擴展KMP

劉雅瓊PPT講解鏈接： http://wenku.baidu.com/view/8e9ebefb0242a8956bece4b3.html

擴展KMP：

　　　　給出模板串A和子串B，長度分別為lenA和lenB，要求在線性時間內，對於每個A[i]（0<=i<lenA)，

 

　　　　求出A[i..lenA-1]與B的最長公共前綴長度，記為ex[i]（或者說，ex[i]為滿足A[i..i+z-1]==B[0..z-1]的最大的z值）。

 

　　　　擴展KMP可以用來解決很多字符串問題，如求一個字符串的最長回文子串和最長重復子串。

【算法】
　　　　

　　　　設next[i]為滿足B[i..i+z-1]==B[0..z-1]的最大的z值（也就是B的自身匹配）。設目前next[0..lenB-1]與ex[0..i-1]均已求出，要用它們來求ex[i]的值。

　　　　設p為目前A串中匹配到的最遠位置，k為讓其匹配到最遠位置的值（或者說，k是在0<=i0<i的所有i0值中，使i0+ex[i0]-1的值最大的一個，p為這個最大值，即k+ex[k]-1），

　　　　

　　　　顯然，p之后的所有位都是未知的，也就是目前還無法知道A[p+1..lenA-1]中的任何一位和B的任何一位是否相等。
　　　　

　　　　根據ex的定義可得，A[k..p]==B[0..p-k]，因為i>k，所以又有A[i..p]==B[i-k..p-k]，設L=next[i-k]，則根據next的定義有B[0..L-1]==B[i-k..i-k+L-1]。考慮i-k+L-1與p-k的關系：
　　　　

　　　　（1）i-k+L-1<p-k，即i+L<=p。這時，由A[i..p]==B[i-k..p-k]可以得到A[i..i+L-1]==B[i-k..i-k+L-1]，又因為B[0..L-1]==B[i-k..i-k+L-1]所以A[i..i+L-1]==B[0..L-1]，這就說明ex[i]>=L。又由於next的定義可得，

 

A[i+L]必然不等於B[L]（否則A[i..i+L]==B[0..L]，因為i+L<=p，所以A[i..i+L]==B[i-k..i-k+L]，這樣B[0..L]==B[i-k..i-k+L]，故next[i-k]的值應為L+1或更大），這樣， 可以直接得到ex[i]=L！
　　　　

　　　　（2）i+k-L+1>=p-k，即i+L>p。這時，首先可以知道A[i..p]和B[0..p-i]是相等的（因為A[i..p]==B[i-k..p-k]，而i+k-L+1>=p-k，由B[0..L-1]==B[i-k..i-k+L-1]可得B[0..p-i]==B[i-k..p-k]，即A[i..p]==B[0..p-i]），然

 

后，對於A[p+1]和B[p-i+1]是否相等，目前是不知道的（因為前面已經說過，p是目前A串中匹配到的最遠位置，在p之后無法知道任何一位的匹配信息），因此，要從A[p+1]與B[p-i+1]開始往后繼續匹配（設j為目前

 

B的匹配位置的下標，一開始j=p-i+1，每次比較A[i+j]與B[j]是否相等，直到不相等或者越界為止，此時的j值就是ex[i]的值）。在這種情況下，p的值必然會得到延伸，因此更新k和p的值。

　　　　

　　　　邊界：ex[0]的值需要預先求出，然后將初始的k設為0，p設為ex[0]-1。

 

對於求next數組，也是“自身匹配”，類似KMP的方法處理即可。唯一的不同點也在邊界上：可以直接知道next[0]=lenB，next[1]的值預先求出，然后初始k=1，p=ex[1]。

需要嚴重注意的是，在上述的情況（2）中，本該從A[p+1]與B[p-i+1]開始匹配，但是，若p+1<i，也就是p-i+1<0（這種情況是有可能發生的，當ex[i-1]=0，且前面的ex值都沒有延伸到i及以后的時候）的話，需要將A、B的下標都加1（因為此時p必然等於i-2，如果A、B的下標用兩個變量x、y控制的話，x和y都要加1）！！

【時間復雜度分析】

　　　　在KMP和擴展KMP中，不管是A串還是B串，其匹配位置都是單調遞增的，故總時間復雜度是線性的，都為O(lenA + lenB)（只是擴展KMP比KMP的常數更大一些）。

【應用】

　　　　KMP和擴展KMP在解決字符串問題中有大用。很多看上去很猥瑣的字符串問題，都可以歸結到這兩種算法之中。另外，這里的“字符串”可以延伸為一切類型的數組，而不僅僅是字符數組。

 

C/C++ 模板
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 101010;
int next[N],extand[N];
void getnext(char *T){// next[i]: 以第i位置開始的子串 與 T的公共前綴 
     int i,length = strlen(T);
     next[0] = length;
     for(i = 0;i<length-1 && T[i]==T[i+1]; i++);
          next[1] = i;
          int a = 1;
          for(int k = 2; k < length; k++){
                  int p = a+next[a]-1, L = next[k-a];
                  if( (k-1)+L >= p ){
                       int j = (p-k+1)>0? (p-k+1) : 0; 
                       while(k+j<length && T[k+j]==T[j]) j++;// 枚舉(p+1，length) 與(p-k+1,length) 區間比較 
                       next[k] = j, a = k;
                  } 
                  else next[k] = L;
         } 
}
void getextand(char *S,char *T){
   memset(next,0,sizeof(next)); 
         getnext(T); 
         int Slen = strlen(S), Tlen = strlen(T), a = 0;
         int MinLen = Slen>Tlen?Tlen:Slen;
         while(a<MinLen && S[a]==T[a]) a++;
         extand[0] = a, a = 0;
         for(int k = 1; k < Slen; k++){
              int p = a+extand[a]-1, L = next[k-a];  
              if( (k-1)+L >= p ){
                   int j = (p-k+1)>0? (p-k+1) : 0; 
                   while(k+j<Slen && j<Tlen && S[k+j]==T[j] ) j++; 
                   extand[k] = j;a = k; 
              } 
              else extand[k] = L;         
         }
}

int main(){
             char s[N],t[N];
             while(~scanf("%s %s",s,t)){
                      getextand(s,t); 
                      for(int i = 0; i < strlen(t); i++)
                               printf("%d ",next[i]);
                      puts(""); 
                      for(int i = 0; i < strlen(s); i++)
                               printf("%d ",extand[i]);
                      puts("");
             } 
}
/*
aaaabaaa aaaa
*/