白話紅黑樹系列之二——紅黑樹的構建

　　上一篇寫了關於紅黑樹基本性質的東西，這篇來說一說如何創建一棵紅黑樹吧。

　　如果對紅黑樹的基本性質還有疑問，請先查看一下我的前一篇：http://www.cnblogs.com/unpolishedgem/archive/2012/05/16/2504311.html。

　　如果圖片打不開的話，就去看我的csdn博客：http://blog.csdn.net/arge129。

　　紅黑樹是一種二叉查找樹，那么我們可以使用插入的方法來創建一棵紅黑樹，為此，我們先來介紹關於紅黑樹的一些基本操作。

　　1. 旋轉

　　旋轉是一種能保持二叉查找樹性質的查找樹局部操作，包括左旋和右旋兩種操作。

　　如下圖所示，在x結點上做左旋時，我們假設它的右孩子不是nil[T]；x可以是樹內任意右孩子不是nil[T]的結點。算法導論里面講到“左旋以x到y之間的鏈為支軸進行。”我沒太理解這句話，但是我是這么想象的，如下圖中的曲線箭頭所示，左旋就是x下移，y上移，箭頭所示方向為左，右旋就是x上移，y下移，箭頭所示方向為右。

 

　　值得注意的是，在旋轉過程中，只會有指針結構的變化，不會有顏色的變化，因此在上面的圖中，我沒有畫出結點的顏色。

旋轉的偽代碼，我就不寫了，在算法導論里面都有，下面我把我寫的旋轉代碼給貼過來吧，當然還是Java版的。

/**
     * 左旋
     * @author Alfred
     * @param x 輸入結點
     */
    private void leftRotated(RBTreeNode x){
        RBTreeNode y = x.getRight();
        //x的右孩子y不能是NIL_T，如果是的話，直接返回。
        if(y == NIL_T){
            return;
        }
        //將y的左子樹變為x的右子樹
        //設置x的右子樹
        x.setRight(y.getLeft());
        //設置y的右子樹的父結點為x
        if(y.getLeft() != NIL_T){
            y.getLeft().setParent(x);
        }
        //將x的父結點設置為y的父結點
        y.setParent(x.getParent());
        //如果x是根結點，則更換根結點
        if(x.getParent() == NIL_T){
            rootNode = y;
        }else if(x == x.getParent().getLeft()){
            //如果x是其父結點的左孩子，則將y設為其父結點的左孩子
            x.getParent().setLeft(y);
        }else{
            //如果x是其父結點的右孩子，則將y設為其父結點的右孩子
            x.getParent().setRight(y);
        }
        //y的左孩子為x
        y.setLeft(x);
        //x的父結點為y
        x.setParent(y);
    }
    /**
     * 右旋
     * @author Alfred
     * @param y 輸入結點
     */
    private void rightRotated(RBTreeNode y){
        RBTreeNode x = y.getLeft();
        //y的左孩子x不能是NIL_T，如果是的話，直接返回。
        if(x == NIL_T){
            return;
        }
        //將x的右子樹變為y的左子樹
        //設置y的左子樹
        y.setLeft(x.getRight());
        //設置x的右子樹的父結點為y
        if(x.getRight() != NIL_T){
            x.getRight().setParent(y);
        }
        //將y的父結點設置為x的父結點
        x.setParent(y.getParent());
        //如果y是根結點，則更換根結點
        if(y.getParent() == NIL_T){
            rootNode = x;
        }else if(y == y.getParent().getLeft()){
            //如果y是其父結點的左孩子，則將x設為其父結點的左孩子
            y.getParent().setLeft(x);
        }else{
            //如果y是其父結點的右孩子，則將x設為其父結點的右孩子
            y.getParent().setRight(x);
        }
        //x的右孩子為y
        x.setRight(y);
        //y的父結點為x
        y.setParent(x);
    }

　　2. 插入

　　既然紅黑樹是一棵二叉查找樹，那么我們就可以像二叉查找樹那樣為紅黑樹插入一個元素。我們將二叉查找樹的插入算法做一個略微的修改，我們將結點z插入到樹中，就像樹T是一棵普通的二叉查找樹一樣，然后將z着為紅色，為保持紅黑樹的性質，我們需要對樹中的結點進行重新着色並旋轉。如果對二叉查找樹的插入操作不熟悉，請閱讀我之前寫過的博客：http://www.cnblogs.com/unpolishedgem/archive/2012/05/10/2494403.html。

　　我們來分析一下，在插入過程中可能違反的性質有哪幾個。為此，我把紅黑樹的性質再抄寫一次。

　　一棵二叉查找樹如果滿足下面的紅黑性質，則為一棵紅黑樹：

　　1) 每個結點是或是紅的，或是黑的。

　　2) 根結點是黑的。

　　3) 每個葉結點（nil[T]）是黑的。

　　4) 如果一個結點是紅的，那么它的兩個兒子是黑的。

　　5) 對每個結點，從該結點到其子孫結點的所有路徑上包含相同數目的黑結點。

　　首先，我們插入的結點是紅色的，因此不會違反性質1)和性質5)，性質3)自然成立。唯一可能被破壞的是2)和4)。而且，2)和4)至多有一個性質被破壞。性質2)被破壞時的修復很簡單，只需要將根結點重新着色為黑色即可。而性質4)被破壞的修復則要復雜一些，具體分為三種請況。

　　情況1)：z的叔叔y是紅色的。

　　如下圖所示，如果z的叔叔y是紅色的，將z的父結點和y着色為黑色，然后將z的祖父結點着色為紅色，最后將z的祖父結點作為新的z結點進行迭代檢查，因為z的祖父結點原來是紅色的，被着色為黑色的時候，有可能會引起紅黑樹性質的破壞。

 

　　情況2)：z的叔叔y是黑色的，而且z是右孩子。

　　情況3)：z的叔叔y是黑色的，而且z是左孩子。

　　如下圖所示，如果是情況2)，我們可以立即使用一個左旋變成情況3)。情況3)中，首先交換了B和C的顏色，然后通過一個右旋來使整個樹達到了滿足性質4)。

　　從這三種情況來看，可以發現一個非常有趣的事情，那就是該過程所做的旋轉從不超過兩次，因為只有情況1)會繼續將z上移進行紅黑性質檢查，而一旦進入了情況2)或者情況3)，就不會再進行檢查了。

　　同樣，偽代碼就不寫了，算法導論上都有，在此只寫Java實現代碼。

/**
     * 插入操作
     * @author Alfred
     * @param k
     */
    public void treeInsert(int k){
        RBTreeNode z = new RBTreeNode(k, NodeColor.RED);
        RBTreeNode y = NIL_T;
        RBTreeNode x = rootNode;
        //與二叉查找樹的插入過程類似
        while(x != NIL_T){
            y = x;
            if(z.getKey() < x.getKey()){
                x = x.getLeft();
            }else{
                x = x.getRight();
            }
        }
        z.setParent(y);
        if(y == NIL_T){
            rootNode = z;
        }else if(z.getKey() < y.getKey()){
            y.setLeft(z);
        }else{
            y.setRight(z);
        }
        z.setLeft(NIL_T);
        z.setRight(NIL_T);
        //進行修復
        rbInsertFixUp(z);
    }
    /**
     * 修復插入操作引起的不滿足的紅黑性質
     * @author Alfred
     * @param z 要修復的結點
     */
    private void rbInsertFixUp(RBTreeNode z){
        RBTreeNode y = null;
        while(z.getParent().getColor() == NodeColor.RED){
            //如果z的父結點是z的祖父結點的左孩子
            if(z.getParent() == z.getParent().getParent().getLeft()){
                y = z.getParent().getParent().getRight();
                //情況1)，z的叔叔y的顏色是紅色的。
                if(y.getColor() == NodeColor.RED){
                    z.getParent().setColor(NodeColor.BLACK);
                    y.setColor(NodeColor.BLACK);
                    z.getParent().getParent().setColor(NodeColor.RED);
                    z = z.getParent().getParent();
                }else if(z == z.getParent().getRight()){
                    //情況2),z的叔叔y的顏色是黑色的，且z是其父結點的右孩子
                    z = z.getParent();
                    leftRotated(z);
                    //情況2)經過左旋之后變為情況3),z的叔叔y的顏色是黑色的，且z是其父結點的左孩子
                    z.getParent().setColor(NodeColor.BLACK);
                    z.getParent().getParent().setColor(NodeColor.RED);
                    rightRotated(z.getParent().getParent());
                }
            }else{
                //與上面情況類似。
                y = z.getParent().getParent().getLeft();
                if(y.getColor() == NodeColor.RED){
                    z.getParent().setColor(NodeColor.BLACK);
                    y.setColor(NodeColor.BLACK);
                    z.getParent().getParent().setColor(NodeColor.RED);
                    z = z.getParent().getParent();
                }else if(z == z.getParent().getLeft()){
                    z = z.getParent();
                    rightRotated(z);
                    z.getParent().setColor(NodeColor.BLACK);
                    z.getParent().getParent().setColor(NodeColor.RED);
                    leftRotated(z.getParent().getParent());
                }
                
            }
        }
        //修復性質2)
        rootNode.setColor(NodeColor.BLACK);
    }

ps：寫博客很累，轉載的朋友請注明出處，謝謝。