定义
通过图中所有边恰好一次且行遍所有顶点的通路称为欧拉通路。
通过图中所有边恰好一次且行遍所有顶点的回路称为欧拉回路。
具有欧拉回路的无向图或有向图称为欧拉图。
具有欧拉通路但不具有欧拉回路的无向图或有向图称为半欧拉图。
有向图也可以有类似的定义。
非形式化地讲，欧拉图就是从任意一个点开始都可以一笔画完整个图，半欧拉图必须从某个点开始才能一笔画完整个图。
性质
欧拉图中所有顶点的度数都是偶数。
若 \(G\) 是欧拉图，则它为若干个环的并，且每条边被包含在奇数个环内。
判别法
对于无向图 \(G\) ,
\(G\) 是欧拉图的充要条件是 \(G\) 联通，所有点的度数为偶数 ;
\(G\) 是半欧拉图的充要条件是 \(G\) 联通，只可能有 \(0/2\) 个点的度数为奇数 .
对于有向图 \(G\) ,
\(G\) 是欧拉图的充要条件是 \(G\) 联通，所有点处于同一个强连通分块里面，每个点的入度和出度相同 .
\(G\) 是半欧拉图的充要条件是
- 将 \(G\) 中的所有边视为无向边，此时所有点处于同一个联通块中 .
- 最多存在一个顶点 \(d^+(u)-d^-(u)=1\)
- 最多存在一个顶点 \(d^-(u)-d^+(u)=1\)
- 其余所有点的出度等于入度
欧拉图的代码实现
版子题，uoj #117. 欧拉回路 .
因为欧拉图是很多个环的并 .
所以，对于每一个环，都可以轻松定下访问的方向 .
此时，考虑如何将两个环合并，首先，这两个环能合并，必须要有点同时处于这两个环上，此时，这两个环的遍历方案一定能被合并 .
dfs 的时候当前点 \(u\) 考虑直接找到一条没有被访问的边 \((u,v)\) ，dfs 下去，肯定会在某个点再次访问到 \(u\) ，此时，回溯的路径一定构成一个欧拉回路 ( 一定是在 dfs 之后把 \(u\) 计入答案序列中 ) .
时间复杂度和空间复杂度都为 \(O(n+m)\) . 要加弧优化 . 不然会退化成 \(O(nm)\) .
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int rd(){
char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9')ch=getchar();
int res=0;
while(ch>='0'&&ch<='9'){
res=(res<<3)+(res<<1)+ch-'0';
ch=getchar();
}
return res;
}
inline void pr(int res){
if(res==0){
putchar('0');
return;
}
int a[10],len=0;
while(res>0){
a[len++]=res%10;
res/=10;
}
for(int i=len-1;i>=0;i--)
putchar(a[i]+'0');
}
int type;
int n,m;
vector<pair<int,int> >g[100010];
int iter[100010];
int deg[100010];
bool vis[200010];
int mark[100010];
stack<int>s;
namespace undirected{
void dfs(int x){
mark[x]++;
for(int &i=iter[x];i<(int)g[x].size();i++){
int to=g[x][i].first,id=g[x][i].second;
if(vis[abs(id)])continue;
vis[abs(id)]=true;
dfs(to);
s.push(id);
}
}
void work(){
n=rd();m=rd();
for(int i=1;i<=m;i++){
int u=rd()-1,v=rd()-1;
deg[u]++;
deg[v]++;
mark[u]=mark[v]=1;
g[u].push_back(make_pair(v,i));
g[v].push_back(make_pair(u,-i));
}
for(int i=0;i<n;i++){
if(deg[i]&1){
puts("NO");
return;
}
}
for(int i=0;i<n;i++){
if(mark[i]==1){
dfs(i);
break;
}
}
for(int i=0;i<n;i++){
if(mark[i]==1){
puts("NO");
return;
}
}
puts("YES");
while(!s.empty()){
if(s.top()<0)putchar('-');
pr(abs(s.top()));
putchar(' ');
s.pop();
}
putchar('\n');
}
}
namespace directed{
void dfs(int x){
mark[x]++;
for(int &i=iter[x];i<(int)g[x].size();i++){
int to=g[x][i].first,id=g[x][i].second;
if(vis[id])continue;
vis[id]=true;
dfs(to);
s.push(id);
}
}
void work(){
n=rd();m=rd();
for(int i=1;i<=m;i++){
int u=rd()-1,v=rd()-1;
deg[u]++;
deg[v]--;
mark[u]=mark[v]=1;
g[u].push_back(make_pair(v,i));
}
for(int i=0;i<n;i++){
if(deg[i]!=0){
puts("NO");
return;
}
}
for(int i=0;i<n;i++){
if(mark[i]==1){
dfs(i);
break;
}
}
for(int i=1;i<n;i++){
if(mark[i]==1){
puts("NO");
return;
}
}
puts("YES");
while(!s.empty()){
pr(s.top());
putchar(' ');
s.pop();
}
putchar('\n');
}
}
int main(){
type=rd();
if(type==1)undirected::work();
else directed::work();
return 0;
}
/*inline? ll or int? size? min max?*/
题目
1. cf1610f Mashtali: a Space Oddysey
这道题重点不在于欧拉回路，而是在于想到可以缩边，此时可以用欧拉回路来缩边 . 题解