大数素性检测

大数素性检测的数学理论基础分析

大数的素性检测可以分为确定性的素性检测和概率性的素性检测

确定性的素性检测在小整数的素性检测中虽然已经够用，但是在大整数的素性检测中，这些算法明显复杂度大大增加，所以人们又寻找到了更加高效的概率性素性检测来寻找大素数。

这里仅仅举出比较常见或者比较著名的素性检测方法。

确定性素性检测

1.广义欧几里得定理素性检测

\[\forall n\in N^{+},如果对所有i\le\sqrt{n},i\in N^{+},满足i\not\mid n，则n为素数。。 \]

想法

对于这个素性检测的一种优化是i可以换作小于n的平方根的素数，因为小于n的平方根的数都有素因子，所以可以优化，但是这种优化仅仅对于小整数而言好用。

这里的时间复杂度仍然是指数级的，但是我们期望能够有多项式级的算法，帮助我们高效进行素性检测。

时间复杂度

\[O(2^{(logN)/2}) \]

2.Lucas–Lehmer素性检验(用于梅森数的检验)

\[梅森数是形如2^{n}-1的数，记为M_n;若其为素数，则称之为梅森素数。 \]

并且当n为合数时，梅森数也为合数；当n为素数是，梅森数不一定都是素数

\[\begin{align*} &1.定义序列 S_{i},i>0\\ &2.S_i=4,i=0;\\ &3.S_i=S_{i-1}^2-2,i>0\\ &4.那么M_n为素数当且仅当S_{n-2} \equiv0(modM_n)\\ &5.否则M_p为合数\\ &6.时间复杂度O(n^{3}) \end{align*} \]

想法

这里的确定性算法虽然时间复杂度很低，但是仅仅适用于梅森数的检验，十分具有局限性，但是对于大素数的寻找很有帮助，最近几个最大素数便是该算法寻找到的。

在这个结论的证明中，因为这是个序列，所以自然而然想到用数学归纳法，但是其中构造的方法颇为巧妙，构造一对

\[{\displaystyle \omega {\bar {\omega }}=(2+{\sqrt {3}})(2-{\sqrt {3}})=1} \]

用于证明每个Si都满足

\[{\displaystyle s_{i}=\omega ^{2^{i}}+{\bar {\omega }}^{2^{i}}} \]

证明充分性时，运用了反证法，再引入群的概念，通过群元素的阶和素因子的性质导出矛盾。

证明必要性时，运用了二次剩余，欧拉准则，费马小定理以及初等群论等来证明。

同样的，也有同类型的素性检测，Pepin测试，但是它也仅适用于费马数，这样的局限性过于致命。

3.AKS素性测试(仅了解)

想法

这是最为著名的确定性素性测试，因为它的出世成功使素数判定的时间复杂度降到了多项式复杂度，并且没有依赖任何未得到证明的猜想。

该证明涉及费马小定理，群、环和域等知识，中间具体内容本人难以理解。

AKS素性测试主要是基于以下定理

\[(x+a)^n\equiv(x^n+a)(mod x^{r-1},n) \]

具体计算中可以使用贝祖定理进行公约数的计算。

算法操作：

\[\begin{align*} &1.输入：整数 n > 1\\ &2.若存在整数a > 0 且b > 1 ，令 n = ab ；则输出合数\\ &3.找出最小的 r 令 ordr(n) > log2(n).\\ &4.若对某些a ≤ r，1 < gcd(a,n) < n，输出合数。(gcd是指最大公约数)。\\ &5.若 n ≤ r, 输出素数。\\ &6.对 a = 1 到 {\displaystyle \scriptstyle \lfloor \scriptstyle {\sqrt {\varphi (r)}}\log(n)\scriptstyle \rfloor }\scriptstyle \lfloor \scriptstyle {\sqrt {\varphi (r)}}\log(n)\scriptstyle \rfloor 的所有数， 如果 (X+a)n≠ Xn+a (mod Xr − 1,n), 输出合数。\\ &7.输出素数。 \end{align*} \]

概率性素性检测

1.费马素性检验（主要找课外知识）

想法

这个素性检验是根据费马小定理的逆定理来筛选大素数的。

\[如果p是素数，{\displaystyle 1\leq a\leq p-1}，那么a^{{p-1}}\equiv 1{\pmod {p}} \]

但是由于其逆定理并不正确，对于卡迈克尔数即满足费马小定理的逆定理但是不为素数的数，虽然卡迈克尔数很少，在1~100000000范围内的整数中，只有255个卡迈克尔数，但是已经使他的效果落后于Miller-Rabin和Solovay-Strassen素性检验。

\[\begin{align*} &1.输入：n\ge3；k：参数之一来决定检验需要进行的次数。\\ &2.输出：当n是合数时，否则可能是素数：\\ &3.重复k次：\\ &在[2, n − 2]范围内随机选取a\\ &如果a^{n − 1} mod n ≠ 1那么返回合数\\ &返回可能是素数 \end{align*} \]

出错的概率

在选取底数a时，有二分之一的概率出错，但是可以通过多次选取底数来使出错概率降下期望值。

\[在重复k次成立的情况下，n为合数的可能性小于\frac{1}{2^k} \]

突破

2016年，我国物流工人提出了卡迈克尔数判别准则，

\[\begin{align*} &n=(6k+1)(18k+1)(54k^2+12k+1)=5832^4+2592k^3+450k^2+36k+1\\ &(n-1)/(6k)=972k^3+432k^2+75k+6\\ &(n-1)/(18k)=324k^3+144k^2+25k+2\\ &(n-1)/(54k^2+12k)=108k^2+24k+3 \end{align*} \]

如果6k+1,18k+1,54k^2+12k+1都是素数(比如k=1，2)，那么n必然是卡迈克尔数,与先前的判别法相比，这个公式的亮点就是新发现的二次式也可以作为卡迈克尔数因子。

时间复杂度

\[O(k×log3n) \]

2.欧拉-雅克比伪素数和Solovay-Stassen素性检验（主要找课外知识）

想法

在模平方剩余判别时，欧拉判别法则要求模为奇素数，但是雅克比符号弱化了这样的条件，只要求模为奇整数，这样的变化可以用于判断模平方剩余，但是和欧拉定理不能等价，于是会存在伪素数。

欧拉伪素数:

设n为正奇合数，设整数b与n互素。如果整数n和b满足条件

\[b^{\frac{n-1}{2}}\equiv(\frac{b}{n})(modn) \]

则n叫做对于基b的欧拉-雅克比伪素数。

Solovay-Stassen算法：

\[\begin{align*} &1.输入：n，一个值以测试素性 k，其确定测试的准确性的参数\\ &2.输出：n是合数，否则可能是素数\\ &3.重复k次：在 [2, n − 1]\\ &范围内随机选择一个{\displaystyle x\gets \left({\tfrac {a}{n}}\right)} \\ &如果 x = 0 或 {\displaystyle a^{(n-1)/2}\not \equiv x{\pmod {n}}} \\ &然后返回合数\\ &否则返回可能是素数 \end{align*} \]

出错的概率

所有欧拉-雅克比伪素数同时是费马伪素数，这个判别公式对所有素数都成立，因而可以用于概率素性检验，他的可靠性是费马素性检验的两倍多。

时间复杂度

\[O(k·log3 n) \]

3. Miller-Rabin素性检验（主要找课外知识）

想法

素性检测首先利用了因数分解式，将幂次n-1降低为以2为阶的各次幂，再利用中国剩余定理，推出强伪素数的满足条件，在算法优化中，采用模平方算法降低复杂度，这也是该算法的优势之一，大大提高了效率。

\[\begin{align*} &给定奇整数n\ge3和安全参数k\\ &写n-1=2^st,其中t为奇整数\\ &1.随机选取整数b，2\le b \le n-2\\ &2.计算r_0\equiv b^t(modn)\\ &3.\\&（1）如果r_0=1或r_0=n-1,则通过检验，回到第一步，重选b\\ &（2）否则有r_0\neq1以及r_0\neq n-1,计算r_1\equiv r_0^2(modn)\\ &以此类推,直到n-2为止，通过检验则输出可能为素数，否则为合数 \end{align*} \]

出错的概率

\[在k次检测通过的情况下，n为合数的概率小于\frac{1}{4^k} \]

相比之下，这样的出错概率遥遥领先与费马素性检测和Solovay-Stassen素性检测。

时间复杂度

模平方算法下

\[{\displaystyle O(k\log ^{3}n)} \]

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总结感悟

大数素性检测的发展，从最初的基于单一定理进行穷举检测，到特殊素数的检测，再到一般素数的综合检测，一步一步从复杂到简单，从特殊到一般；不仅如此，由于素数的重要性，人们更追求在更短时间内判定出素数，通过弱化某些条件或者寻找某些定理逆命题的可靠性，来概率性地判别素数，在概率性素数检测发展中，Miller-Rabin最为著名，也是由于他能够采用更加优良的模平方算法，大大降低了算法复杂度，使大数素数的判定速率有了质的飞跃。

数学家们至今仍然在素性检测的山峰上攀登，在学习过程中，我寻找到了不少基于黎曼猜想的素性检测，由于黎曼猜想并未完全被证明，这些素性检测便仍然有很大的局限性。

各个素性检测各有优势，对待不同的检测要求，大数范围，选取的素性检测也不同。素性检测在对应的场景，经过人工的调试，能够发挥更大的作用，比如概率性检测的安全参数k便可以根据要求而改变。

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