上一篇介紹了關聯規則挖掘的一些基本概念和經典的Apriori算法，Aprori算法利用頻繁集的兩個特性，過濾了很多無關的集合，效率提高不少，但是我們發現Apriori算法是一個候選消除算法，每一次消除都需要掃描一次所有數據記錄，造成整個算法在面臨大數據集時顯得無能為力。今天我們介紹一個新的算法挖掘頻繁項集，效率比Aprori算法高很多。
FpGrowth算法通過構造一個樹結構來壓縮數據記錄，使得挖掘頻繁項集只需要掃描兩次數據記錄，而且該算法不需要生成候選集合，所以效率會比較高。我們還是以上一篇中用的數據集為例：
| TID | Items |
| T1 | {牛奶,面包} |
| T2 | {面包,尿布,啤酒,雞蛋} |
| T3 | {牛奶,尿布,啤酒,可樂} |
| T4 | {面包,牛奶,尿布,啤酒} |
| T5 | {面包,牛奶,尿布,可樂} |
一、構造FpTree
FpTree是一種樹結構，樹結構定義如下：
public class FpNode { String idName;// id號 List<FpNode> children;// 孩子結點 FpNode parent;// 父結點 FpNode next;// 下一個id號相同的結點 long count;// 出現次數 }
樹的每一個結點代表一個項，這里我們先不着急看樹的結構，我們演示一下FpTree的構造過程，FpTree構造好后自然明白了樹的結構。假設我們的最小絕對支持度是3。
Step 1：掃描數據記錄，生成一級頻繁項集，並按出現次數由多到少排序，如下所示：
| Item | Count |
| 牛奶 | 4 |
| 面包 | 4 |
| 尿布 | 4 |
| 啤酒 | 3 |
可以看到，雞蛋和可樂沒有出現在上表中，因為可樂只出現2次，雞蛋只出現1次，小於最小支持度，因此不是頻繁項集，根據Apriori定理，非頻繁項集的超集一定不是頻繁項集，所以可樂和雞蛋不需要再考慮。
Step 2：再次掃描數據記錄，對每條記錄中出現在Step 1產生的表中的項，按表中的順序排序。初始時，新建一個根結點，標記為null；
1）第一條記錄：{牛奶,面包}，按Step 1表過濾排序得到依然為{牛奶,面包}，新建一個結點，idName為{牛奶}，將其插入到根節點下，並設置count為1，然后新建一個{面包}結點，插入到{牛奶}結點下面，插入后如下所示：
2）第二條記錄：{面包,尿布,啤酒,雞蛋}，過濾並排序后為：{面包,尿布,啤酒}，發現根結點沒有包含{面包}的兒子（有一個{面包}孫子但不是兒子），因此新建一個{面包}結點，插在根結點下面，這樣根結點就有了兩個孩子，隨后新建{尿布}結點插在{面包}結點下面，新建{啤酒}結點插在{尿布}下面，插入后如下所示：
3）第三條記錄：{牛奶,尿布,啤酒,可樂}，過濾並排序后為：{牛奶,尿布,啤酒}，這時候發現根結點有兒子{牛奶}，因此不需要新建結點，只需將原來的{牛奶}結點的count加1即可，往下發現{牛奶}結點有一個兒子{尿布}，於是新建{尿布}結點，並插入到{牛奶}結點下面，隨后新建{啤酒}結點插入到{尿布}結點后面。插入后如下圖所示：
4）第四條記錄：{面包,牛奶,尿布,啤酒}，過濾並排序后為：{牛奶，面包,尿布,啤酒}，這時候發現根結點有兒子{牛奶}，因此不需要新建結點，只需將原來的{牛奶}結點的count加1即可，往下發現{牛奶}結點有一個兒子{面包}，於是也不需要新建{面包}結點，只需將原來{面包}結點的count加1，由於這個{面包}結點沒有兒子，此時需新建{尿布}結點，插在{面包}結點下面，隨后新建{啤酒}結點，插在{尿布}結點下面，插入后如下圖所示：
5）第五條記錄：{面包,牛奶,尿布,可樂}，過濾並排序后為：{牛奶，面包,尿布}，檢查發現根結點有{牛奶}兒子，{牛奶}結點有{面包}兒子，{面包}結點有{尿布}兒子，本次插入不需要新建結點只需更新count即可，示意圖如下：
按照上面的步驟，我們已經基本構造了一棵FpTree（Frequent Pattern Tree），樹中每天路徑代表一個項集，因為許多項集有公共項，而且出現次數越多的項越可能是公公項，因此按出現次數由多到少的順序可以節省空間，實現壓縮存儲，另外我們需要一個表頭和對每一個idName相同的結點做一個線索，方便后面使用，線索的構造也是在建樹過程形成的，但為了簡化FpTree的生成過程，我沒有在上面提到，這個在代碼有體現的，添加線索和表頭的Fptree如下：
至此，整個FpTree就構造好了，在下面的挖掘過程中我們會看到表頭和線索的作用。
二、利用FpTree挖掘頻繁項集
FpTree建好后，就可以進行頻繁項集的挖掘，挖掘算法稱為FpGrowth（Frequent Pattern Growth）算法，挖掘從表頭header的最后一個項開始。
1）此處即從{啤酒}開始，根據{啤酒}的線索鏈找到所有{啤酒}結點，然后找出每個{啤酒}結點的分支：{牛奶，面包，尿布，啤酒：1}，{牛奶，尿布，啤酒:1}，{面包，尿布，啤酒:1}，其中的“1”表示出現1次，注意，雖然{牛奶}出現4次，但{牛奶，面包，尿布，啤酒}只同時出現1次，因此分支的count是由后綴結點{啤酒}的count決定的，除去{啤酒}，我們得到對應的前綴路徑{牛奶，面包，尿布：1}，{牛奶，尿布:1}，{面包，尿布:1}，根據前綴路徑我們可以生成一顆條件FpTree，構造方式跟之前一樣，此處的數據記錄變為：
| TID | Items |
| T1 | {牛奶，面包，尿布} |
| T2 | {牛奶，尿布} |
| T3 | {面包，尿布} |
絕對支持度依然是3，構造得到的FpTree為：
構造好條件樹后，對條件樹進行遞歸挖掘，當條件樹只有一條路徑時，路徑的所有組合即為條件頻繁集，假設{啤酒}的條件頻繁集為{S1,S2,S3}，則{啤酒}的頻繁集為{S1+{啤酒},S2+{啤酒},S3+{啤酒}}，即{啤酒}的頻繁集一定有相同的后綴{啤酒}，此處的條件頻繁集為：{{}，{尿布}}，於是{啤酒}的頻繁集為{{啤酒}{尿布，啤酒}}。
2）接下來找header表頭的倒數第二個項{尿布}的頻繁集，同上可以得到{尿布}的前綴路徑為：{面包：1}，{牛奶：1}，{牛奶，面包：2}，條件FpTree的數據集為：
| TID | Items |
| T1 | {面包} |
| T2 | {牛奶} |
| T3 | {牛奶，面包} |
| T4 | {牛奶，面包} |
注意{牛奶，面包：2}，即{牛奶，面包}的count為2，所以在{牛奶，面包}重復了兩次，這樣做的目的是可以利用之前構造FpTree的算法來構造條件Fptree，不過這樣效率會降低，試想如果{牛奶，面包}的count為20000，那么就需要展開成20000條記錄，然后進行20000次count更新，而事實上只需要對count更新一次到20000即可。這是實現上的優化細節，實踐中當注意。構造的條件FpTree為：
這顆條件樹已經是單一路徑，路徑上的所有組合即為條件頻繁集：{{}，{牛奶}，{面包}，{牛奶，面包}}，加上{尿布}后，又得到一組頻繁項集{{尿布}，{牛奶，尿布}，{面包，尿布}，{牛奶，面包，尿布}}，這組頻繁項集一定包含一個相同的后綴：{尿布}，並且不包含{啤酒}，因此這一組頻繁項集與上一組不會重復。
重復以上步驟，對header表頭的每個項進行挖掘，即可得到整個頻繁項集，可以證明（嚴謹的算法和證明可見參考文獻[1]），頻繁項集即不重復也不遺漏。
程序的實現代碼還是放在我的github上，這里看一下運行結果：
絕對支持度： 3 頻繁項集： 面包 尿布 3 尿布 牛奶 3 牛奶 4 面包 牛奶 3 尿布 啤酒 3 面包 4
另外我下載了一個購物籃的數據集，數據量較大，測試了一下FpGrowth的效率還是不錯的。FpGrowth算法的平均效率遠高於Apriori算法，但是它並不能保證高效率，它的效率依賴於數據集，當數據集中的頻繁項集的沒有公共項時，所有的項集都掛在根結點上，不能實現壓縮存儲，而且Fptree還需要其他的開銷，需要存儲空間更大，使用FpGrowth算法前，對數據分析一下，看是否適合用FpGrowth算法。
下一篇將介紹，關聯規則的評價標准，歡迎持續關注。
參考文獻：
[1].Han jia wei, Pei Jan等 Mining Frequent Patterns without Candidate Generation: A Frequent-Pattern Tree Approach.2004
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