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dinic （最大流） 算法 講解

本文轉載自   查看原文   2012-09-13 18:26   4670    圖論——網絡流

 

網絡流入門—用於最大流的Dinic算法

轉自：http://comzyh.tk/blog/archives/568/

“網絡流博大精深”—sideman語

Drainage Ditches

一個基本的網絡流問題


感謝WHD的大力支持

 

最早知道網絡流的內容便是最大流問題，最大流問題很好理解：

解釋一定要通俗!

如右圖所示,有一個管道系統,節點{1,2,3,4},有向管道{A,B,C,D,E},即有向圖一張. [1]是源點,有無限的水量,[4]是匯點,管道容量如圖所示.試問[4]點最大可接收的水的流量?

這便是簡單的最大流問題,顯然[4]點的最大流量為50

死理性派請注意:流量是單位時間內的,總可以了吧!

然而對於復雜圖的最大流方法是什么呢,有EK,Dinic,SAP,etc.下面介紹Dinic算法(看代碼的直接點這)

Dinic 算法

Dinic算法的基本思路:
  1. 根據殘量網絡計算層次圖。
  2. 在層次圖中使用DFS進行增廣直到不存在增廣路
  3. 重復以上步驟直到無法增廣

引自NOCOW,相當簡單是吧...

小貼士:

一般情況下在Dinic算法中,我們只記錄某一邊的剩余流量.

  • 殘量網絡:包含反向弧的有向圖,Dinic要循環的,每次修改過的圖都是殘量網絡,
  • 層次圖:分層圖,以[從原點到某點的最短距離]分層的圖,距離相等的為一層,(比如上圖的分層為{1},{2,4},{3})
  • DFS:這個就不用說了吧...
  • 增廣  :在現有流量基礎上發現新的路徑,擴大發現的最大流量(注意:增加量不一定是這條路徑的流量,而是新的流量與上次流量之差)
  • 增廣路:在現有流量基礎上發現的新路徑.(快來找茬,和上一條有何不同?)
  • 剩余流量:當一條邊被增廣之后(即它是增廣路的一部分,或者說增廣路通過這條邊),這條邊還能通過的流量.
  • 反向弧:我們在Dinic算法中,對於一條有向邊,我們需要建立另一條反向邊(弧),當正向(輸入數據)邊剩余流量減少I時,反向弧剩余流量增加I
Comzyh的較詳細解釋(流程) :


Dinic動畫演示

  1. 用BFS建立分層圖  注意:分層圖是以當前圖為基礎建立的,所以要重復建立分層圖
  2. 用DFS的方法尋找一條由源點到匯點的路徑,獲得這條路徑的流量I 根據這條路徑修改整個圖,將所經之處正向邊流量減少I,反向邊流量增加I,注意I是非負數
  3. 重復步驟2,直到DFS找不到新的路徑時,重復步驟1

注意(可以無視):

  • Dinic(其實其他的好多)算法中尋找到增廣路后要將反向邊增加I
  • Dinic中DFS時只在分層圖中DFS，意思是說DFS的下一個節點的Dis(距源點的距離)要比自己的Dis大1,例如在圖1中第一個次DFS中,1->2->4 這條路徑是不合法的,因為Dis[2]=1;Dis[4]=1;
  • 步驟2中"獲得這條路徑的流量I "實現:DFS函數有參量low,代表從源點到現在最窄的(剩余流量最小)的邊的剩余流量,當DFS到匯點是,Low便是我們要的流量I
對於反向弧(反向邊)的理解:

這一段不理解也不是不可以,對於會寫算法沒什么幫助,如果你着急,直接無視即可.
先舉一個例子(如右圖):

必須使用反向弧的流網絡

 

必須使用反向弧的流網絡

在這幅圖中我們首先要增廣1->2->4->6,這時可以獲得一個容量為 2的流,但是如果不建立4->2反向弧的話,則無法進一步增廣,最終答案為2,顯然是不對的,然而如果建立了反向弧4->2,則第二次能進行 1->3->4->2->5->6的增廣,最大流為3.

 

Comzyh對反向弧的理解可以說是"偷梁換柱",請仔細閱讀: 在上面的例子中,我們可以看出,最終結果是1->2->5->6和1->2->4->6和 1->3->4->6.當增廣完1->2->4->6(代號A)后,在增廣 1->3->4->2->5->6(代號B),相當於將經過節點2的A流從中截流1(總共是2)走2->5>6,而不走2->4>6了,同時B流也從節點4截流出1(總共是1)走4->6而不是4->2->5->6,相當於AB流做加法.

 

簡單的說反向弧為今后提供反悔的機會,讓前面不走這條路而走別的路.

Dinic算法的程序實現

最大流算法一直有一個入門經典題:POJ 1273 或者是UCACO 4_2_1 來自NOCOW(中文) 這兩個是同一個題

給出這道題的代碼

 

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<cmath>
 4 #include<iostream>
 5 #include<algorithm>
 6 #include< set>
 7 #include<map>
 8 #include<queue>
 9 #include<vector>
10 #include< string>
11  #define Min(a,b) a<b?a:b
12  #define Max(a,b) a>b?a:b
13  #define CL(a,num) memset(a,num,sizeof(a));
14  #define eps  1e-12
15  #define inf   0x7fffffff
16 
17  // freopen("data.txt","r",stdin);
18  const  double pi  = acos(- 1.0);
19 typedef   __int64  ll;
20  const  int maxn =  300 ;
21  using  namespace std;
22  int n , m;
23  int flow[maxn][maxn],dis[maxn] ; // dis[i],表示  到 原點  s 的 層數 
24    
25  int bfs() //  重新 建 圖 （按 層數 建圖）
26  {
27     CL(dis,- 1);
28     dis[ 1] =  0 ;
29     queue< int>que;
30     que.push( 1);
31      while(!que.empty())
32     {
33          int  k = que.front();que.pop() ;
34          for(  int i =  1;i<= n;i++)
35         {
36              if(flow[k][i] >  0 && dis[i] <  0 ) //  如果 可以  可以到達 但 還沒有 訪問
37              {
38                 dis[i] = dis[k]+  1 ;
39                 que.push(i) ;
40             }
41         }
42     }
43 
44      if(dis[n] >  0)  return  1;
45      else  return   0 ;
46 
47 }
48  int  dfs( int x, int mx) //  查找  路徑上的 最小 的 流量
49  {
50 
51      int i , a ;
52      if(x == n)  return mx ;
53 
54      for(i =  1;i<= n;i++)
55     {
56          if(flow[x][i] >  0 && dis[i] == dis[x] +  1  && (a =dfs(i,min(mx,flow[x][i]))))
57         {
58             flow[x][i] -= a;
59             flow[i][x] += a;
60              return a ;
61 
62 
63         }
64     }
65      return  0 ;
66 }
67  int main()
68 {
69      // freopen("data.txt","r",stdin);
70       int i ,s,e,c;
71      while(scanf( " %d%d ",&m,&n)!=EOF)
72     {
73         CL(flow, 0);
74          for(i =  0  ; i < m;i++)
75         {
76             scanf( " %d%d%d ",&s,&e,&c);
77             flow[s][e] += c;
78         }
79        int ans =  0;
80        int res;
81 
82        while(bfs())
83       {
84 
85 
86           while(res = dfs( 1,inf)) ans+= res ;
87 
88       }
89       printf( " %d\n ",ans);
90     }
91 
92 }

 更高效的 dinic

 

hdu 4292   Food 

 

 

 

#include<cstdio>
  #include<cstring>
  #include<cmath>
  #include<iostream>
  #include<algorithm>
  #include< set>
  #include<map>
  #include<queue>
  #include<vector>
  #include< string>
  #define INF 0x3fffffff
  #define F(x) (x)
  #define N(x) (205+(x))
  #define CPN(x) (410+(x))
  #define D(x) (615+(x))
  #define maxn 250
  #define CL(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
  #define Pnum 210
  using  namespace std;
 
   int next[maxn* 20],dis[maxn* 10];
   int s,e;
   int  n, fnum ,dnum ,f[maxn],d[maxn],cnt;
   struct node
  {
       int to;
       int cap ;
       int next ;
  }p[ 200000] ;
    int que[maxn*maxn] ,idx;
 
   void add( int x, int y, int cap)// 建邊 注意 反向邊的流量為 0
  {
      p[cnt].to = y;
      p[cnt].cap = cap ;
      p[cnt].next = next[x];
      next[x] = cnt++ ;
 
      p[cnt].to = x;
      p[cnt].cap =  0;
      p[cnt].next = next[y];
      next[y] = cnt++ ;
  }
   int bfs() //  重新 建 圖 （按 層數 建圖）
  {
 
      memset(dis, 0xff, sizeof(dis)) ;
      dis[s] =  0 ;
      queue< int>que;
      que.push(s);
 
       while(!que.empty())
      {
 
           int  k = que.front();que.pop() ;
           for(  int i = next[k];i!=- 1;i = p[i].next)
          {
               int v = p[i].to;
 
 
               int cap = p[i].cap ;
 
               if(cap >  0 && dis[v] <  0 ) //  如果 可以  可以到達 但 還沒有 訪問
              {
 
                  dis[v] = dis[k]+  1 ;
                  que.push(v) ;
              }
          }
 
      }
 
 
       if(dis[e] >  0)  return  1;
       else  return   0 ;
 
  }
 
  
 
   int  dfs( int x, int mx) //  查找  路徑上的 最小 的 流量
  {
 
       int i , a ,tf =   0;
 
       if(x == e)  return mx ;
 
       for(i = next[x];i!= -  1;i = p[i].next)
      {
           int v = p[i].to ;
           int cap = p[i].cap ;
           if(cap >  0 && dis[v] == dis[x] +  1  && (a =dfs(v,min(cap,mx))))
          {
 
              p[i].cap -= a;
              p[i^ 1].cap += a;
 
                 return a;
 
 
          }
      }
       if(!tf) dis[x] = - 1; //  沒有 找到 最小流量 ，說明 從這個點到不了 終點 ，所以  標記一下
       return tf ;
  }
 
 
 
 
  
   int main()
  {
      int i , j ;
      char c[ 250] ;
       // freopen("data.txt","r",stdin) ;
      while(scanf( " %d%d%d ",&n,&fnum,&dnum)!=EOF)
     {
 
         CL(next,- 1) ;
         cnt =  0;
          s =  0;
          e =  2000;
           for(i =  1 ; i <= fnum;i++)
          {
              scanf( " %d ",&f[i]);
          }
           for(i =  1 ; i<= dnum;i++)
          {
              scanf( " %d ",&d[i]) ;
          }
           for(i =  1; i <= n;i++) //   人 和 吃的
          {
              scanf( " %s ",c);
               for(j =  0 ;  j< fnum ;j++)
              {
                   if(c[j] ==  ' Y ')
                  {
 
                      add(j +  1,i + Pnum, 1) ;
                  }
              }
 
          }
           for(i =  1; i<= n;i++) //   人 和 喝的
          {
              scanf( " %s ",c);
               for(j =  0 ;  j< dnum ;j++)
              {
                   if(c[j] ==  ' Y ')
                  {
 
                      add(i + Pnum* 2,j + Pnum* 3 +  1, 1) ;
                  }
              }
 
          }
           for(i =  1; i <= fnum;i++) // 增加源點
          {
 
              add( 0,i,f[i]) ;
          }
           for(i = Pnum* 3  +  1,j =  1; j <= dnum;i++,j++) // 增加 匯點
          {
 
              add(i,e,d[j]) ;
 
          }
 
           for(i =  1; i <= n;i++) //   將人 拆分
          {
 
              add(i + Pnum,i +Pnum* 2, 1);
          }
             int ans =  0;
         int res;
 
         while(bfs())
        {
 
 
            while(res = dfs(s,INF)) ans+= res ;
 
        }
        printf( " %d\n ",ans);
     }
  }

 


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