原文:单变量微积分笔记20——三角替换1(sin和cos)

sin和cos的常用公式 基本公式: 半角公式: 微分公式: 积分公式: 三角替换 示例 根据微分公式,cosxdx dsinx 示例 示例 半角公式 示例 示例 解法 : 解法 : 综合示例 示例 示例 示例 三角函数和x的倍数都不一样,我们的目标是将x的倍数和三角函数转换为一致。 示例 y sin ax 绕x轴旋转一周,ax的定义域是 , ,求旋转后图形的体积。 根据圆盘法 圆盘法参见数学笔记 ...

2017-11-15 22:57 0 3747 推荐指数:

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变量微积分笔记21——三角替换2(tan和sec)

tan和sec常用公式   我一直认为三角函数中只有sincos是友好的,其它都是变态。现在不得不接触一些变态:   这些变态的相关等式: 等式的证明   这个稍有点麻烦,先要做一些前置工作。 三角替换 示例1   ∫sec4xdx = ? 示例 ...

Fri Nov 17 07:00:00 CST 2017 0 1047
变量微积分笔记11——变量替换

  在二重积分中,极坐标替换是一种特殊情况,更一般的变量替换后的面积元是通过雅可比行列式来关联,替换后的积分域也会随之变动。 变量替换   二重积分可以计算面积,现在有一个椭圆 (x/a)2 + (y/b)2 = 1,如何计算该椭圆的面积?   很容易写出Area = ∫∫Rdxdy ...

Fri Mar 30 00:53:00 CST 2018 1 3513
变量微积分笔记20——球坐标系

  球坐标系是三维坐标系的一种,用以确定三维空间中点、线、面以及体的位置,它以坐标原点为参考点,由方位、仰角和距离构成。球坐标系在地理学、天文学中都有着广泛应用。 球坐标系   球坐标中是这样表示空间中一点的:用ρ表示点到原点的距离,0 ≤ ρ≤ +∞;在ρz平面上,从z轴正半轴向ρ偏转 ...

Thu May 24 03:10:00 CST 2018 0 3916
变量微积分笔记13——定积分

  定积分积分的一种,是函数f(x)在区间[a,b]上的积分和的极限。这里应注意定积分与不定积分之间的关系:若定积分存在,则它是一个具体的数值(曲边梯形的面积),而不定积分是一个函数表达式,它们仅仅在数学上有一个计算关系(牛顿-莱布尼茨公式),其它一点关系都没有!一个函数,可以存在不定积分 ...

Wed Oct 18 06:48:00 CST 2017 0 2055
变量微积分笔记24——分部积分

  不是所有被积函数都能解析地写出原函数。对于那些可能写出来的函数,也需要一定的积分技巧才能随心所欲,分部积分正是其中很重要的一种技巧。 基本公式   部分积分演变自积分的乘法法则: 示例1   看起来很难对付,现在尝试用部分积分解决。   令u = lnx,u’ = (lnx ...

Fri Nov 24 06:42:00 CST 2017 0 1458
变量微积分笔记14——微积分第一基本定理

微积分第一基本定理   如果F’(x) = f(x),那么:   如果将F用不定积分表示,F =∫f(x)dx,微积分第一基本定理可以看作为是两个不定积分赋予特定的值,再用符号连接起来,计算具体的数值。   这里引入一个新符号:   于是: 示例1   示例 ...

Wed Oct 25 06:43:00 CST 2017 0 4554
变量微积分笔记15——微积分第二基本定理

微积分第二基本定理   这里需要注意t与x的关系,它的意思是一个函数能够找到相应的积分方式去表达。如果F’=f,则:   下面是第二基本定理的证明。   证明需要采用画图法,如上图所示,曲线是y=f(x),两个阴影部分的面积分别是G(x)和ΔG(x),其中:   当Δx足够 ...

Wed Nov 01 06:44:00 CST 2017 0 4471
 
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