問題定義：
給定n個整數（可能為負數）組成的序列a[1],a[2],a[3],…,a[n],求該序列如a[i]+a[i+1]+…+a[j]的子段和的最大值(0<i<j<n)。當所給的整均為負數時定義子段和為0，依此定義，比如{5,-3,4,2}的最大子序列就是 {5,-3,4,2}，它的和是8,達到最大；而 {5,-6,4,2}的最大子序列是{4,2}，它的和是6。
方法一：學過程序設計的都會，那就是枚舉i和j，求i和a[i]到a[j]之間的和的最大值。
int maxsub(int *a,int n)
{
int i,j,k,maxn=0;
for(i = 0 ; i < n ; i++)
{
for(j = i+1 ; j < n ;j++)
{
int temp_max = 0 ;
for(k = i ; k <= j ;k++)
{
temp_max+=a[k];
}
if(temmax > maxn)
{
maxn = temp_max;
}
}
}
return maxn;
}
時間復雜度O（n^3）。這顯然是不能接受滴。其實這其中進行了大量的重復計算。
方法二：
可以把字段和結果線計算出來啊，存儲到s[]數組中，即預處理
int sum = 0.s[n];
for(i = 0 ; i < n ; i++)
{
sum+=a[i];
s[i]=sum;
}
這樣在每次計算a[i]到a[j]之間的數和的時候就等於s[j]-s[i]。如此優化時間復雜度變為O（n^2）.好一些了，能不能優化呢？顯然在優化就是O（n*logn）和O（n）了吧！
方法三：
考慮能不能有O（n*logn）的算法呢？當然有了……
如果將給定的序列a[1..n]分成長度相等的兩段a[1..n/2]和a[n/2+1:n]，分別求出這兩段的最大字段和。則該給定序列的最大字段和有三種情行：
1）和a[1..n/2]的最大字段和相同。
2）和a[n/2+1:n]的最大字段和相同。
3）最大字段和包含兩部分，一部分在中，另一部分在a[n/2+1..n]中。
前兩種情形我們可以用遞歸方法求出，第三種情形可以分別求出兩部分的最大字段和值再相加（注：a[1..n/2]這部分求最大字段和要以a[n/2]結束，a[n/2+1..n] 這部分求最大字段和要以a[n/2+1]開始）。序列的最大字段和即為這三種情形的最大值。
int maxSubItem(int *a,int low,int high)
{
int s1,s2,s31,s32,i,j;
int sum;
int mid = ( low + high ) / 2;
if(low == high)
return a[low];
else
{
s1 = maxSubItem(a,low,mid);
s2 = maxSubItem(a,mid+1,high);
i = mid;
s31 = a[mid];
while ((s31 + a[i-1] > s31) && (i > low))
{
s31 += a[i-1];
i--;
}
j = mid + 1;
s32 = a[mid + 1];
while ((s32 + a[j + 1] > s32) && (j < high))
{
s32 += a[j + 1];
j++;
}
sum = s31 + s32;
if(sum < s1) sum = s1;
if(sum < s2) sum = s2;
}
}
這種情況下，顯然時間復雜度為O(n*logn)。要是有O（n）的算法該多好呢？事實上還真有。這自然就是要想到動態規划了吧！！！
方法四：
int maxsub(int a,int n)
{
int temp = 0,maxn = -INF,k=1
int start,end;
for(i = 1 ; i <= n ;i++)
{
temp+=a[i];
if(temp > maxn)
{
maxn = temp;start = k ;end = i;
}
if(temp < 0)
{
temp = 0;k = i+1;
}
}
return maxn;
}
分析一下這個算法，借用了一個臨時變量temp，其實有三種情況：
1. 若temp>maxn則更新maxn，並保存開始和結束位置；
2. 若temp<0則令temp = 0，因為temp<0則不可能繼續用temp更新最大值了；
3. 若0<temp<maxn，則不作操作，這是temp被認為是有潛力的，可能會用來更新后面的值。這樣的一次遍歷搜索到了所有的最大值。
（temp的使用時關鍵，好好理解這種思想。理解不了也沒關系，這是比較難想的方法。）