挑戰能力——數字中不帶9的正整數占所有正整數的比例是多少？

先解釋一下題目。

舉例說明：123456就是數字中不帶9的正整數，124789是數字中帶9的正整數。也可以知道，數字中帶9的正整數和數字中不帶9的正整數都有無窮多個。那數字中不帶9的正整數占所有正整數的比例是多少？

 

咋眼一看，這個比例的精確值很難一下子算出來。人們對很難一下子計算出來的值都會有進行估算的天性。有人估算能力強，有人估算能力弱。那么估算看看，這個比例是多少？

 

是多少呢？考慮到有0-9十個數字，有人會說是9/10=0.9；有人覺得太高了，那么7/10=0.7怎么樣；還太高，那么5/10=0.5差不多吧，這個答案已經讓很多人狐疑了，那么少？0.3呢，有人會覺得瘋了吧；0.1呢，太不可思議了，怎么可能呢？

 

還是用事實說話吧

 

假設現在有N（N≥1）位整數。那么從1到99……99（N個9）中，數字中不帶9的正整數有多少個？

考慮到一共N位，則每位上只能取0-8這9個數字。那么數字中不帶9的正整數一共有9*9*……*9*9（N個9）-1=9^N-1。（減去1是因為去掉00……00（N個0）=0這個數）

而1到99……99（N個9）一共有10^N-1個正整數。則N（N≥1）位整數中，數字中不帶9的正整數所占的比例為

 

由計算可知，F₁=8/9≈88.89%；F₂=80/99≈80.81%；F₃=728/999≈72.87%；F₁₀=3486784400/9999999999≈34.87%

可以看到一個趨勢，隨着N的增大，比例F_N會越來越小。

 

那么，當N趨向於無窮大時，F_N會趨向於什么值呢？還是用計算來說話

可以看出，F_N會趨向於0，所以數字中不帶9的正整數占所有正整數的比例是0，怎么樣，結果出乎意料吧。但是通過計算是正確的（這兒0的概念更接近於無窮小的概念，而不是沒有這個概念）

 

怎么會突然想到這個問題，源於近期在網上熱議的論文《既發散又收斂的無窮級數》（上了正式刊物的論文，還有該論文的英文翻譯版）。

從論文的題目看，既發散又收斂的無窮級數，本身充滿者矛盾（無窮級數要么發散、要么收斂）

 

看了看論文，其中有一條重要的依據就是：“含有9的n位自然數”遠少於“不含9的n位自然數”

然而現在說明了“不含9的n位自然數”所占的比例為0，那么“不含9的n位自然數”遠少於“含有9的n位自然數”。

這也說明了《既發散又收斂的無窮級數》論文中重要依據不成立，該論文的觀點也是錯誤的。

 

 

題外話：在計算數字中不帶9的正整數占所有正整數的比例時，有了副成果。現在，貼於下方，以記之。

已知：G（1）=1；G（N）=G（N-1）*8+10^N-1

求：函數G（N）的通項公式

 

方法一：

G（N）=8G（N-1）+10^N-1

         =8（8G（N-2）+10^N-2）+10^N-1=8²G（N-2）+8¹10^N-2+8⁰10^N-1

         =8²（8G（N-3）+10^N-3）+8¹10^N-2+8⁰10^N-1=8³G（N-3）+8²10^N-3+8¹10^N-2+8⁰10^N-1

         ……

         =8^N-1G（1）+8^N-210¹+……+8¹10^N-2+8⁰10^N-1

         =8^N-110⁰+8^N-210¹+……+8¹10^N-2+8⁰10^N-1

        

 

 

方法二：

令：

則：

所以：

兩式相減得：

再令：

得：，所以T（N）是等比數列

因為：，，所以

 

又因為：

所以：

最終：