這幾天在看《統計學習方法》這本書，發現 梯度下降法 在 感知機 等機器學習算法中有很重要的應用，所以就特別查了些資料。
一.介紹
梯度下降法（gradient descent）是求解無約束最優化問題的一種常用方法，有實現簡單的優點。梯度下降法是迭代算法，每一步需要求解目標函數的梯度向量。
二.應用場景
1.給定許多組數據（xi, yi），xi （向量）為輸入，yi為輸出。設計一個線性函數y=h（x）去擬合這些數據。
2.感知機：感知機（perceptron）為二類分類的線性分類模型。 輸入為實例的特征向量，輸出為實例的類別， 取+1 和 -1 二值。
下面分別對這兩種應用場景進行分析。
1.對於第一種場景:
既然是線性函數，在此不妨設為 h(x) = w0*x0 + w1*x1。
此時我們遇到的問題就是如何確定w0和w1這兩個參數，即w=（w0，w1）這個向量。
既然是擬合，則擬合效果可以用平方損失函數：E(w)=∑ [ h(x)- y ] ^2 / 2 來衡量。
其中w是權重二維向量，x是輸入二維向量，x和y都是訓練集的數據，即已知。
至於后面除於2只是為了之后的推導過程中對E求導時候可以消除系數，暫時可以不管。
因此該問題變成了求E(w)最小值的無約束最優化問題
2.對於第二種場景:
假設輸入空間(特征向量)為x，輸出空間為y = {+1, -1},由輸入空間到輸出空間的如下函數
f(x) = sign(w · x + b) w∈Rn 其中 w 叫做權值或者權值向量, b叫做偏振。w · x 表示向量w和x的點積
感知機sign(w · x + b)的損失函數為 L(w, b) = -∑yi(w · xi + b) x ∈M, M為誤分類點集合。
因此該問題變成了求L(w, b)最小值的無約束最優化問題
三.梯度下降方法
梯度其實就是高數求導方法，對E這個公式針對每個維數（w0，w1）求偏導后的向量▽E(w)=（∂E/∂w0,∂E/∂w1）
1. 對於第一種場景
對E這個公式針對每個維數（w0，w1）求偏導后的向量▽E(w)=（∂E/∂w0,∂E/∂w1）
梯度為最陡峭上升的方向，對應的梯度下降的訓練法則為： w=w-η▽E(w) 這里的η代表學習速率，決定梯度下降搜索中的步長 。
上式的w是向量，即可用將該式寫成分量形式為:wi=wi-η*∂E/∂wi
現在關鍵就使計算∂E/∂wi：
推導過程很簡單，書上寫的很詳細，這里只記錄結論(其實就是對目標函數求導):
∂E/∂wi=∑（h(x)-y）*(xi)
這里的∑是對樣本空間，即訓練集進行一次遍歷，耗費時間較大，可以使用梯度下降的隨機近似：
2. 對於第二種場景
感知機學習算法是誤分類驅動的，具體采用隨機梯度下降方法
▽wL(w, b) = -∑yixi
▽bL(w, b) = -∑yi
隨機選取一個誤分類點（xi, yi), 對w, b進行更新：
w <—— w - η * (-yixi)
b <—— b - η * (-yi) 式中η(0 < η <= 1)是步長，在統計學習中又稱為學習率（learning rate）
四.隨機梯度下降的隨機近似：
既然是隨機近似，則顧名思義，肯定是用近似方法來改善梯度下降時候的時間復雜度問題。
正如上所說，在∂E/∂wi=∑（h(x)-y）*(xi) 的時候∑耗費了大量的時間，特別是在訓練集龐大的時候。
所以肯定有人會猜想，如果把求和去掉如何，即變為∂E/∂wi=（h(x)-y）*(xi)。
幸運的是，猜想成立了。
只是要注意一下標准的梯度下降和隨機梯度下降的區別：
1.標准下降時在權值更新前匯總所有樣例得到的標准梯度，隨機下降則是通過考察每次訓練實例來更新。
2.對於步長 η的取值，標准梯度下降的η比隨機梯度下降的大。
因為標准梯度下降的是使用准確的梯度，理直氣壯地走，隨機梯度下降使用的是近似的梯度，就得小心翼翼地走，怕一不小心誤入歧途南轅北轍了。
3.當E（w）有多個局部極小值時，隨機梯度反而更可能避免進入局部極小值中。
四.代碼及實例：
1. 對於第一種場景
1 /*
2 * 隨機梯度下降實驗： 3 * 訓練集輸入為矩陣： 4 * 1,4 5 * 2,5 6 * 5,1 7 * 4,2 8 * 輸出結果為： 9 * 19 10 * 26 11 * 19 12 * 20 13 * 需要參數為 w： 14 * ？ 15 * ？ 16 * 17 * 目標函數:y=w0*x0+w1*x1; 18 * 19 * */
20 #include<stdio.h>
21 #include <stdlib.h>
22 int main() 23 { 24 double matrix[4][2]={{1,4},{2,5},{5,1},{4,2}}; 25 double result[4]={19,26,19,20}; 26 double w[2]={0,0};//初始為零向量
27 double loss=10.0; 28 const double n = 0.01; //步長
29 for(int i=0;i<100&&loss>0.001;i++) 30 { 31 double error_sum=0; 32 int j=i%4; 33 { 34 double h=0; 35 for(int k=0;k<2;k++) 36 { 37 h+=matrix[j][k]*w[k]; 38 } 39 error_sum = h - result[j]; 40 for(int k=0;k<2;k++) 41 { 42 w[k]-= n * (error_sum) * matrix[j][k];//這里是關鍵
43 } 44 } 45 printf("%lf,%lf\n",w[0],w[1]); 46 double loss=0; 47 for(int j=0;j<4;j++) 48 { 49 double sum=0; 50 for(int k=0;k<2;k++) 51 { 52 sum += matrix[j][k] * w[k]; 53 } 54 loss += (sum - result[j]) * (sum-result[j]); 55 } 56 printf("%lf\n",loss); 57 } 58
59 system("pause"); 60 return 0; 61 }
結果可以得出 w0=3，w1=4。
1 /* 2 * 基於感知機的隨機梯度下降實驗： 《統計學習方法》- p29-例2.1 3 * 訓練集輸入為矩陣： 4 * 3,3 5 * 4,3 6 * 1,1 7 * 輸出結果為（表示實例的分類）： 8 * 1 9 * 1 10 * -1 11 * 需要參數為 w： 12 * ？ 13 * ？ 14 * 15 * 目標函數:y = w0 * x0 + w1 * x1 + b; 16 * 17 * */ 18 #include<stdio.h> 19 #include <stdlib.h> 20 int main() 21 { 22 double x[3][2]={{3,3},{4,3},{1,1}}; 23 double y[4]={1, 1, -1}; 24 double w[2]={0,0};//初始為零向量 25 double b = 0; 26 int j; 27 const double n = 1; //步長 28 29 while(1) 30 { 31 for(j=0;j<3;j++) 32 { 33 if(y[j] * (w[0] * x[j][0] + w[1] * x[j][1] + b) <= 0) 34 break; 35 } 36 if(j < 3) 37 { 38 for(int k=0;k<2;k++) 39 w[k] += n * y[j] * x[j][k];//這里是關鍵 40 b += n * y[j]; 41 } 42 else 43 break; 44 printf("%d :%lf,%lf %lf\n", j, w[0], w[1], b); 45 46 } 47 48 system("pause"); 49 return 0; 50 }
結果可以得出 w0=1，w1=1， b = -3 。
參考：
1. http://blog.csdn.net/wuyanyi/article/details/8003946
2. 李航 統計學習方法