基本DP优化

DP优化

斜率优化

求\(f(i)=max\{f(j)+(s(i)-s(j))^2\}\)，\(n\leq 10^6\).

其中\(\,s(x)\,\)是只和\(\,x\,\)有关的单调减函数，可以快速计算

显然我们不能\(\,\Theta(n^2)\,\)暴力计算，考虑减少决策数，化简得：

\[f(i)=max\{f(j)+s^2(i)+s^2(j)-2s(i)s(j)\} \]

由于考虑优化决策，把\(\,j\,\)单独提出：

\[\exists\, j<i \,\,,\,\,f(i)=f(j)+s^2(i)+s^2(j)-2s(i)s(j) \]

考虑两个决策\(\,j,k\,\)何时是\(\,j\,\)更优：

\[f(j)+s^2(i)+s^2(j)-2s(i)s(j)\geq f(k)+s^2(i)+s^2(k)-2s(i)s(k) \]

\[f(j)-f(k)+s^2(j)-s^2(k)\geq 2s(i)[s(j)-s(k)] \]

令

\[F(x)=f(x)+s^2(x) \]

则

\[F(j)-F(k)\geq 2s(i)[s(j)-s(k)]\\ \frac{F(j)-F(k)}{s(j)-s(k)}\geq 2s(i) \]

不难发现\(\,F(j),F(k),s(j),s(k),s(i)\,\)都是定值

对于每个决策\(\,j\,\)，使其对应一个定点\(\,(s(j),F(j))\,\)，则\(\,\frac{F(j)-F(k)}{s(j)-s(k)}\,\)为\(\,j,k\,\)间斜率

考虑维护斜率，画图手玩不难发现（我懒得画图），其实就是维护一个上凸包，如果是小于等于则是下凸包，关于如何维护，我们等会再讲，先考虑答案的处理

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注意到，对于最优的\(\,j\,\)，有

\[f(i)=F(j)+s^2(i)-2s(i)s(j) \]

其中\(\,s^2(i)\,\)是常数，可以忽略，设

\[f(i)=-K(i)s(j)+y(j)\\ K(i)=2s(i)\\ y(j)=F(j)=f(j)+s^2(j) \]

设\(\,y=kx+b\,\)过点\(\,(0,-K(i)s(j)+y(j)),(s(j),y(j))\,\)，联立得

\[\begin{cases} b=-K(i)s(j)+y(j)\\ ks(j)+b=y(j) \end{cases} \]

解得

\[k=K(i) \]

发现这是不受决策影响的，而答案就是\(\,b\)，要最大化\(\,b\,\)就是在凸包上找一个点使得其截距最大，显然可以三分

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接下来考虑如何维护凸包

对于新插入的点，由于\(\,s(j)\,\)的单调性，一定是在结尾处插入，又因为有\(2s(j)\)的单调性，所以现在更劣的解一定不会在将来被选到，形式化地，我们有：

\[\exists\,j: \frac{F(j)-F(k)}{s(j)-s(k)}\geq 2s(i)\geq 2s(i+\Delta) \]

故而对于新插入的点，我们只需要依次遍历它之前的点，只到一个不可被删去的点，简单代换即可，证明如下：

\[if\quad i<j<k\and\frac{F(j)-F(k)}{s(j)-s(k)}\geq 2s(l)\,\and\,\frac{F(i)-F(j)}{s(i)-s(j)}\geq 2s(l)\\ F(j)-F(k)\geq 2s(l)[s(j)-s(k)]\and F(i)-F(j)\geq 2s(l)[s(i)-s(j)]\\ F(i)-F(k)\geq 2s(l)[s(i)-s(k)]\\ \frac{F(i)-F(k)}{s(i)-s(k)}\geq 2s(l) \]

可以发现，一个点只会被扫到\(\,\Theta(1)\,\)次，而凸包上找答案的复杂度是\(\,\Theta(log）\,\)，所以总复杂度就是\(\,\Theta(n\log n)\,\)的

四边形不等式

用途

大概是可以把一些\(\,\Theta(n^3)\,\)时间填\(\,\Theta(n^2)\,\)的表的dp的时间优化到\(\,\Theta(n^2)\,\)

定义

如果

\[\forall a\leq b<c\leq d\\ w_{a,c}+w_{b,d}\leq w_{a,d}+w_{b,c} \]

那么二元函数\(\,w\,\)被称为满足四边形不等式的

如果

\[\forall L\leq l\leq R \leq r\\ w_{L,R}\leq w_{l,r} \]

那\(\,w\,\)被称为区间单调的

定义拓展

当且仅当

\[w_{i,j}+w_{i+1,j+1}\leq w_{i+1,j}+w_{i,j+1} \]

\(w\,\)满足四边形不等式

证明如下：

明天再证

优化方案

对于一个形如\(f_{i,j}=min\{f_{i,k}+f_{k,j}+w_{i,j}\}\)，令\(\,p_{i,j}\,\)表示\(\,f_{i,j}\,\)最优的决策点

不难证得：若\(\,w\,\)满足四边形不等式，那么\(\,f\,\)也满足四边形不等式

那么

\[p_{i,j-1}\leq p_{i,j}\leq p_{i+1,j} \]

利用决策单调性即可将时间优化至\(\,\Theta(n^2)\,\)

单调性的证明等我学会了就写