推薦技術公眾號：不愛睡覺的大豬
本來想詳細寫寫LCA和RMQ的東西的，但是覺得積累得還不夠而且比較懶就不寫了。鑒於都是超經典問題，網上和大量書籍都是很好的學習材料，所以就不想說了
這里只簡單說說原理，說說代碼實現上面的一些細節和注意問題，並且給出模板
下面寫提供幾個學習LCA和RMQ的博客，都很通熟易懂，向博主致敬
http://dongxicheng.org/structure/lca-rmq/
這個應該是講得最好的，且博主還有很多其他文章，可以讀讀，感覺認真讀了這篇，都不太需要看別的資料了，百度和谷歌搜索的第一位都是他，好東西大家一起學習
http://scturtle.is-programmer.com/posts/30055
這個博客講LCA的Tarjan算法個人覺得是比較好的，我看這篇文章，看了1個小時就搞懂了LCA的Tarjan，謝謝博主。可以認真閱讀，並且看懂里面附帶的那個圖
其余的博客，就請百度和谷歌了，能找到很多，都很好
一：LCA和RMQ是可以相互轉化的
往往都只是提到了LCA可以轉化為RMQ去求解，其實RMQ也能轉化為LCA去求解，RMQ怎么轉LCA，可以看2007年的國家隊論文，里面有介紹，非常好懂。不過個人覺得，RMQ轉LCA，可以學習這個思想，但是實際應用中最好不要，多此一舉的感覺，求解RMQ的算法很多，不必要用LCA去求解
所以下面講講LCA轉RMQ的實現方法（只講實現方法，具體的原理不講，可以看書百度，不過看了實現過程，原理大概也懂了）
LCA轉RMQ算法是一個在線算法：先用時間去做預處理，然后每讀入一個詢問，就用很短的時間去回答它，即”問一個答一個，回答時間很短“
預備知識：LCA轉為RMQ后，幾乎是裸的RMQ問題，RMQ問題，這里推薦ST算法求解，如果不懂ST算法，先學習一下
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二：LCA的Tarjan算法
Tarjan算法是個離線算法：即先把所有詢問保存下來，但是不回答（也回答不了），重新組織這些詢問，然后再回答，但是回答的順序，不一定是詢問的順序，即”一口氣問完，處理完，再一口氣回答“。如果一定要你按照詢問的順序得出答案，那么還要稍微處理一下
說說感悟：很多人說Tarjan算法強調遞推的性質，我個人感覺說遞推不夠直接，應該說是強調時間，先后順序。學了Tarjan幾個算法，都有時間戳這個概念，這個算法里沒強調這個，但是有這個意思。它定義了一個概念，什么叫處理完的節點，就是這個節點被訪問了且它下面的所有子樹的所有節點都被訪問了，就認為這個節點是處理完了，由於是前序遍歷這棵樹，所以節點被處理，是有個先后順序的，我們知道Tarjan在處理完一個節點后，就看看這個節點涉及了哪些詢問，看看唄詢問的另一個點是否也是被處理完的，如果另一個點也是被處理完的，那么這個詢問可以被回答，否則，現在還不能回答，要等下再回答，什么時候回答，就是等到那個節點也被處理完的時候。
說說代碼實現上的問題
如果理解了Tarjan，寫出那個核心的dfs遍歷反而不難，有時候糾結的是怎么保存詢問的答案，並且按照詢問的順序，還原出答案
首先，我們是先把詢問拆成兩份，例如詢問x和y的lca，拆成x和y的lca ， y和x的lca，兩者是完全相同的，等價的
對於一系列詢問
1 2
1 3
2 3
3 4
變為
1 2
2 1
1 3
3 1
2 3
3 2
3 4
4 3
然后保存，保存方式是用鄰接表（個人感覺這種方法比較好，可以用上位運算，記錄的東西也比較少）。保存在一個表中，表的下標從0開始標號
對已表中的第k項，例如 2 3 ， 那么k^1項和k項的LCA是相同的，所以就可以保存 a[k].lca = a[k^1].lca = ans
最后注意一點，Tarjan的偽代碼可以很好幫助理解算法本質，注意里面一個並查集合並的操作Union(x,y)。這個Union(x,y)有好多寫法，其中最簡單的就是一個語句（個人推薦這種），這個Union的寫法會稍微影響到dfs函數里面的寫法（不影響算法本質，只是影響寫法）
具體看模板
LCA轉RMQ的模板
const int N = 40010; const int M = 25; int _pow[M]; //事先保存2^x，不必重復計算 int head[N]; //鄰接表表頭 int ver[2*N]; //保存遍歷的節點序列，長度為2n-1，從下標1開始保存 int R[2*N]; //和遍歷序列對應的節點深度數組，長度為2n-1，從下標1開始保存 int first[N]; //每個節點在遍歷序列中第一次出現的位置 int dir[N]; //保存每個點到樹根的距離，很多問題中樹邊都有權值，會詢問兩點間的距離，如果樹邊沒權值，相當於權值為1 int dp[2*N][M]; //這個數組記得開到2*N，因為遍歷后序列長度為2*n-1 bool vis[N]; //遍歷時的標記數組 int tot; struct edge //保存邊，數組大小至少為2*n { int u,v,w,next; }e[2*N]; void dfs(int u ,int dep) //遍歷樹，過程中順便做了好多事情 { vis[u] = true; ver[++tot] = u; first[u] = tot; R[tot] = dep; for(int k=head[u]; k!=-1; k=e[k].next) if( !vis[e[k].v] ) { int v = e[k].v , w = e[k].w; dir[v] = dir[u] + w; dfs(v,dep+1); ver[++tot] = u; R[tot] = dep; } } int RMQ(int x ,int y) //這個詢問僅僅是返回一個位置，即LCA所在序列數組的位置，ver[res]才是LCA的標號 { int K = (int)(log((double)(y-x+1)) / log(2.0)); int a = dp[x][K] , b = dp[y-_pow[K]+1][K]; if(R[a] < R[b]) return a; else return b; } int LCA(int u ,int v) //返回點u和點v的LCA { int x = first[u] , y = first[v]; if(x > y) swap(x,y); int res = RMQ(x,y); return ver[res]; } // lcaxy = LCA(x,y); // lcaab = LCA(a,b);
Tarjand的偽代碼
void Tarjan(int u) { vis[u] = true; Make-Set(u); //以點u自己為代表元素建立一個集合，此時集合也只有它自己一個元素 ance[Find(u)] = u; //記錄點u所在的那個集合的祖先是u自己，其實此時還是只有它自己 for(u的所有兒子v) if(該兒子v沒有被訪問) { Tarjan(v); Union(u,v); //將兒子v所在集合並在點u所在的集合，點u已經是集合的代表元素 ance[Find(u)] = u; //確保點u所在的集合的祖先是u自己 } colour[u] = true; //這個點u認為已經處理完 for(u的所有兒子v) if( colour[v] ) //兒子v也被處理完 LCA(u,v) = LCA(v,u) = ance[Find(v)]; //兩者的LCA此時可以回答了，就是兒子v所在的集合的祖先 }
Tarjan模板
using namespace std; const int N = 40010; const int M = 410; int head[N]; //樹邊鄰接表的表頭 int __head[N]; //保存詢問的鄰接表的表頭 struct edge{ //保存邊 int u,v,w,next; }e[2*N]; struct ask{ //保存詢問 int u,v,lca,next; }ea[M]; int dir[N]; //保存點到樹根的距離 int fa[N]; //並查集，保存集合的代表元素 int ance[N]; //保存集合的組合，注意對象是集合而不是元素 bool vis[N]; //遍歷時的標記數組 inline void add_edge(int u,int v,int w,int &k) //保存邊 { e[k].u = u; e[k].v = v; e[k].w = w; e[k].next = head[u]; head[u] = k++; u = u^v; v = u^v; u = u^v; e[k].u = u; e[k].v = v; e[k].w = w; e[k].next = head[u]; head[u] = k++; } inline void add_ask(int u ,int v ,int &k) //保存詢問 { ea[k].u = u; ea[k].v = v; ea[k].lca = -1; ea[k].next = __head[u]; __head[u] = k++; u = u^v; v = u^v; u = u^v; ea[k].u = u; ea[k].v = v; ea[k].lca = -1; ea[k].next = __head[u]; __head[u] = k++; } int Find(int x) { return x == fa[x] ? x : fa[x] = Find(fa[x]); } void Union(int u ,int v) { fa[v] = fa[u]; //可寫為 fa[Find(v)] = fa[u]; } void Tarjan(int u) { vis[u] = true; ance[u] = fa[u] = u; //可寫為 ance[Find(u)] = fa[u] = u; for(int k=head[u]; k!=-1; k=e[k].next) if( !vis[e[k].v] ) { int v = e[k].v , w = e[k].w; dir[v] = dir[u] + w; Tarjan(v); Union(u,v); ance[Find(u)] = u; //可寫為ance[u] = u; //甚至不要這個語句都行 } for(int k=__head[u]; k!=-1; k=ea[k].next) if( vis[ea[k].v] ) { int v = ea[k].v; ea[k].lca = ea[k^1].lca = ance[Find(v)]; } } int main() { //.............省略.............. memset(head,-1,sizeof(head)); memset(__head,-1,sizeof(__head)); tot = 0; for(int i=1; i<n; i++) //建樹 { int u,v,w; scanf("%d%d%d",&u,&v,&w); add_edge(u,v,w,tot); } tot = 0; for(int i=0; i<q; i++) //拆開保存詢問 { int u,v; scanf("%d%d",&u,&v); add_ask(u,v,tot); } memset(vis,0,sizeof(vis)); dir[1] = 0; Tarjan(1); for(int i=0; i<q; i++) { int s = i * 2 , u = ea[s].u , v = ea[s].v , lca = ea[s].lca; //已經按順序取出了詢問和答案，lca = LCA(u,v) } return 0; }