生成函数
定义
生成函数又叫母函数，可以看成对代数对象的形式上的处理，利用代数方法计算计数问题，另外也是无限可微函数的幂级数展开式。分为普通生成函数和指数生成函数。
普通生成函数
序列\(h\)的普通生成函数（ordinary generating function，OGF）定义为形式幂级数：
\[g(x) = h_0+h_1x+h_2x^2+\cdots+h_nx^n+\cdots \]
\(h\)既可以是有穷序列，也可以是无穷序列。
例：牛顿二项式定理
设\(\alpha\)为实数，二项式系数的无穷数列
\[\binom{\alpha}{0},\binom{\alpha}{1},\binom{\alpha}{2},\cdots,\binom{\alpha}{n},\cdots \]
的生成函数是
\[(1+x)^\alpha = \binom{\alpha}{0}+\binom{\alpha}{1}x+\binom{\alpha}{2}x^2+\cdots+\binom{\alpha}{n}x^n+\cdots \]
封闭形式
\(1,1,1,1\cdots\)的生成函数为\(F(x)=\sum_{i \ge 0} x^i\)，可以转化为
\[F(x) = \frac{1}{1-x} \]
同理，等比数列\(1,p,p^2,p^3,\cdots\)可以表示为\(\frac{1}{1-px}\)。
指数生成函数
序列\(h\)的指数生成函数（exponential generating function，EGF）定义为形式幂级数：
\[g(x) = h_0+h_1x+h_2\frac{x^2}{2!}+\cdots+h_n\frac{x^n}{n!}+\cdots \]
\(h\)既可以是有穷序列，也可以是无穷序列。
\(h\)的指数生成函数也可以看成\(\{\hat{h}|\hat{h_i} = \frac{h_i}{i!}\}\)的普通生成函数。
例：\(e^x\)
\(1,1,1,1\cdots\)的指数生成函数为
\[g(x)=\sum_{i=0}^{\infin} \frac{x^i}{i!}=e^x \]
一般地，\(1,a,a^2,a^3,\cdots\)的指数生成函数是
\[g(x)=\sum_{i=0}^{\infin} a^i\frac{x^i}{i!}=e^{ax} \]
用途
普通生成函数——组合
设\(h_i\)表示
\[e_1+e_2+\cdots+e_k=n \]
的非负整数解的个数。根据插板法有
\[h_n=\binom{n+k-1}{k-1} (n \geq 0) \]
\(h\)的生成函数是
\[g(x) = \sum_{n=0}^\infin \binom{n+k-1}{k-1}x^n=\frac{1}{(1-x)^k} \]
我们可以理解成是k个\(\frac{1}{1-x}\)乘在一起，也就是
\[x^n=x^{e_1}x^{e_2}\cdots x^{e^k} \]
例：[HDU2152 Fruit][https://vjudge.net/problem/HDU-2152]
答案为
\[\prod_{i=1}^{n} (\sum_{j=a_i}^{b_i} x^j) \]
中\(x^m\)系数。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mn=206;
int n,m,a,b,p[mn],q[mn];
int main()
{
while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF) {
for(int i=0;i<=m;++i) p[i]=0;
p[0]=1;
for(int i=1;i<=n;++i) {
scanf("%d%d",&a,&b);
for(int j=0;j<=m;++j) q[j]=0;
for(int j=a;j<=b;++j)
for(int k=m-j;k>=0;--k) {
q[j+k]+=p[k];
}
for(int j=0;j<=m;++j) p[j]=q[j];
}
printf("%d\n",p[m]);
}
return 0;
}
指数生成函数——排列
考虑\(n\)个元素的\(k\)排列的指数生成函数
\[g^{(e)}(x) = P(n,0)+P(n,1)x+P(n,2)\frac{x^2}{2!}+\cdots+P(n,n)\frac{x^n}{n!} \]
其中\(P(n,i) = \frac{n!}{(n-i)!}\)。我们可以发现
\[g^{(e)}(x) = \binom{n}{0}+\binom{n}{1}x+\cdots+\binom{n}{n}x^n \]
是组合数的普通生成函数。
多重集的\(k\)排列
设多重集\(S\)为\(\{n_1a_1,n_2a_2,\cdots,n_ka_k\}\)，那么其排列为
\[g(x) = \prod_{i=1}^k e^{n_ix} \]
例：[poj3734 Blocks][http://poj.org/problem?id=3734]
推出式子是
\[g(x)=\frac{e^{2n}+2e^{n}+1}{4}\\ h_n = \frac{4^n+2^{n+1}+[n==0]}{4} \]
#include <cstdio>
#define LL long long
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define pii pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define lc nd<<1
#define rc nd<<1|1
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define pLL pair<LL,LL>
using namespace std;
const int mod=10007;
template<typename T>
T qpow(T a,T b) {LL ans=1;while(b) {if(b&1) ans=ans*a%mod;a=a*a%mod;b>>=1;}return ans;}
const int mn=1e5+6;
int main()
{
int tests=1;scanf("%d",&tests);
while(tests--) {
int n;
scanf("%d",&n);
printf("%lld\n",1ll*(qpow(4,n)+qpow(2,n+1))*qpow(4,mod-2)%mod);
}
return 0;
}