網易有道筆試：求連通圖的割點（關節點）

題目：求一個連通圖的割點，割點的定義是，如果除去此節點和與其相關的邊，圖不再連通，描述算法。

分析：

1. 最簡單也是最直接的算法是，刪除一個點然后判斷連通性，如果刪除此點，圖不再連通，則此點是割點，反之不是割點（圖的連通性一般通過深搜來判定，是否能一次搜索完 全部頂點）；

2. 通過深搜優先生成樹來判定。從任一點出發深度優先遍歷得到優先生成樹，對於樹中任一頂點Ｖ而言，其孩子節點為鄰接點。由深度優先生成樹可得出兩類割點的特性：

     （１）若生成樹的根有兩棵或兩棵以上的子樹，則此根頂點必為割點。因為圖中不存在連接不同子樹頂點的邊，若刪除此節點，則樹便成為森林；

     （２）若生成樹中某個非葉子頂點V，其某棵子樹的根和子樹中的其他節點均沒有指向V的祖先的回邊，則V為割點。因為刪去v，則其子樹和圖的其它部分被分割開來。

仍然利用深搜算法，只不過在這里定義visited[v]表示為深度優先搜索遍歷圖時訪問頂點v的次序號，定義low[v]=Min{visited[v]，low[w]，visited[k]}，其中w是頂點v在深度優先生成樹上的孩子節點；k是頂點v在深度優先生成樹上由回邊聯結的祖先節點。

   割點判定條件：如果對於某個頂點v，存在孩子節點w且low[w]>=visited[v]，則該頂點v必為關節點。因為當w是v的孩子節點時，low[w]>=visited[v]，表明w及其子孫均無指向v的祖先的回邊，那么當刪除頂點v后，v的孩子節點將於其他節點被分割開來，從來形成新的連通分量。

#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;

#define MAX_VERTEX_NUM 13

//鄰接表存儲結構
typedef struct ArcNode{
    int adjvex;
    ArcNode *nextarc;
}ArcNode;

typedef struct VNode{
    string data;
    ArcNode* firstarc;
}VNode,AdjList[MAX_VERTEX_NUM];

typedef struct{
    AdjList vertices;
    int vexnum, arcnum;
}ALGraph;

//返回u在圖中的位置
int LocateVex(ALGraph G, string u)
{
    for(int i=0; i<G.vexnum; i++)
        if(G.vertices[i].data==u)
            return i;
    return -1;
}

//構造圖
void CreateDG(ALGraph &G)
{
    string v1, v2;
    int i, j, k;
    cout<<"請輸入頂點數和邊數：";
    cin>>G.vexnum>>G.arcnum;

    cout<<"請輸入頂點：";
    for(i=0; i<G.vexnum; i++)
    {
        cin>>G.vertices[i].data;
        G.vertices[i].firstarc=NULL;
    }

    cout<<"請輸入邊："<<endl;
    for(k=0; k<G.arcnum; k++)
    {
        cin>>v1>>v2;
        i=LocateVex(G, v1);
        j=LocateVex(G, v2);

        //無向圖
        ArcNode *arc=new ArcNode;
        arc->adjvex=j;
        arc->nextarc=G.vertices[i].firstarc;
        G.vertices[i].firstarc=arc;

        arc=new ArcNode;
        arc->adjvex=i;
        arc->nextarc=G.vertices[j].firstarc;
        G.vertices[j].firstarc=arc;
    }

}

//求割點
int count ;
int visited[MAX_VERTEX_NUM];
int low[MAX_VERTEX_NUM];

//從第v0個頂點出發深搜，查找並輸出關節點（割點）
void DFSArticul(ALGraph G, int v0)
{
    int min, w;
    ArcNode *p;
    visited[v0]=min=++count;//v0是第count個訪問的頂點，min的初值為visited[v0]，即v0的訪問次序

    for(p=G.vertices[v0].firstarc; p ; p=p->nextarc)
    {
        w=p->adjvex;
        if(visited[w]==0)//w未曾訪問，是v0的孩子
        {
            DFSArticul(G, w);//從第w個頂點出發深搜，查找並輸出關節點（割點），返回前求得low[w]
            if(low[w]<min)//如果v0的孩子節點w的low[]小，說明孩子節點還與其他節點（祖先）相鄰
                min=low[w];
            if(low[w]>=visited[v0])//v0的孩子節點w只與v0相連，則v0是關節點（割點）
                cout<<G.vertices[v0].data<<" ";
        }
        else if(visited[w]<min)//w已訪問，則w是v0生成樹上祖先，它的訪問順序必小於min
            min=visited[w];
    }

    low[v0]=min;//low[v0]取三者最小值

}

void FindArticul(ALGraph G)
{
    int i, v;
    ArcNode *p;
    count=1;
    visited[0]=1;//從0號節點開始
    for(i=1; i<G.vexnum; i++)
        visited[i]=0;
    p=G.vertices[0].firstarc;
    v=p->adjvex;
    DFSArticul(G, v);
    if(count<G.vexnum)
    {
        cout<<G.vertices[0].data<<" ";
        while(p->nextarc)
        {
            p=p->nextarc;
            v=p->adjvex;
            if(visited[v]==0)
                DFSArticul(G, v);
        }
    }
}

void main()
{
    ALGraph g;
    CreateDG(g);

    cout<<"割點如下: "<<endl;
    FindArticul(g);
    cout<<endl;
}