羊車問題
羊車問題（又稱蒙提·霍爾問題，The Monty Hall problem）是一道著名的概率問題，它源於一個電視節目游戲：
如果你是一個游戲的參賽者，在你面前有3扇關閉的門，其中一扇后面是一輛汽車，另外兩扇門后面是山羊。主持人知道門后的情況，而你不知道。你的目標就是要猜出哪扇門后是汽車，如果猜對，汽車就歸你了。首先，你可以隨便選中一扇門，我們稱之為A門，其他兩扇為B門和C門；然后，主持人會打開B或C中的一扇是山羊的門，幫你排除掉一扇門;最后，主持人會問你是否改變最初的選擇？你可以堅持選擇A門，也可以選擇另一扇未打開的門。
關於這道題，出現了許多種不同的分析，彼此爭論不休，比如下面這些典型的分析：
分析1： 第一次選擇A、B、C門正確的概率為1/3；主持人排除一扇門並不會改變A, B, C的概率，所以，不管是否改變概率都是1/3。
分析2： 第一次選擇A門正確的概率為1/3，主持人排除一扇門以后，剩下兩扇門的概率都相應地變成了1/2。所以，不管是否改變概率都是1/2。
分析3： 第一次選擇A門正確的概率為1/3，主持人排除一扇門之后，如果不重新選擇，A門正確的概率還是1/3，而重新選擇另一扇門可以使概率上升為1/2。
分析4： 第一次選擇A門正確的概率為1/3，主持人排除一扇門之后，如果不重新選擇，A門正確的概率還是1/3，而重新選擇另一扇門可以使概率上升到2/3。
這么多種分析，到底那種正確呢？其實，通過概率樹就可以直觀地看出來：
在不換選策略下，第一次選對的概率為1/3，選錯的概率為2/3。如果第一次選對，那么繼續選對的概率為1。如果第一次選錯，那么繼續選錯的概率也為1。所以，最終選對的概率為1/3。
在換選策略下，第一次選對的概率為1/3，選錯的概率為2/3.如果第一次選對，那么改變后選對的概率為0.如果第一次選錯，那么改變后選擇對的概率為1.所以，最終選對的概率為2/3.
有了概率樹這個工具以后，對於問題的分析就直觀多了。我們還可以進一步思考：假如問題變為n扇門，主持人排除m扇門，那么改變選擇和不改變選擇兩種策略選對的概率分別是多少？
貝葉斯推斷問題
概率樹不僅可以用於解決羊車問題，對於經典的貝葉斯推斷也非常有用，下面是一個典型的例子：
在夏季，某公園男性穿涼鞋的概率為1/2，女性穿涼鞋的概率為2/3，並且該公園中男女比例通常為2:1，若你在公園中隨機遇到一個穿涼鞋的人，請問它的性別為男性或女性的概率分別為多少？
學過概率論的朋友都知道這就是最經典的貝葉斯推斷問題。根據貝葉斯公式：
P(A | B) = P (A && B) / P(B) = P(A) * P(B | A) / P(B)
可以推出
P(男 | 穿涼鞋)
= P(男 AND 穿涼鞋) / P(穿涼鞋)
= P(男) * P(穿涼鞋 | 男) / P(穿涼鞋)
= (2/3 * 1/2) / P(穿涼鞋)
= (1/3) / P(穿涼鞋)
P(女 | 穿涼鞋)
= P(女 AND 穿涼鞋) / P(穿涼鞋)
= P(女) * P(穿涼鞋 | 女) / P(穿涼鞋)
= (1/3 * 2/3) / P(穿涼鞋)
= (2/9) / P(穿涼鞋)
1 = P(男 | 穿涼鞋) + P(女 | 穿涼鞋) = (1/3 + 2/9) / P(穿涼鞋)
=>
P(穿涼鞋) = 5/9
P(男 | 穿涼鞋) = 1/3 * 9/5 = 3/5
P(女 | 穿涼鞋) = 2/9 * 9/5 = 2/5
上面的解法需要熟悉貝葉斯公式，這並不是每個人都能隨時記住的，下面我們通過一個概率樹來分析，這就十分直觀了。
根據概率樹，我們可以直觀的看到各個分支的概率情況
P(男|穿涼鞋) / P(女|穿涼鞋)=(2/3 * 1/2) / (1/3 * 2/3) = 3/2