (48,63);
1 to 67: (1,6); (1,8); (48,63);
1 to 68: (1,6); (1,8); (48,65);
1 to 69: (1,6); (1,8);
1 to 70: (1,6); (1,8); (55,56); (56,60);
1 to 71: (1,6); (1,8); (55,56); (56,60);
1 to 72: (1,6); (1,8); (49,72); (54,64); (60,63);
1 to 73: (1,6); (1,8); (49,72); (54,64); (60,63);
1 to 74: (1,6); (1,8); (49,72); (54,64); (60,63);
1 to 75: (1,6); (1,8); (54,64); (60,63);
1 to 76: (1,6); (1,8); (54,64);
1 to 77: (1,6); (1,8); (54,64);
1 to 78: (1,6); (1,8); (65,66);
1 to 79: (1,6); (1,8); (65,66);
1 to 80: (1,6); (1,8); (65,66); (65,72);
1 to 81: (1,6); (1,8);
1 to 82: (1,6); (1,8);
1 to 83: (1,6); (1,8);
1 to 84: (1,6); (1,8);
1 to 85: (1,6); (1,8); (64,75); (72,77);
1 to 86: (1,6); (1,8); (64,75); (72,77);
1 to 87: (1,6); (1,8); (64,75); (68,75); (72,77);
1 to 88: (1,6); (1,8); (60,88); (64,75); (72,77);
1 to 89: (1,6); (1,8); (60,88); (64,75); (72,77);
1 to 90: (1,6); (1,8); (75,78);
1 to 91: (1,6); (1,8);
1 to 92: (1,6); (1,8); (72,80);
1 to 93: (1,6); (1,8); (72,80);
1 to 94: (1,6); (1,8); (72,80);
1 to 95: (1,6); (1,8); (72,80);
1 to 96: (1,6); (1,8); (72,92); (76,90);
1 to 97: (1,6); (1,8); (72,92); (76,90);
1 to 98: (1,6); (1,8); (72,92); (76,90);
1 to 99: (1,6); (1,8); (72,92); (75,96);
5. 復雜度分析
對於每一種n的取值進行分析。取值范圍為[1,n],那么全集的元素個數為C(n, 2),即n(n-1)/2,故構造全集的復雜度為O(n(n-1)/2)=O(n^2)。假設每次推導的復雜度均為O(f(m)),那么4次推導的復雜度為O(4*f(m))=O(f(m)),因此4次推導的復雜度以其中最大的一次為准。又因為推導函數的執行過程相同,算雜度只和輸入的集合元素個數相關,故甲的第一次推導起決定作用。設輸入的集合元素個數為m,在推導過程中並沒有刪除元素,兩種循環的執行次數相同,且在bros末尾添加元素的復雜度為O(1),因此復雜度為O(m^2);后面的排序去重操作的復雜度為O(m*logm)。綜上,推導函數的復雜度為O(m^2)。將m=n^2代入,得到算法整體復雜度為O(n^4)。
四、擴展
1. 進一步發散
對於兩個數不相同的設定,這道題只有在取值范圍是[1, 16]的前題下有唯一解:1和8。如果我們更改推導的過程,是否可以增加能推導出唯一解的取值范圍的數量呢?答案是肯定的。顯然兩個人中只要有一個人推導成功,那么這個游戲將在本輪或下一輪結束(取決於是乙先推導出還是甲先推導出),也就是說在某個人推導出一對確定的拆分后,再讓他推導發言是沒有意義的。因此只能夠給甲乙增加“不知道”的推導,才符合事實和邏輯。那我們嘗試給甲增加一次“不知道”的推導,看看結果如何。這樣兩人對話就變成了:
甲:“我不知道這兩個數是什么”,乙:“我也不知道”,甲:“我還是不知道”,乙:“那我就知道了”,甲:“那我也知道了”。
對應於算法就是將甲的第二次推導判定條件更改為:“std::less_equal<ulong>()”,這樣就得到了一組解,其中具有唯一解的取值范圍列舉如下:
1 to 14: (5,14);
1 to 18: (7,18);
1 to 19: (7,18);
1 to 21: (12,20);
1 to 24: (10,24);
1 to 25: (14,24);
1 to 27: (15,24);
1 to 28: (15,28);
1 to 29: (15,28);
1 to 32: (15,32);
1 to 33: (16,33);
1 to 38: (24,35);
1 to 45: (28,45);
1 to 46: (28,45);
1 to 47: (28,45);
1 to 48: (28,48);
1 to 49: (32,45);
其中最小的唯一解取值范圍是[1,14],這兩個數是5和14。這里要注意的是:[1, 49]的取值范圍內有唯一解32和45,不代表[1, 50]的范圍內有唯一解。事實上若取值范圍設定為[1, 50]是無解的。
2. 練習
請讀者思考以下3道練習題,其中第3道題尚未被解決。
- 如果兩個數可以相同,那這道題是否有唯一解?如果有,解是什么?請用程序實現。
- 若取值范圍的設定不超過[1, 100],即從[1,2]到[1,100],存在唯一解的推導過程最多有幾輪?
- 要算出1到50000取值范圍內的解,上述程序算法將遇到性能瓶頸,請問有什么辦法解決?