使用二分法来解决的问题


作者:Grey

原文地址:使用二分法来解决的问题

在一个有序数组中,找某个数是否存在

OJ见:LeetCode 704. Binary Search

思路:

  1. 先得到中点位置,中点可以把数组分为左右半边。
  2. 如果中点位置的值等于目标值,直接返回中点位置。
  3. 如果中点位置的值小于目标值,则去数组左边按同样的方式寻找。
  4. 如果中点位置的值大于目标值,则取数组右边按同样的方式寻找。
  5. 如果最后没有找到,则返回:-1。

代码

class Solution {
    public int search(int[] nums, int target) {
        if(nums == null || nums.length < 1) {
            return -1;
        }
        int l = 0; 
        int r = nums.length - 1;
        while (l <= r) {
            int mid = l + ((r - l)>>1);
            if (target > nums[mid]) {
                l = mid + 1;
            } else if (target == nums[mid]) {
                return mid;
            } else {
                r = mid - 1;
            }
        }
        return -1;
    }
}

在一个有序数组中,找大于等于某个数最左侧的位置

OJ见:牛客-查找某个位置

这个问题只需要在上例基础上进行简单改动即可,上例中,我们找到满足条件的位置就直接return

if (target == nums[mid]) {
    return mid;
}

在本问题中,因为要找到最左侧的位置,所以,在遇到相等的时候,只需要先把位置记录下来,不用直接返回,然后继续去左侧找是否还有满足条件的位置。

同时,在遇到target < nums[mid]条件下,也需要记录下此时的mid位置,因为这也可能是满足条件的位置。

代码:

import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        int n = in.nextInt();
        int k = in.nextInt();
        int[] arr = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            arr[i] = in.nextInt();
        }
        // 虽然不排序也可以通过,但是题目未说明一定是有序数组
        Arrays.sort(arr);
        System.out.println(getNearestLeft(arr, k));
        in.close();
    }

    public static int getNearestLeft(int[] nums, int target) {
        if (nums == null || nums.length < 1) {
            return -1;
        }
        int l = 0;
        int r = nums.length - 1;
        int ans = 0;
        while (l <= r) {
            int mid = l + ((r - l) >> 1);
            if (target < nums[mid]) {
                ans = mid;
                r = mid - 1;
            } else if (target > nums[mid]) {
                l = mid + 1;
            } else {
                ans = mid;
                r = mid - 1;
            }
        }
        return ans;
    }
}

LeetCode上有很多类似的问题,都可以用如上方式解答,比如:

LeetCode 35. Search Insert Position

代码见:LeetCode_0035_SearchInsertPosition

LeetCode 34. Find First and Last Position of Element in Sorted Array

代码见:LeetCode_0034_FindFirstAndLastPositionOfElementInSortedArray

局部最大值问题

OJ见:LeetCode 162. Find Peak Element

思路

假设数组长度为N,首先判断0号位置的数和N-1位置的数是不是峰值位置。

0号位置只需要和1号位置比较,如果0号位置大,0号位置就是峰值位置。

N-1号位置只需要和N-2号位置比较,如果N-1号位置大,N-1号位置就是峰值位置。

如果0号位置和N-1在上轮比较中均是最小值,那么数组的样子必然是如下情况:

image

[0..1]区间内是增长, [N-2...N-1]区间内是下降

那么峰值位置必在[1...N-2]之间出现

此时可以通过二分来找峰值位置,先来到中点位置,假设为mid,如果:

arr[mid] > arr[mid+1] && arr[mid] > arr[mid-1]

mid位置即峰值位置

否则,有如下两种情况:

情况一,趋势是:

image

则在[1...(mid-1)]区间内继续上述二分。

情况二,趋势是:

image

则在[(mid+1)...(N-2)]区间内继续上述二分。

完整代码

public class LeetCode_0162_FindPeakElement {
    public static int findPeakElement(int[] nums) {
        if (nums.length == 1) {
            return 0;
        }
        int l = 0;
        int r = nums.length - 1;
        if (nums[l] > nums[l + 1]) {
            return l;
        }
        if (nums[r] > nums[r - 1]) {
            return r;
        }
        l = l + 1;
        r = r - 1;
        while (l <= r) {
            int mid = l + ((r - l) >> 1);
            if (nums[mid] > nums[mid + 1] && nums[mid] > nums[mid - 1]) {
                return mid;
            }
            if (nums[mid] < nums[mid + 1]) {
                l = mid + 1;
            } else if (nums[mid] < nums[mid - 1]) {
                r = mid - 1;
            }
        }
        return -1;
    }
}

分割数组的最大值

给定一个非负整数数组 nums 和一个整数 m ,你需要将这个数组分成 m 个非空的连续子数组。设计一个算法使得这 m 个子数组各自和的最大值最小。

OJ见:LeetCode 410. Split Array Largest Sum

PS: 此题也可以用四边形不等式优化的动态规划来解,但是最优解是二分法

思路

我们先求整个数组的累加和,假设累加和为sum,我们可以得到一个结论,分割的m个非空连续子数组的和的范围一定在(0,sum]区间内。转换一下思路,如果某种划分下的子数组之和的最大值为max,则max首先肯定在(0,sum]区间内。思路转换为:

子数组的累加和最大值不能超过max的情况下,最少可分多少部分?

假设能分k个部分,

如果k <= m,说明这种划分是满足条件的,我们看max是否可以变的更小。

如果k > m,说明这种划分是不满足条件的,我们需要调大max的值。

这里可以通过二分的方式来定位max的值。即max先取(0,sum]的中点位置,得到的划分部分k如果k <= m,则max继续去左边取中点位置来得到新的划分k,

如果k > mmax继续从右边的中点位置来得到新的划分k。

完整代码

class Solution {
    public static int splitArray(int[] nums, int m) {
        int sum = 0;
        for (int num : nums) {
            sum += num;
        }
        int l = 0;
        int r = sum;
        int ans = 0;
        while (l <= r) {
            int mid = l + ((r - l) >> 1);
            int parts = getParts(nums, mid);
            if (parts > m) {
                // mid越大,parts才会越小
                l = mid + 1;
            } else {
                ans = mid;
                r = mid - 1;
            }
        }
        return ans;
    }

    // 达到aim要分几部分
    public static int getParts(int[] nums, int aim) {
        for (int num : nums) {
            if (num > aim) {
                return Integer.MAX_VALUE;
            }
        }
        int part = 1;
        int all = nums[0];
        for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
            if (all + nums[i] > aim) {
                part++;
                all = nums[i];
            } else {
                all += nums[i];
            }
        }
        return part;
    }
}

其中:int getParts(int[] nums, int aim)方法表示,在不超过aim的情况下,最少需要几个划分部分。方法的主要逻辑是:

遍历数组,如果发现某个元素的值超过了aim,直接返回系统最大,说明无法得到划分。如果没有超过aim,则继续加入下一个元素,直到超过aim,就定位出一个部分。依次类推,就可以得到最少有几个划分。

更多

算法和数据结构笔记

参考资料

算法和数据结构体系班-左程云

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