| SIFT算法：DoG尺度空間生產 |
| SIFT算法：KeyPoint找尋、定位與優化 |
| SIFT算法：確定特征點方向 |
| SIFT算法：特征描述子 |
目錄：
1、找尋
2、定位
3、優化
1 KeyPoint找尋
極值的檢測是在DoG空間進行的，檢測是以前點為中心，3pixel*3pixel*3pixel的立方體為鄰域，判斷當前點是否為局部最大或最小。如下圖所示，橘黃色為當前檢測點，綠色點為其鄰域。因為要比較當前點的上下層圖像，所以極值檢測從DoG每層的第2幅圖像開始，終止於每層的倒數第2幅圖像（第1幅沒有下層，最后1幅沒有上層，無法比較）。
2 KeyPoint定位
以上極值點的搜索時在離散空間中進行的，檢測到的極值點並不是真正意義上的極值點。如下圖所示，連續空間中極值與離散空間的區別。通常通過插值的方式，利用離散的值來插值，求取接近真正的極值的點。
對於一維函數，利用泰勒級數，將其展開為二次函數：
f(x) ≈ f(0) + f'(0)x + f''(0)x2
對於二維函數，泰勒展開為：
矩陣表示為：
矢量表示為：
當矢量為n維時，有：
求取f(x)的極值，只需求取∂f/∂x = 0。對於極值，x,y,σ三個變量，即為三維空間。利用三維子像元插值，設其函數為D(x, y, σ)，令x = (x, y, σ)T，那么在第一節中找到的極值點進行泰勒展開為（式-1）如下：
其中D為極值點的值，∂DT/∂x為在極值點各自變量的倒數，∂2D/∂x2為其在展開點相應的矩陣。對上式求導，另∂D(x)/∂x = 0，結果如下式，對應的
（為了表示方便，ˆx代替）向量即為真正極值點偏離插值點的量。求解得（式-2）如下：
最終極值點的位置即為插值點x+ˆx，且多次迭代可以提高精度（一般為5次迭代）。
問題 1：
《圖像局部不變性特征與描述》中提到，對於偏移量ˆx任何方向上偏移大於0.5的特征點，要刪除該點。
對於Lowe的原文為：If the offset ˆx is larger than 0.5 in any dimension, then it means that the extremum lies closer to a different sample point. In this case, the sample point is changed and the interpolation performed instead about that point.
本人英語水平有限，個人認為原作者並未說要刪除此類點，只是說這個點偏移了，所以需要插值來進行替換。且在OpenCV sift的源碼中，並未刪除上述類型的點，在vlfeat的開源代碼中，也未刪除上述點。
3 KeyPoint優化
對KeyPoint定位后，要剔除一些不好的KeyPoint，那什么是不好的KeyPoint的呢？
- DoG響應較低的點，即極值較小的點。
- 響應較強的點也不是穩定的特征點。DoG對圖像中的邊緣有較強的響應值，所以落在圖像邊緣的點也不是穩定的特征點。一方面圖像邊緣上的點是很難定位的，具有定位的歧義性；另一方面這樣的點很容易受到噪聲的干擾變得不穩定。
對於第一種，只需計算矯正后的點的響應值D(ˆx)，響應值小於一定閾值，即認為該點效應較小，將其剔除。將（式-2）帶入（式-1），求解得：
在Lowe文章中，將|D(ˆx)|<0.03（圖像灰度歸一化為[0,1]）的特征點剔除。
對於第二種，利用Hessian矩陣來剔除。一個平坦的DoG響應峰值在橫跨邊緣的地方有較大的主曲率，而在垂直邊緣的地方有較小的主曲率。主曲率可以通過2×2的Hessian矩陣H求出：
為最大特征值，
為最小特征值，那么：
表示最大特征值與最小特征值的比值，則有：
也會增加。我們只需要去掉比率大於一定值的特征點。Lowe論文中去掉r=10的點。
參考資料：
- David G. Lowe Distinctive Image Features from Scale-Invariant Keypoints
- 王永明 王貴錦 《圖像局部不變性特征與描述》