這幾天一直在寫《深入理解計算機系統》第二版中第二章的家庭作業，費了幾天的時間，終於完成了。當初碰到若干題不會，在網上也沒有搜索到答案。現在，我把這份自己完成的答案分享上來，與大家交流思想。其中錯誤一定會存在，如果有錯誤，希望指出來，共同進步。
2.67
A：左移位數大於等於int長度。
B：可以考慮用兩次左移來實現<<32：
int set_msb=1<<31;
int beyond_msb=set_msb<<1;
C：可以考慮用三次左移來實現<<31與<<32：
int temp=1<<15;
temp<<=15;
int set_msb=temp<<1;
int beyond_msb=temp<<2;
2.68
Q：Clear all but least significant n bits of x，即保留x的低n位，1<=n<=w
A：可以參考2.66的提示。生成低n位全為1，其余位全為0的掩碼，通常想到的是
(1<<n)-1
但是n==w的時候就會出錯，左移的位數等於int長度（見2.67A），這時我們可以采用兩次左移來實現：先生成低n-1位全為1，其余位全為0的掩碼m，然后讓m左移1位，然后加1即可，手工檢驗n==1時此情形仍滿足，故最后的掩碼為{[1<<(n-1)-1]<<1+1}，此掩碼與x相與即可：
int lower_bits(int x, int n)
{
return ((1<<(n-1)-1)<<1+1)&x;
}
2.69
Q:：Do rotating right shift. Assume 0<=n<w
A：實際上相當於將x循環右移n位。我們先取x的低n位，要特別注意n==0的情形，參照2.68，使用((1<<n)-1)&x來取得x的低n位，之所以不采用2.68最終答案所示的方法的原因是n可以取到0，但是取不到w，而2.68中，n取不到0，而能取到w。
然后我們將x的高(w-n)位右移n位，在題目假設（P154頁）中，右移操作是算數右移，高n位擴展了x的符號位，而我們需要的是邏輯右移。邏輯右移的解法如2.63中所示：
unsigned srl(unsigned x, int k)
{
unsigned xsra = (int) x>>k;
return ((1<<(w-k-1)-1)<<1+1)^xsra;
}
同時需要注意n為0的情形，處理該情形的方法如2.68所述。將x的低n位左移w-n位，異或上slr(x,n)即可：
((((1<<n)-1)&x)<<(w-n-1)<<1)^slr(x,n)
在上式中，同樣要注意k=0的情形。
2.70
Q：Return 1 when x can be represented as an n-bit, 2’s complement number; 0 otherwise. 1<=n<=w.
A：對於w位的二進制補碼數x，它能不能表示成n位的二進制補碼數需要看它的最高w-n+1位是不是全0（正數）或者全1（負數）。這是由於：
我們考慮一個n-bit的二進制補碼數a，最高位（第n-1位）是符號位。對於正數，有a[n-1]=0，將其擴展為w-bit時，第n-1位及其左邊的w-n位都為0。這個條件是充分必要的，我們可以反證出，如果前面最高的w-n+1位中（除了最高位），某一位有1，則一定不能用n-bit的二進制補碼數表示出。
而對於負數，有a[n-1]=1，將其擴展為w-bit時，第n-1位及其左邊的w-n位都為1。這個條件同樣是充分必要的，在此不再進行說明。
由此我們可以得到解法：（1）用掩碼屏蔽掉x的高w-n位，即取得00…x[n-1]x[n-2]…x[0]。（2）然后將x[n-1]擴展到最高的w-n位中，得到x’=x[n-1]x[n-1]…x[n-1]x[n-2]…x[0]。（3）最后return x’==x即可。
步驟：
（1）y= (~((~0)<<n-1<<1))&x（分兩次左移，為了處理n==w的情形）
（2）z=y>>n-1，z[0]是符號位，z==1為負，z==0為正就是符號位。
x’=((0-z)&(~0<<n-1<<1))|y
（3）return x’==x
2.71
A：packed_t是無符號數，而它包裝的4個字節都是有符號數，1byte的包裝在無符號數中的有符號數擴展后符號位並沒有擴展。例如，1byte的0xFF表示-1，而擴展成32位后應該為0xFFFFFFFF。而按照原函數中所示，擴展后結果是0x000000FF。
B：其實這個題可以將unsigned轉換成signed，然后利用算數右移來取得高位符號位的擴展。但是我們有另外一個解法：
unsigned x=word>>(bytenum<<3);
x<<=24;
x>>=24;
unsigned y=x>>7;
y<<=8;
return x-y;
這個解法不理解的話，自己動手找個示例畫一畫就理解其中的原理了。
2.72
A：sizeof返回size_t，實際上是無符號整型，而maxbytes-sizeof(val)則會隱式裝換為無符號數減法，所的結果始終是正數。測試條件>=0始終成立。
B：maxbytes>=0&&maxbytes>=sizeof(val)
2.73
編寫一個函數，當正溢出時，將結果設為Tmax，當負溢出時，將結果設置為Tmin。
首先，我們需要判斷是否發生了溢出：x、y同號，而與x+y異號時則發生了溢出：即(1)=((x^(x+y))&(y^(x+y))>>(w-1)。經過這個式子處理，發生溢出時，(1)式結果為1111….111，未發生溢出時，(1)式結果為0000….000。
然后，我們判斷發生的溢出是正溢出還是負溢出：即
(2)=(1)&(x>>(w-1))，正溢出時，(2)為0000…000；負溢出時，(2)為11111…111。
未發生溢出時，結果為x+y，而發生溢出時，(x+y)這部分結果需要屏蔽掉，代之以相應的Tmax或者Tmin。故最終的結果包含了(x+y)|(1)。當x+y沒有發生溢出時，這部分結果為x+y，而發生溢出時，這部分結果為1111…111。而當正溢出時，我們需要的結果是0111…111，負溢出時，我們需要的結果是1000…000，即我們需要在(x+y)|(1)的基礎上減去相應的值：
當未發生溢出時，減去0
當正溢出時，減去1000…000
當負溢出時，減去0111…111
綜上所述，我們可以得到需要減去的那部分的值的表達式：
(1)&((1<<(w-1))^(2))。故最終的結果為：
(x+y)|(1)- (1)&((1<<(w-1))^(2))，其中(1)、(2)的表達式如上述分析中所示。
2.74
這道題是測試減法是否發生了溢出。如果我們一下子不好考慮的話，先分析在減法中哪些情況會發生溢出。設x-y=z，
當x>0，y<0，z<=0時會發生溢出；
當x<0，y>0，z>=0時會發生溢出。
即x、y異號，並且x與z異號時會發生溢出。特別注意z=0的情形。
最后的答案可以寫為：
return (x^y!=0)&&(z==0||x^z!=0)
2.75
設兩個bit串的signed表示為x’、y’，unsigned表示為x，y。根據本章所學，有x’=x+x[w-1]*2w，y’=y+y[w-1]*2w。
x’*y’ = (( x+x[w-1]*2w) * (y+y[w-1]*2w) mod 2w
=(x*y+(y*x[w-1]+x*y[w-1])*2w+x[w-1]*y[w-1]*2w) mod 2w
注意上式，(x*y)的高w位在(x*y)中計算出，x’*y’相對於x*y高w位所多出的數是y*x[w-1]+x*y[w-1]。故經過unsigned_high_prod計算出的結果，需要加上x（當y為負時），與y（當x為負時），就是signed_high_prod的結果。
2.76
A：a<<2+a
B：a<<3+a
C：a<<5-a<<1
D：a<<3-a<<6
2.77
書中P130頁有原理敘述。對於本題，我們首先需要判斷x是正數還是負數：
int a=x>>w-1;
a==111….111則為負數，a==000….000則為正數。正數時不用額外考慮，而負數時需要加上一個bias偏差來向0舍入：
int result=((y-1)&a+x)/y，y=1<<k，帶入之后即可得到最終答案。
2.78
5*x/8：
x<<2+x得到5*x，而除以8的操作需要利用2.77題的結果，最終結果是： return divide_power(x<<2+x,3)。
2.79
這道題與2.78的唯一區別是計算5x/8時不能發生溢出。因為5x/8=x/2+x/8。當x為負數時，我們需要求得5x/8向上舍入的結果，在博客上我們使用celling(x)來表示x向上舍入的正數。我們可以通過對幾個x的取值進行驗證，得到如下關系：
celling(5x/8)=celling(x/2)+celling(x/8)+1，當x=-5-8k或-7-8k，k=0,1,2…
celling(5x/8)=celling(x/2)+celling(x/8)，其他情況。
由2.77可以得到：
celling(x/2)=divide_power2(x,1)
celling(x/8)=divide_power2(x,3)
下面判斷x=-5-8k或者x=-7-8k。負值不好判斷，而正值比較好判斷，即：-x=5+8k，后3位為101。而-x=-7+8k，后三位為111。
故我們可以得到，
celling(5x/8)= celling(x/2)+celling(x/8)+(-x&0x5||-x&0x7)&0x1。
而當x為正數時，我們也需要經過相似的判斷，經過計算，可以知道當x=5+8k或x=7+8k時，同樣需要多加一個1。
故而，最后總的式子為：
celling(5x/8)= celling(x/2)+celling(x/8)+(-x&0x5||-x&0x7||x&0x5||x&0x7)&0x1
2.80
A：~((1<<n)-1)，注意此時0<n<w。
B：(1<<(n+m)-1)-(1<<m-1)=1<<(n+m)-1<<m。
2.81
A：錯誤，考慮x=0，y=1<<31，x>y，而-x>-y。
B：正確。數學中常用的分配律、結合律即可證明，<<5即乘以32。
C：錯誤。~x+~y=(-x-1)+(-y-1)=-(x+y)-2，不等於-(x+y)-1
D：正確的。signed與unsigned的加法計算在本質上是一致的。
E：正確。右移會向小值舍入。
2.82
A：我們要求出那個無窮循環的串的數學公式表示。令其為V，則有
V<<k=V+Y（高等數學知識）
則V=Y/(2k-1)
B：(a) 1/7 (b) 0.6 (c) 1/9
2.83
浮點數最高位為符號位。先處理-0、+0比較的情況：
ux<<1==0&&uy<<1==0
x為正，y為正：
sx==0&&sy==0&&ux>=uy
x為負，y為負：
sx==1&&sy==1&&ux<=uy
x為正，y為負：
!sx&&sy
以上式子使用||連接起來就是最終答案。
2.84
A：f=0.01，M=1.01，E=2。注意到E=2而原始的exp-bias=E，exp=1+2k-1。
B：f=0.11…1，M=1.11…1。而注意要精確表示最大的奇數。f的最后一個1一定要保留，所以E最大為n。此時，原始的exp=n+2k-1-1。
C：最小的正normalized值的表示為
2^(2-2k-1)。要求它的倒數，則指數部分應該是2^(2k-1-2)，以使得乘積為1。而數值部分，則為0。
2.91
unsigned sign=f>>31;
unsigned exp=f>>23&0xFF;
unsigned frac=f&0x7FFFFF;
if(!(exp^0xFF==0&&frac!=0)) f|=1<<31;
return f;
2.92
unsigned sign=f>>31;
unsigned exp=f>>23&0xFF;
unsigned frac=f&0x7FFFFF;
if(!(exp^0xFF==0&&frac!=0)) f+=1<<31;
return f;
2.93
unsigned sign=f>>31;
unsigned exp=f>>23&0xFF;
unsigned frac=f&0x7FFFFF;
if(exp^0xFF==0&&frac!=0) return f;
else if(exp>0) exp=exp-1;
else {
//round to even
if(frac&0x1!=0&&(frac>>1)&0x1==1)
frac=frac>>1+1;
else frac=frac>>1;
}
return (sign<<31)|(exp<<23)|frac;
2.94
unsigned sign=f>>31;
unsigned exp=f>>23&0xFF;
unsigned frac=f&0x7FFFFF;
if(exp^0xFF==0&&frac!=0) return f;
else if(exp&0xFE!=0&&exp!=0) exp=exp+1;
else if(exp==0)
{
if(frac>>23&0x1==0) frac<<1;
else
{
exp=1;
frac<<1;
}
}
return (sign<<31)|(exp<<23)|frac;
2.95
i是整數，故而E部分的指數最小也為0+127=127。不包括E為0的情況。我們首先判斷最高位的1在哪個位置。
//符號位
int sign=i>>31;
//求i的絕對值
if(!sign) i=~i+1;
//求數值位最高位的1所在位置
int pos=0;
if(i>>16) {pos+=16; i>>=16;}
if(i>>8) {pos+=8; i>>=8;}
if(i>>4) {pos+=4; i>>=4;}
if(i>>2) {pos+=2; i>>=2;}
if(i>>1) {pos+=1; i>>=1;}
exp=pos+127;
//屏蔽掉數值部分為1的最高位（第pos位），這一位在浮點數中是隱式顯示表示的。
i=~(1<<pos)&i;
//第pos位要左移或者右移到第23位，使得低23位是frac部分。
if(i>>23)
{
frac=i>>(pos-23);
//最低(pos-23)位要看是否需要round to even，並且pos!=23
if(!(pos^0x17)&&(((1<<(pos-23)-1)&&i)^(1<<(pos-23-1)))==0))
{
//round to even
if(frac&0x1) frac+=1;
//發生溢出時，需要進位
if(frac==0) exp+=1;
}
}
else
{
frac=i<<(23-pos);
}
return (sign<<31)|(exp<<23)|frac;
2.96
這道題還是比較繁瑣，解法可類比2.95，但不再具體寫代碼了。在求解的時候，首先不考慮符號位，先求絕對值的表示，設這個絕對值為ret。
由於采用了round to zero的策略，故而不需要考慮“入”，只需要考慮“舍”即可。
（1）exp<0+127，ret=0
（1）exp=0+127，ret=1；
（2）exp=255，frac!=0時，ret=0x80000000
（3）exp等於其他值時，我們先把frac部分提出來，在第23位變為1，這是因為在float表示中，這個整數部分的1被隱藏了，我們求解int的時候，需要將其加上。此時，小數點在第23位的右側。
當exp=127時，frac>>=23；
當exp=128時，frac>>=22；
……
當exp=150時，frac>>=0；
當exp=151時，frac<<=1；
當exp=152時，frac<<=2；
……
當exp=157時，frac<<=7；
之后，再左移的話，就會溢出。也即exp>157時，ret=0x80000000。
最后，如果是正數的話，直接拼裝一下。而如果是負數的話，先按正數拼接，然后變反即可。不需要考慮Tmin的原因是float沒有足夠的精度來表示Tmin，故參數給出的f不可能被表示成Tmin。