題：（1）5個0，4個1組成的字符串中，出現01或10的次數為4的不同字符串個數
（2）一般地，n個0，m個1組成的字符串中，出現01或10的次數為k的不同字符串個數
例如，10100011是一個滿足要求的字符串（這里10和01是可以重用的，例如，010算是出現1次01，出現1次10）
（這是剛剛考過的組合數學期末試題，表示沒能當場做出，選錯方法了- -我用了遞推法，寫出了遞歸式但是不會解，因為有n、m、k三個參數——這也許不是正確的方法）
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符號說明：
1）N01和N10分別表示字符串中01的個數和10的個數
2）N=N01+N10，表示字符串中01和10的總出現次數
3）C(n,m)表示n個不同元素中取m個元素的組合數
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（1）注意到：我們可以把字符串中連續的0用1個0替換而不改變N01和N10的個數（N01和N10分別表示字符串中01的個數和10的個數），同理也可以把字符串中連續的1用1個1替換，為敘述方便，稱得到的為原字符串的“模式”
比如，10100011的模式是10101
下面考慮有幾種可能的模式呢？
思路：我們考慮0的可能位置（考慮1也可以），如果0在左端，則對N01的貢獻為1；若在右端，則對N10的貢獻為1；若在中間（非端點），則對N10和N01的貢獻各為1，總貢獻為2
01或10出現次數為4，那么0在模式中出現的情況有以下幾種可能：
（1）中間沒有0——這不可能，因為即使兩端都出現0，01或10出現總次數也只有2
（2）中間有1個0——這1個0對N的貢獻為2，那么兩端必然都必須為0，這樣才會有N=4。模式為01010
（3）中間有2個0——這2個0對N的貢獻為4，兩端必然都必須為1，模式為10101
（4）中間有超過2個0——這不可能
總結起來只有兩種可能的模式：01010和10101
(還可以從模式的角度找規律，其實長為n的模式只有兩種，分別是以0開頭的01交替序列和以1開頭的01交替序列，而且這兩個模式對應的N是相同的，即包含01和10的總數是相同的。因此n和N之間構成了一一對應。n為偶數時，模式為0101…01或1010…10，對應N=n-1；n為奇數時，模式為0101…010或1010…101，對應N=n-1.所以總是有N=n-1，所以你告訴我N=4，那么對應的一定是長為5的兩個模式，這種方法似乎更簡單)
找到模式之后，怎么計算對應的字符串有多少個呢?
對模式01010，設“01010”的第1個0在原字符串代表x1個0，第2個0代表x2個0，第3個0代表x3個0，則有x1+x2+x3=5，不同的x1，x2，x3的取值對應的字符串是不同的，同樣每個符合模式01010的字符串也都對應了這樣一組正整數（x1，x2，x3），這是一一對應。求出這個不定方程的正整數解的個數就可以了，即為在5個相同的球之間插入2個隔板的方法數，是C(4,2)。同樣設“01010”的第1個1和第2個1在原字符串中分別代表y1個1和y2個1，有y1+y2=4，正整數解個數為C(3,1)
因此，由乘法原則，這種模式對應的字符串有C(4,2)* C(3,1)=18個
類似可以求出10101對應的字符串有C(4,1)* C(3,2)=12個
所以，有30個滿足要求的字符串。
（2）一般情況，方法是一樣的
n個0，m個1，出現01或10的次數為k
k為偶數時，可能的模式有兩個：
一個是1010…01，其中有k/2個0， k/2+1個1.對應的不定方程為：
X1+ X2+ …+Xk/2=n
y1+ y2+ …+yk/2+1=m
解的個數是C(n-1,k/2-1)*C(m-1,k/2)
另一個是010…010，其中有k/2+1個0， k/2個1.對應的不定方程為：
X1+ X2+ …+Xk/2+1=n
y1+ y2+ …+yk/2=m
解的個數是C(n-1,k/2)*C(m-1,k/2-1)
總的符合要求的字符串數為C(n-1,k/2-1)*C(m-1,k/2)+ C(n-1,k/2)*C(m-1,k/2-1)
k為奇數時，可能的模式也有兩個：
一個是010…01，其中有(k+1)/2個0， (k+1)/2個1.對應的不定方程為：
X1+ X2+ …+X(k+1)/2=n
y1+ y2+ …+y(k+1)/2=m
解的個數是C(n-1,(k-1)/2)*C(m-1, (k-1)/2)
另一個是10…010，其中同樣是有(k+1)/2個0， (k+1)/2個1.對應的不定方程及解的個數和上一個一樣，也是C(n-1,(k-1)/2)*C(m-1, (k-1)/2)個解。
總的符合要求的字符串數為2*C(n-1,(k-1)/2)*C(m-1, (k-1)/2)
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ps:1樓給出了另一種思路，往下看